МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГОУ ВПО

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ К.Д. ГЛИНКИ

КАФЕДРА МЕХАНИКИ

ИЗГИБ С КРУЧЕНИЕМ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО МЕХАНИКЕ

(РАЗДЕЛ «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ»)

для студентов 2 курса агроинженерного факультета по специальностям 311300 «Механизация сельского хозяйства», 311500 «Механизация переработки сельскохозяйственной продукции», 311900 «Технология обслуживания и ремонта машин в АПК»

ВОРОНЕЖ

2004

Методические указания разработаны доцентами А. Н. Беляевым и С.В. Василенко, ассистентами И. М. Филимоновой и О.В. Зеленской.

Рецензент – профессор, зав. кафедрой высшей математики и теоретической механики Воронежского госагроуниверситета В. П. Шацкий.

Одобрено и рекомендовано к изданию кафедрой механики (протокол №2 от 19.10.2004г.) и методической комиссией агроинженерного факультета Воронежского государственного аграрного университета им. К. Д. Глинки (протокол № 2 от 28.10.2004 г).

Методические указания содержат краткие теоретические сведения, пример расчётов валов на изгиб с кручением, задания для расчётно-графических работ и предназначено для использования при решении задач по данному разделу курса сопротивления материалов студентами агроинженерного факультета.

УДК 539. 3/6

Беляев А. Н., Василенко С. В., Филимонова И. М., Зеленская О.В.

Изгиб с кручением: Методические указания по курсу “ Сопротивление материалов”. – Воронеж: ВГАУ, 2004.

Введение

При инженерном расчёте различных конструкций и механизмов, решив задачи механики, приступают к выбору материала. Зная условия работы той или иной детали, важно рационально подобрать материал, из которого она будет изготовлена, назначить оптимальные размеры сечения. Выбранное сечение должно удовлетворять условие прочности, а в некоторых случаях и условие жёсткости. Таким образом, приступая к расчётам, необходимо выяснить характер деформаций в детале или элементе конструкции.

В состав основных типов деформаций входят деформации изгиба и кручения. Эти типы деформаций относятся к так называемым простым типам деформаций. В конструкциях встречается и более сложная работа элементов, когда они испытывают два и более типов деформаций одновременно, например, изгиб с кручением. В этом случае имеем дело с так называемой сложной деформацией. В данном методическом указании содержится достаточный теоретический комментарий к осознанному подходу в решении задачи на изгиб с кручением, также оно содержит пример решения такой задачи и набор вариантов для самостоятельной работы студентов.

Подобные расчётные модели возникают при расчёте валов. Сечения вала передают крутящий момент, а следовательно будет иметь место угловая деформация. Кроме крутящего момента вал воспринимает радиальные силы и следовательно в нём будет деформация изгиба и в меньшей степени деформация сдвига.

Методические указания предусматривают предварительное изучение соответствующих разделов курса сопротивления материалов.

Предназначены для студентов агроинженерного факультета.

1. Основные теоретические положения

При одновременной деформации изгиба с кручением внутренние усилия в поперечном сечении стержня сводятся к пяти составляющим: крутящему моменту M_z=Т относительно оси стержня Z, изгибающим моментам M_y и M_x относительно главных центральных осей инерции сечения Y и X и поперечным силам Q_y и Q_x, направленным по этим осям (рис1.1).

Если стержень имеет круглое поперечное сечение с диаметром d, то касательные напряжения, определяющие Q_y и Q_x , не учитывают ввиду их малости.

Эпюры напряжений τ и σ в поперечном сечении вала показаны на рис.1.2. Касательные напряжения τ_Q, возникающие при поперечном изгибе показаны только направлением.

Касательные напряжения τ, определяющие крутящий момент Т, наибольшие во всех точках контура сечения, а нормальные напряжения σ, определяющие результирующий изгибающий момент M, наибольшие в точках А и В контура сечения. Точки А и В лежат на концах диаметра, перпенди-кулярного вектору результирующего изгибающего момента

.

В случае равного разложения М на М_x и М_y существуют ещё точки С и D рис. 1.2, где к касательным напряжениям от кручения добавляются (с учётом знака) τ_Q – касательные напряжения от изгиба, однако эти напряжения невелики и поэтому опаснее напряжённое состояние материала будет в точках А и В.

