4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ ТЕЛ

С ПОМОЩЬЮ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

Объем тела, ограниченного сверху поверхностью z=f(x,y), снизу – плоскостью z=0 и с боков – цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости x0y область D, равен

.

Типовой пример. Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом , плоскостями x=1,y=2 и координатными плоскостями.

Решение. Сначала построим заданное тело в системе координат Oxyz

z E

z=3x²+y²

D

F

y

O C

A B

x

Рис. 6

В данном случае область интегрирования D (основание тела) есть прямоугольник ОАВС.

y

C(0,2) ,2)

D

х

O(0,0) A(1,2)

Рис. 7

Очевидно, что область D задана неравенствами 0x1, 0y2. Следовательно, используя формулу для вычисления объема цилиндрического бруса через двойной интеграл , получим

(куб. ед.).

Задание 4. Вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Cделать схематичный чертеж в системе координат Oxyz.

№	Уравнение поверхности (сверху)	Уравнения поверхностей (сбоку и снизу)	Ответы
1	z=x2+y2+1,	x+y-3=0, x=0, y=0, z=0.	18
2	z=x2+y2,	x+y=4, x=0, y=0, z=0
3	z=6-x-y,	2x+y=4, x=0, y=0, z=0	16
4	x+y+z=4,	y=x2, y=1, z=0
5	x+y+z=2	3x+y=2, y=0 3x+2y=4, z=0
6	z=6-y	y=x2, y=4, z=0, (y4).
7	z=x2+y2	y=x, y=2x, x=2, z=0
8	z=x+y+2	y=2x, x=3, x=0, y=0, z=0	54
9	x+y+z=1	x=0, y=0, z=0
10		x=0, y=0, z=0
11	z=3x	y=1+x2, y=5, z=0 (x,y,z≥0).	12
12	x+2y+z=4	x=2y2, y=0, z=0
13	z= 4-x2	2x+y=4, x=0, y=0, z=0
14	z=4-y2	, z=0
15	x+y+z=6	3x+y=6, -3x+2y=12, y=0, z=0.	84
16	z=x2+y2+1	x=4, y=4, x=0, y=0
17	z=6-x-y	2x+y=4, x=0, y=0, z=0	16
18	z=2x	,x=2, y=0, z=0.	4
19	z=y2+2	x=3, y=2, x=0, y=0, z=0	20
20	,	x=0, y=0, z=0	4
21	z=9-y2	y=x, y=3, x=0, z=0
22	x+y+z=4	y=x2, y=1, z=0
23	z=x2+1	4x+3y-12=0, x=0, y=0, z=0	15
24	x+2y+z=4	x=2y2, z=0, y=0
25	z=8-2x2-4y	x+2y=2, x=0, y=0, z=0
26	z=x2+y2+1,	x+y-3=0, x=0, y=0, z=0.	18
27	z=x2+y2,	x+y=4, x=0, y=0, z=0
28	z=6-x-y,	2x+y=4, x=0, y=0, z=0	16
29	x+y+z=4,	y=x2, y=1, z=0
30	x+y+z=2	3x+y=2, y=0 3x+2y=4, z=0

18