
m32352_2
.DOCПРИМЕР 2. Даны координаты вершин пирамиды ABCD:
Требуется:
записать векторы
в системе орт и найти модули этих векторов;
найти угол между векторами
и
(в градусах, минутах, секундах);
найти проекцию вектора
на вектор ;
найти площадь грани
;
составить уравнение ребра
;
составить уравнение грани ;
составить уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины
, и найти координаты точки М ее пересечения с гранью ;
найти длину полученной высоты и объем пирамиды ABCD.
Решение.
1)
Известно, что произвольный вектор
представляется в системе орт
,
,
по формуле
,
(1.5)
где
–
координаты вектора
в системе координат
,
порожденной ортами, причем
.
Если заданы точки
и
,
то
.
(1.6)
Воспользовавшись формулой (1.6) и координатами заданных точек, получим
Если вектор задан формулой (1.5), то его модуль вычисляется следующим образом:
.
(1.7)
Используя формулу (1.7), получаем модули найденных векторов:
2) Воспользуемся формулой
,
где
–
скалярное произведение векторов
и
,
которое вычисляется следующим образом:
У нас
то есть
.
3) Известно, что
,
то есть в нашем случае
4) Воспользуемся формулой для нахождения площади треугольника, построенного на векторах и :
,
где
–
векторное произведение векторов, которое
вычисляется по следующему правилу:
.
В
нашем примере
,
причем
Таким образом,
(кв.ед.).
5) Для составления уравнений ребра АС пирамиды воспользуемся каноническими уравнениями прямой в пространстве
,
(1.8)
где
точка,
лежащая на прямой, а
направляющий
вектор прямой. В нашем случае можно
положить
,
а
Тогда из (1.8) получаем
то есть уравнение ребра окончательно запишется следующим образом:
6)
Уравнение плоскости, проходящей через
три заданные точки
,
можно получить следующим образом:
сначала найдем нормальный вектор
плоскости
как векторное произведение любой пары
векторов, соединяющих заданные точки,
а затем воспользуемся уравнением
плоскости, проходящей через заданную
точку, например,
с известным нормальным вектором
:
.
(1.9)
В качестве
нормального вектора грани АВС
можно взять вектор
,
найденный ранее, или вектор
.
Итак, назначим
,
а
.
Тогда из уравнения (1.9) получаем искомое
уравнение грани АВС:
.
7)
Нормальный вектор грани АВС
является, очевидно, направляющим вектором
высоты пирамиды, опущенной на грань АВС
из вершины D.
Для составления искомого уравнения
высоты остается воспользоваться
каноническими уравнениями (1.8), где
,
а
:
.
Для нахождения координат точки М пересечения полученной высоты с гранью АВС перейдем от канонических уравнений высоты к параметрическим и решим их совместно с уравнением грани:
это значение
параметра t,
соответствующее искомой точке М.
Для получения координат точки М
подставим найденное значение параметра
в параметрические уравнения высоты, в
результате чего будем иметь
.
8) Найдем длину высоты DM двумя способами: как расстояние между точками D и M и как расстояние от точки D до плоскости АВС.
Способ 1.
.
Способ 2.
Расстояние
от точки
до плоскости с уравнением
вычисляется по формуле
.
В нашем случае
,
уравнение плоскости (грани АВС)
,
поэтому
.
Объем пирамиды
ABCD
можно найти по известной формуле:
.
В нашем случае имеем:
(куб. ед.).
ПРИМЕР 3.
Составить уравнение линии, для каждой
точки которой ее расстояние до точки
равно расстоянию до прямой
Полученную кривую построить в системе
координат.
Решение.
Пусть
–
текущая точка искомой кривой. Опустим
из точки
перпендикуляр
на прямую
(рис. 1.2). Тогда
.
Так как
,
то
.
Полученное уравнение
определяет параболу с вершиной в точке
и ветвями, направленными вниз (см. рис.
1.2).
Рис. 1.2
ПРИМЕР 4. Составить
уравнение
линии, являющейся геометрическим местом
точек, сумма расстояний от каждой из
которых до точек
и
постоянна и равна
.
Решение. Возьмем произвольную точку кривой М(x; y) и соединим ее отрезками прямых с точками А и В. По условию при этом выполняется равенство МА + МВ = . Распишем его в координатах и проведем тождественные преобразования:
=
.
Получили каноническое
уравнение эллипса с центром симметрии
в начале координат. Большая и малая
полуоси эллипса равны соответственно
и 2, а фокусы находятся в ранее заданных
точках
и
(рис. 1.3).
Рис. 1.3
ПРИМЕР 5. Составить
уравнение
линии, являющейся геометрическим местом
точек, разность расстояний от каждой
из которых до точек
и
постоянна
и равна
.
Решение. Возьмем произвольную точку кривой М(x; y) и соединим ее отрезками прямых с точками C и D. По условию при этом выполняется равенство МC МD = . Распишем его в координатах и проведем тождественные преобразования:
=
.
Получили каноническое уравнение гиперболы с центром симметрии в начале координат. Действительная и мнимая полуоси гиперболы равны соответственно 2 и 1, а фокусы находятся в ранее заданных точках и (рис. 1.4).
Рис. 1.4