Рис. 1.2

Эпюры напряжений τ и σ в поперечном сечении вала

Если выделить у этих точек (например, у точки А) элементы материала кубической формы, то по четырём граням этого элемента будут действовать касательные напряжения τ, на двух других из этих четырёх граней будут действовать ещё и нормальные напряжения σ.

Две грани кубика будут свободны от напряжений (рис. 1.3 а). Выделенный элемент будет испытывать плоское напряжённое состояние.

Для проверки прочности материала необходимо найти главные напряжения σ₁ и σ₃. При плоском напряжённом состоянии принимаем (в нашем случае) σ₂ = 0 (рис.1.3 б), тогда имеем

.

Так как σ_y=0, то главные напряжения определяются по формуле

.

Здесь σ_z – нормальное напряжение при изгибе; τ – касательное напряжение от кручения.

;

;

.

Подставим σ₁, σ₂, σ₃ в соответствующие теории прочности.

Теория наибольших нормальных напряжений:

,

где σ_adm – допускаемое напряжение при простом растяжении-сжатии.

После преобразований получаем

.

Теория наибольших относительных удлинений:

.

После преобразований получаем

(здесь принят ν=0,3 – коэффициент Пуассона).

Теория наибольших касательных напряжений:

.

После преобразований:

.

Теория потенциальной энергии формоизменения:

.

После преобразований:

.

Напряжения σ_z и τ , как наибольшие напряжения от изгиба и от кручения, равны:

,

где для вала круглого поперечного сечения – момент сопротивления сечения изгибу относительно главных осей x и y;

,

где – полярный момент сопротивления сечения кручению относительно центра О.

Подставляя эти значения напряжений в формулу для первой теории прочности, получаем

,

где М_red – расчётный или эквивалентный изгибающий момент, величина которого зависит как от М и T, так и от принятой теории прочности. Он равен по теории наибольших нормальных напряжений – I теория прочности:

.

По теории наибольших удлинений – II теория прочности:

.

По теории наибольших касательных напряжений – III теория прочности:

.

По теории потенциальной энергии формоизменения – IV теория прочности:

.

Проверка вала на совместное действие кручения и изгиба может быть как проверка на один изгиб с изгибающим моментом М_red.

;

;

;

.

В случае если вал помимо скручивания и изгиба, растягивается или сжимается продольными силами N, то влияние этих сил может быть учтено при определении σ_z

,

где – площадь поперечного сечения вала;

σ_z(из) – нормальное напряжение при изгибе.

Из условия прочности получаем необходимый момент сопротивления сечения

,

отсюда диаметр вала должен быть

.

Так как валы обычно изготавливают из малоуглеродистой стали и вообще из пластичных материалов, то при подсчёте эквивалентного изгибающего момента рекомендуется пользоваться третьей или четвёртой теориями прочности.

Полученное значение диаметра округляется до ближайшего, равного (согласно ГОСТ): 30,35,40,45,50,60,70,80,90,100мм.

Пример.

Стальной вал круглого сечения с допускаемым напряжением

σ_adm=70 МПа закреплён в шарнирно - неподвижной и шарнирно - подвижной опорах. На валу жёстко установлены три шкива так, что делят вал на участки а=1,2 м, b=1,8 м, с=1,7 м . Шкив с диаметром D₁=1,3 м и углом наклона ветвей ремня к горизонту ₁=60º вращается с частотой n=700 оборотов в минуту и передаёт мощность P=70 кВт. Два других шкива имеют одинаковые диаметры D₂=1,4 м и одинаковые углы наклона ветвей к горизонту ₂=30º. Каждый из них передаёт мощность P/2 (см. рис. 1.4, рис. 1.5 а). Собственный вес вала и шкивов не учитывается.

Д ано:

P=70 кВт

n=700 мин ^-1

α₁=60º; α₂=30º

D₁=1,3 м; D₂=1,4 м

a=1,2 м; b=1,8 м; c=1,7 м

σ_adm=70 МПа Рис. 1.4

Требуется:

1. При помощи эпюр Т и М найти опасное сечение и определить максимальный расчётный момент (по третьей теории прочности).

2. Подобрать диаметр вала d при _adm=70МПа и округлить его значение до ближайшего стандартного.

