m32352_9

.

b) Применим подстановку . Тогда

,

откуда

.

c) Применим формулу интегрирования по частям:

.

Положим . Тогда

Таким образом,

.

d) Здесь тоже воспользуемся формулой интегрирования по частям.

Положим .

Тогда

.

Отсюда

.

Применяя в последнем интеграле подстановку , получаем , следовательно,

Теперь окончательно имеем

.

ПРИМЕР 2. Вычислить определенные интегралы:

a) ; b) .

Решение.

a)

b) Делаем замену . Тогда, во-первых, при изменении старой переменной интегрирования от до новая переменная интегрирования в соответствии с заменой будет меняться от до . Во-вторых, , то есть

ПРИМЕР 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

; .

Решение.

1. Находим абсциссы точек пересечения заданных парабол. Для этого приравняем правые части их уравнений:

= .

Отсюда

, .

Далее ищем ординаты точек пересечения парабол , воспользовавшись, например, вторым из заданных уравнений ( ), и строим схематически искомую площадь в системе координат.

2. Площадь фигуры вычисляем по формуле

,

где ( )  кривые, ограничивающие фигуру, а отрезок оси Ox, в который она проектируется. В нашем случае площадь равна

=

ПРИМЕР 4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оx фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной заданными параболой , прямой и осью Оx.

Решение. Найдем абсциссу точки пересечения параболы и прямой в первом квадранте. Для этого решим уравнение = , т.е. . Легко убедиться, что , . Первому квадранту соответствует корень .

Найдем теперь абсциссу точки пересечения прямой с осью , решив уравнение . Получаем .

Таким образом, тело ограничено при поверхностью, образованной вращением параболы вокруг оси , а при  вращением прямой .

Искомый объем находим по формуле

.

В нашем случае имеем

+ .

Первый интеграл вычисляется просто:

= = = = .

Для вычисления второго интеграла используем подстановку . Тогда , . При этом из условия следует, что меняется от 8 до 0 и

= = = .

Следовательно,

= + = .

ПРИМЕР 5. Интеграл вычислить приближенно по формуле трапеций, разбив отрезок интегрирования на десять равных частей. Оценить погрешность.

Решение.

1. Вычисляем интеграл приближенно по формуле трапеций

,

разбивая отрезок интегрирования на n = 10 равных частей. В нашем случае

, поэтому

	1	1,4	1,8	2,2	2,6	3	3,4	3,8	4,2	4,6	5
	2,20	2,28	2,36	2,43	2,50	2,56	2,62	2,68	2,73	2,78	2,83

Теперь

.

2. Приступаем к оценке абсолютной погрешности полученного результата по формуле

,

где a, b соответственно нижний и верхний пределы интегрирования, n  число разбиений отрезка интегрирования на части, , а подынтегральная функция. В нашем случае имеем

.

Функция монотонно убывает на [1; 5], поэтому достигает своего максимального значения в левой концевой точке этого отрезка, т.е. при . Следовательно, .

Таким образом,

ТЕМА V. Дифференциальные уравнения

ВОПРОСЫ К ТЕМЕ

1. Понятие дифференциального уравнения, примеры. Дифференциальное уравнение первого порядка. Основные понятия. Задача Коши, теорема существования и единственности ее решения.

2. Простейшие типы дифференциальных уравнений первого порядка и способы их интегрирования.

3. Дифференциальные уравнения второго порядка, основные понятия.

4. Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, теорема о структуре его общего решения.

5. Характеристическое уравнение. Отыскание у_о.о. в случае различных ситуаций для корней характеристического уравнения.

6. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Теорема о структуре его общего решения.

7. Отыскание у_ч.н. для различных стандартных правых частей.

8. Моделирование свободных колебаний динамических систем.

9. Моделирование вынужденных колебаний динамических систем.

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ 5

ЗАДАЧА 5.1. Для дифференциальных уравнений без начальных условий найти их общие решения. При наличии начальных условий найти соответствующие этим условиям частные решения.

Вариант 1.

1. xy2y1 = y2.	2. x2dy+(y2+2)dx = 0.
3. xyy = x3; y(1)=0.	4. xyy = x2sin2x; y()=1.
5. y7y+10y = 0; y(0)=2, y(0)= 1.	6. y4y+3y = 0; y(0)=0, y(0)=1.
7. y2y = 3x2+1.	8. y+8y+16y = 3e2x.

98