m32352_5

II. Используя первое определение непрерывности, доказать непрерывность функций в их областях определения:

III. Классифицировать точки разрыва заданных функций, найти вертикальные и горизонтальные асимптоты их графиков и отразить на чертеже гипотезы поведения графиков:

Решение.

I. 1а)

1b)

Для освобождения от имеющейся неопределенности представим числитель и знаменатель дроби в виде произведения простейших сомножителей:

;

.

Возвращаемся к вычислению предела и получаем

.

1c)

Чтобы устранить эту неопределенность, разделим числитель и знаменатель дроби на . Тогда получим

,

так как при каждая из дробей стремится к нулю.

2. .

Здесь для освобождения от неопределенности умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженные к ним выражения:

.

При , поэтому окончательно имеем

.

3.

В данном случае для освобождения от неопределенности воспользуемся первым замечательным пределом и его следствием . Имеем

=

II. 1. Опишем сначала область определения заданной функции :

Теперь возьмем произвольное значение и дадим ему приращение . В результате получим новое значение аргумента , которому соответствует значение функции

.

Ищем приращение функции , соответствующее приращению ее аргумента в рассматриваемой точке :

.

Проверяем выполнение первого определения непрерывности функции в точке :

.

Определение выполнено. Функция непрерывна в точке . Поскольку по предположению является произвольной точкой , то доказана непрерывность функции во всей ее области определения.

2. Поступаем аналогично в случае функции

Берем произвольное значение x:

.

Даем ему приращение и получаем соответствующее приращение функции:

Проверяем выполнение первого определения непрерывности функции в точке :

.

Доказательство непрерывности функции во всей ее области определения завершено.

III.

1.

Функция имеет точку разрыва . Классифицируем ее, вычисляя односторонние пределы.

. Здесь при имеем:

.

. Здесь при имеем:

.

Таким образом, точка является точкой разрыва первого рода заданной функции и график функции вертикальных асимптот не имеет.

Поскольку, очевидно, , то прямая является горизонтальной асимптотой графика.

2.

Классифицируем точки разрыва функции и .

, так как при является положительной бесконечно малой величиной.

, так как при является отрицательной бесконечно малой величиной.

, так как при является отрицательной бесконечно малой величиной.

, так как при является положительной бесконечно малой величиной.

Таким образом, точки и являются точками разрыва второго рода заданной функции, а прямые и  вертикальными асимптотами ее графика.

Поскольку , то прямая является горизонтальной асимптотой графика.

3.

Каждая ветвь заданной функции непрерывна. Точка разрыва может быть лишь на стыке этих ветвей. Вычисляем в нем односторонние пределы:

;

Таким образом, является точкой разрыва первого рода заданной функции. Вертикальных асимптот график не имеет. Очевидно, горизонтальных асимптот у графика функции тоже нет, т.к. const при .

ПРИМЕР 2. Провести анализ и построить графики функций:

I. . II. . III. .

Решение.

I. .

1. Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента , то есть

.

2. Функция непрерывна на всей числовой прямой, поэтому ее график не имеет вертикальных асимптот.

Выясним наличие у графика заданной функции наклонных асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты воспользуемся формулами

Имеем

Таким образом, у графика заданной функции наклонных асимптот нет.

3. Исследуем функцию на экстремумы и интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю:

Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки первого рода .

Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению в них знака производной функции выявляем промежутки ее монотонности и наличие экстремумов:

	+		–		+
		max		min

4. Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю:

Итак, функция имеет одну критическую точку второго рода . Разобьем область определения полученной точкой на части, в каждой из которых установим знак второй производной:

		0	+
		т.п.

Значение является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой точки

5. Для построения графика в выбранной системе координат изобразим точки максимума , минимума , перегиба , и точку пересечения графика с осью . С учетом результатов предыдущих исследований построим кривую:

II.

1. Область определения.

2. Исследование на непрерывность и асимптоты.

Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки . Вычислим ее односторонние пределы в этой точке:

Итак, точка – точка разрыва второго рода заданной функции, а прямая – вертикальная асимптота графика.

Исследуем график на наличие наклонных асимптот.

Таким образом, прямая является горизонтальной асимптотой графика.

3. Исследование на экстремум и промежутки монотонности.

Поскольку то функция не имеет точек экстремума. Так как для всех точек из , то функция возрастает во всей области определения.

4. Исследование графика на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Поскольку , график не имеет точек перегиба.

Очевидно, что при , а при . Следовательно, график функции вогнутый при и выпуклый при .

5. Построение графика.

III. .

1. Область определения

2. Исследование на непрерывность и асимптоты.

Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки . Вычисляем односторонние пределы функции в этой точке:

;

.

Таким образом, точка является для заданной функции точкой разрыва второго рода, а прямая – вертикальной асимптотой ее графика.

Исследуем график на наличие наклонных асимптот.

;

.

Вывод: прямая – наклонная асимптота графика.

3. Исследование функции на экстремум и промежутки монотонности.

;

.

		-2	(-2; 4)	4	(4; 10)	10
	+	0	–	не сущ.	–	0	+
		max				min

4. Исследование графика функции на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

.

Так как , то график заданной функции точек перегиба не имеет. Остается выяснить вопрос об интервалах его выпуклости и вогнутости:

		4
	–	не сущ.	+

5. Построение графика.

61