Решение:

1. Определяем опасное сечение и максимальный расчетный момент

1.1. Определяем крутящие моменты, приложенные к шкивам, по заданной мощности и числу оборотов

,

где – угловая скорость вращения вала:

c^-1.

Н∙м; Н∙м.

1.2. Разбиваем вал на участки (рис. 1.5 б) и определяем крутящие моменты в сечении вала. Строим эпюру крутящих моментов (рис. 1.5 в)

H∙м;

Н∙м;

Н∙м;

.

1.3. Определяем силы натяжения ремней t₁ и t₂, действующие на шкивы, по найденным моментам и заданным диаметрам шкивов D₁ и D₂

Н;

Н.

1.4. Определяем давление на вал от сил в ремнях, принимая их равными .

Давление на вал от сил на шкиве D₁

Н.

Давление на вал от сил на шкивах D₂

Н.

1.5. Определяем силы, изгибающие вал в вертикальной и горизонтальной плоскостях

Н;

Н;

Н;

Н.

1.6. В соответствии с полученными знаками расставляем силы на расчётных схемах (рис. 1.5 г,е). Строим эпюры изгибающих моментов от вертикальных и горизонтальных сил

1.6.1. Для построения эпюры изгибающих моментов от вертикальных сил определим реакции опор R_A и R_B (рис. 1.5 г)

;

Н.

; Н.

Проверка:

; .

Вертикальные реакции определены верно.

1.6.2. Разбиваем вал на участки и определяем значения изгибающих моментов от вертикальных сил на каждом его участке (рис. 1.5 г, д)

1 участок 0≤z1≤1,2 м:

;

– ;

м – Н∙м.

2 участок 0≤z2≤1,8 м:

;

– м;

м – м.

3 участок 0≤z3≤1,8 м:

;

– ;

м – м.

4 участок 0≤z4≤1,7 м:

;

– Н∙м;

м – Н∙м.

1.6.3. Для построения эпюры изгибающих моментов от горизонтальных сил определим реакции опор R_A и R_B (рис. 1.5 е)

;

Н.

;

H.

Проверка:

; .

Горизонтальные реакции определены верно.

1.6.4. Определяем значения изгибающих моментов от горизонтальных сил на каждом участке вала (рис. 1.5 ж)

1 участок 0≤z1≤1,2 м:

;

– ;

м – Н∙м.

2 участок 0≤z2≤1,8 м:

;

– Н∙м;

м – Н∙м;

3 участок 0≤z3≤1,8 м:

;

– ;

м – Н∙м.

4 участок 0≤z4≤1,7 м:

;

– Н∙м;

м – Н∙м.

1.7.Строим эпюру суммарных моментов (рис. 1.5 з)

Момент в сечении А:

Н∙м.

Момент в сечении Д:

Н∙м.

Момент в сечении Е:

Н∙м.

1.8. По эпюре крутящих моментов и по суммарной эпюре изгибающих моментов определяем опасное сечение

Наибольший изгибающий момент находится в сечении Д : Н∙м.

Крутящий момент в сечении Д:

Т=Т₂=477,7 Н∙м.

По третьей теории прочности расчётный момент будет равен:

Н∙м.

2. Определяем диаметр вала

Из условия прочности имеем:

МПа, где – момент сопротивления круглого сечения вала.

Тогда МПа Па

м = 92 мм.

Принимаем d = 90 мм. Момент сопротивления сечения при d = 90 мм м³. Расчётное напряжение при диаметре d = 90 мм

Па = 74 МПа.

Полученное напряжение больше допускаемого, значит считаем перегрузку

.

Принимаем d = 100 мм.

Т, Н∙м

, Н∙м

, Н∙м

, Н∙м

Рис. 1.5

Схемы нагружения вала и эпюры внутренних сил

На рис.1.5: а – схема вала; б – схема расположения внешних крутящих моментов; в – эпюра крутящих моментов T в сечении вала; г – схема нагружения вертикальными составляющими; д – эпюра изгибающих моментов в вертикальной плоскости; е – схема нагружения горизонтальными составляющими; ж – эпюра изгибающих моментов в горизонтальной плоскости;

з – суммарная эпюра изгибающих моментов.