Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

m32352_11

.DOC
Скачиваний:
1
Добавлен:
13.11.2022
Размер:
269.82 Кб
Скачать

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид

ПРИМЕР 2. Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее заданному начальному условию (решить задачу Коши):

Решение. Данное уравнение является линейным. Разделим обе его части на , а искомую функцию представим в виде произведения двух других: . Тогда и исходное уравнение примет вид

или

. (**)

Выберем функцию так, чтобы полученная при группировке скобка в (**) обратилась в нуль:

(здесь выбрано частное решение с C = 0 и без знаков модулей).

Подставим в (**). Тогда имеем

.

В качестве функции возьмем общее решение этого дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:

.

Вычислим интеграл с помощью формулы интегрирования по частям:

.

Таким образом, , а общее решение исходного уравнения имеет вид

.

Теперь для нахождения значения произвольной постоянной C воспользуемся начальным условием . Тогда имеем

0,2=2(ln1 + 1)+C,

откуда

0,2=2(0+1)+C, С= – 1,8.

Итак, искомое частное решение имеет вид

.

ПРИМЕР 3. Найти частные решения следующих линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами при заданных начальных условиях:

1)

;

;

;

2)

;

;

;

3)

;

;

.

Решение. 1) Характеристическое уравнение имеет два различных вещественных корня , , поэтому общее решение этого дифференциального уравнения записывается в виде

,

где ,  произвольные постоянные.

Отсюда

.

Используя начальные условия, получаем

, т.е. ,

и

, т.е. .

Решая систему уравнений

получаем , . Частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, найдено и имеет вид

.

2) Характеристическое уравнение имеет два равных корня , поэтому общее решение соответствующего дифференциального уравнения записывается в виде

,

откуда

.

Учитывая начальные условия, получаем систему уравнений для определения , :

Отсюда ; , поэтому искомое частное решение имеет вид

.

3) Характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни , поэтому общее решение соответствующего дифференциального уравнения записывается в виде

.

Отсюда

.

Таким образом, для определения значений , , исходя из начальных условий, получаем систему уравнений

решая которую, имеем , .

Таким образом, искомое частное решение имеет вид

.

ПРИМЕР 4. Найти общие решения следующих линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

1) ; 2) .

Решение.

1) Найдем общее решение линейного однородного уравнения с теми же коэффициентами, что и в левой части заданного:

Так как корни его характеристического уравнения действительны и различны ( ; ), то общее решение однородного уравнения записывается в виде

,

где ,  произвольные постоянные.

Правая часть заданного неоднородного уравнения относится к виду , где многочлен степени n от переменной x. В нашем случае , поэтому, учитывая совпадение одного из корней характеристического уравнения с параметром а, подбираем частное решение исходного неоднородного уравнения по формуле

,

где А, В  неопределенные коэффициенты. Для отыскания их значений находим

,

.

Подставляя , , в исходное уравнение и сокращая все слагаемые на множитель , получаем

или, после упрощения,

.

Отсюда следуют равенства

, , т.е. , .

Таким образом, общее решение заданного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид

.

2) Решаем характеристическое уравнение:

.

Отсюда записываем общее решение однородного уравнения:

.

Так как правая часть заданного неоднородного уравнения относится к типу и имеется совпадение одного

111

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]