Решение типовых заданий

ПРИМЕР 1. Даны координаты вершин треугольника

.

Требуется построить треугольник в системе координат xOy и найти:

1. длины и уравнения сторон АВ, BC, AC их угловые коэффициенты;

2. уравнение медианы AE;

3. внутренние углы треугольника (в градусах, минутах, секундах);

4. уравнение и длину высоты СD;

5. уравнение прямой, проходящей через точку E параллельно стороне АВ, и координаты точки М ее пересечения с высотой СD;

6. площадь треугольника;

7. уравнение окружности с центром в точке Е, проходящей через точку С.

Решение.

1) Расстояние между точками и определяется по формуле

. (1.1)

Назначим . Тогда по формуле (1.1) получаем

Аналогично:

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости и , имеет вид

(1.2)

Для составления уравнения прямой АВ назначим

,

тогда использование формулы (1.2) дает следующий результат:

.

Полученное уравнение преобразуем сначала к уравнению прямой общего вида Ax+By+C = 0:

.

Угловой коэффициент прямой найдем, преобразовав ее уравнение общего вида к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом :

Аналогично получим уравнение прямой и найдем ее угловой коэффициент:

Теперь займемся прямой АС:

2) Для составления уравнения медианы найдем сначала координаты точки , которая лежит на середине отрезка :

Теперь назначим в уравнении (1.2)

и получаем уравнение медианы:

3) Для нахождения внутренних углов треугольника воспользуемся формулами (объясните, почему в числителях этих формул вычитание угловых коэффициентов прямых производится именно в предлагаемых видах):

(1.3)

Подставив ранее вычисленные значения , и в (1.3), находим:

; ;

.

Теперь, воспользовавшись инженерным микрокалькулятором, получаем

ПРОВЕРКА:

4) Для составления уравнения высоты воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом , которое имеет вид

(1.4)

и условием перпендикулярности прямых и , которое выражается соотношением , откуда Подставив в (1.4) вместо значение , а вместо соответствующие координаты точки , получим уравнение высоты :

Для вычисления длины высоты найдем сначала координаты точки D пересечения прямых CD и AB, решив систему уравнений этих прямых с помощью формул Крамера:

.

Отсюда по формуле (1.1) имеем

5) Так как искомая прямая параллельна прямой , то

. Подставив в уравнение (1.4) вместо координаты точки , а вместо значение , получаем уравнение прямой :

Для отыскания координат точки решаем совместно уравнения прямых и (по формулам Крамера!):

Таким образом,

6) Поскольку нам известны величины и , которые являются соответственно длинами основания и высоты треугольника, то его площадь может быть вычислена по формуле

(кв.ед.).

7) Так как окружность имеет центр в точке и проходит через вершину , то ее радиус

Каноническое уравнение окружности радиуса R с центром в точке имеет вид

В нашем примере получаем

Треугольник , высота , медиана , прямая , точка и окружность изображены в системе координат на рис. 1.1.

Рис. 1.1

13