2. ЗАМЕНА ПОРЯДКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ В

ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ

Двойной интеграл от непрерывной функции z=f(x,y) заданный по области D можно вычислить по формуле (1) или по формуле (2). Результаты интегрирования будут одинаковы. Однако в одних случаях удобнее выполнять решение по формуле (1), в других - по формуле (2). В некоторых случаях область D приходится разбивать на части, т.к. граница области может задаваться аналитически различными функциями. При этом следует выбрать более удобный порядок интегрирования.

В учебных целях полезно один и тот же интеграл вычислить по обеим формулам, т.е. изменить порядок интегрирования.

Типовой пример.

Для двойного интеграла на плоскости x0y построить область интегрирования заданного интеграла. Изменить порядок интегрирования и вычислить площадь при заданном и измененном порядках интегрирования

Решение.

Вначале по пределам интегрирования определим область интегрирования. Полагая x равным пределам интеграла с переменной x, а y равным пределам интеграла с переменной y получим уравнения линий, ограничивающих эту область

.

Построив эти линии в системе координат, получим параболический сегмент АОВ, симметричный оси 0y.

y

B(-2,4) 4 A(2,4)

x

O

Рис. 4

Сначала вычислим двойной интеграл, интегрируя в другом порядке - сначала по переменной y, затем по переменной x.

Пределы внешнего интеграла y=0 и y=4 находим как наименьшее и наибольшее значения y во всей области АОВ. Пределы внутреннего интеграла находим, разрешая относительно переменной x уравнение параболы

, .

Следовательно, получаем

.

Если вычислить отдельно левую часть равенства, то получим тот же результат (предоставляем это сделать самостоятельно).

Отметим, что двойной интеграл выражает собой площадь области D.

Итак, площадь области D равна кв. ед.

Задание 2. Построить на плоскости x0y область интегрирования заданного повторного интеграла и изменить порядок интегрирования. Вычислить площадь области при заданном и измененном порядках интегрирования.

№	Интеграл	Ответ	№	Интеграл	Ответ
1			16
2			17		12
3		9	18
4		6	19
5			20
6			21
7			22
8			23
9		6	24		6
10			25
11			26
12			27
13		8	28		9
14		4	29		6
15			30

11