11

Итак, процедура оптимизации затрат многошаговая с интервалами от t = 5 до t = 0. На каждом шаге оценивается каждое из возрастных состояний оборудования.

Формируем схему возрастных состояний и переходов из состояния в состояние на каждом к-ом году.

Рис. 1 Стрелки вверх показывают эксплуатацию оборудования, вниз и вправо - замену

старого и эксплуатацию нового оборудования.

Рассчитаем таблицу переходов (табл. 2.2.2) и нанесем полученные значения на схему (см. рис. 1).

Таблица 2.2.2

Выполним оптимизацию на каждом шаге. 5 шаг.

Каждому значению Ft,k 5 присваиваем значения ликвидной стоимости из таблицы

переходов. Значения записываем в кружках с отрицательным знаком.

Тогда F55 = -1 000, F45 = -1 200, F35 = -2 000, F25 = -2 500, F15 = -3 000.

4 шаг.

Запишем функциональное уравнение, используя (2.2.4), при к = 4:

Подставим данные и получим следующие значения затрат:

Нанесем на схему двойные стрелки, соответствующие минимальному планируемому значению затрат при каждом возрасте оборудования t.

3 шаг.

Запишем функциональное уравнение при к = 3:

Подставим значения и получим следующие значения затрат:

Нанесем полученные результаты на схему и выделим двойными стрелками перспективное развитие на данном этапе.

2 шаг.

Запишем функциональное уравнение при к = 2:

Подставим значения и получим следующие значения затрат:

1 шаг.

Запишем функциональное уравнение при к = 1:

Подставим данные и получим следующие значения затрат:

Итак, предприятие рассматривает 2 варианта управления:

1.Приобрести новое оборудование и эксплуатировать его 3 года. Затем продать и приобрести новое, которое будет эксплуатироваться еще 2 года.

2.Приобрести новое оборудование и эксплуатировать его 2 года. Затем продать и купить новое и использовать его еще 3 года.

13

В результате эксплуатации оборудования по двум вариантам предприятие несет одинаковый объем затрат, равный 6 500 у.е.

3. Теория массового обслуживания

Теория массового обслуживания – область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, в которых однородные события повторяются многократно. Такие системы носят название системы массового обслуживания (СМО), и в качестве примера могут выступать предприятия бытового обслуживания; системы приема, переработки и передачи информации и др.

Каждая СМО состоит из определенного числа обслуживающих единиц (приборов, устройств, пунктов), которые называются каналами обслуживания. По числу каналов СМО подразделяют на одноканальные и многоканальные. Заявки поступают в СМО обычно не регулярно, а случайно, образуя так называемый случайный поток заявок (требований).

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимостей между характером потока заявок, числом каналов обслуживания, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием с целью нахождения наилучших путей управления этими процессами.

СМО делят на два основных типа: СМО с отказами и СМО с ожиданием (очередью). В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует. В СМО с ожиданием заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь на обслуживание.

СМО с ожиданием подразделяются на разные виды в зависимости от того, как организована очередь: с ограниченной или неограниченной длиной очереди, с ограниченным временем ожидания и др.

Важное значение имеет дисциплина обслуживания, т.е. порядок обслуживания поступивших заявок. Обслуживание заявки может быть организовано по принципу

«первая пришла – первая обслужена», «последняя пришла – первая обслужена» или обслуживание с приоритетом.

Последовательность однородных событий называется потоком событий. Чаще всего входящий поток требований описывается функцией распределение вероятностей Пуассона:

где r – число требований, поступивших в систему массового обслуживания за единицу времени;

P(r) – вероятность того, что в систему массового обслуживания за единицу времени поступило r требований;

– интенсивность потока требований. Рассмотрим некоторые модели задач ТМО.

3.1. Многоканальная СМО с отказами в обслуживании

На вход многоканальной СМО с отказами поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью . Интенсивность обслуживания заявок равна .

Примерами многоканальных систем массового обслуживания являются предприятия с несколькими телефонными каналами, автозаправочные станции и др.

14

Случайный процесс, протекающий в системе, описывается формулами Эрланга:

Вычислив все вероятности состояний n–канальной СМО с отказами p0, p1, p2,…, pn, можно найти характеристики системы обслуживания.

Вероятность отказа в обслуживании определяется вероятностью того, что поступившая заявка на обслуживание найдет все n каналов занятыми, система будет находиться в состоянии Sn:

В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому

Относительная пропускная способность определяется как

Абсолютную пропускную способность можно определить по формуле

Вероятность обслуживания (доля обслуженных заявок), определяет относительную пропускную способность СМО и может быть найдена по формуле

Среднее число заявок находящихся под обслуживанием, или среднее число занятых обслуживанием каналов определяется по формуле

Коэффициент занятости каналов обслуживанием рассчитывается по формуле

Вероятность занятости каналов обслуживанием определим как

Среднее время простоя каналов найдем по формуле

Среднее время пребывания заявки в системе определим как

Пример 1. Предприятие принимает заявки на выполнение работ по трем телефонным линиям. В среднем поступает 80 заявок в час. Среднее время переговоров составляет 3 мин. Дать характеристику СМО.

15

Находим вероятность того, что обслуживанием не занят ни один канал:

Доля потерянных заявок составляет около 38%, а обслуженных – 62%. Абсолютная пропускная способность СМО – 49 заявок в час. Каждый из каналов занят обслуживанием всего на 82% рабочего времени.

3.2. Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди

В отличие от многоканальной СМО с отказами, число мест в очереди ограничено m. Следовательно, заявка, поступившая в тот момент, когда все места в очереди заняты, не принимается к обслуживанию, не встает в очередь и покидает систему.

Пример 2. На автомойку в среднем за час приезжают три автомобиля, если в очереди уже находятся два автомобиля, то вновь подъезжающие автомобили не желают терять время в ожидании обслуживания и покидают мойку, поскольку среднее время мойки одного автомобиля составляет 15 мин, а мест для мойки всего одно. Необходимо провести анализ работы системы обслуживания в течение рабочего дня (8 ч).

17

Определим долю времени простоя автомойки:

1

n

Среднее число заявок, находящихся в обслуживании:

Среднее время пребывания автомобиля на мойке:

4. Планирование и управление запасами

Фирмы часто делают различные запасы. Хранятся сырье, заготовки, готовая продукция, предназначенная для продажи.

Запасов не должно быть ни слишком много, ни слишком мало. В первом случае возникает необходимость неоправданных затрат на хранение, на амортизацию товара. Во втором случае может оказаться так, что на складе не будет нужного товара. Кроме того, малое количество запасов подразумевает их частое пополнение, что также требует затрат.

Задача управления запасами состоит в том, чтобы избежать обеих крайностей и сделать общие затраты по возможности меньше. Мы рассмотрим несколько моделей управления запасами.

4.1. Основная модель задачи управления запасами

Функция изменения запасов - это связь между количеством единиц товара на складе (Q) и временем t. Будем считать, что имеется один вид товара.

Если на товар имеется спрос, то функция изменения запаса Q = Q(t) убывает. Если товар, наоборот, завозят на склад, то эта функция возрастает.

Затраты, связанные с запасами, можно разделить на три вида:

1)стоимость товара;

2)организационные издержки, т.е. расходы связанные с оформлением товара, его доставкой, разгрузкой и т.д.;

3)издержки на хранение товара, т.е. затраты на аренду склада, амортизацию в процессе хранения и т.д.

18

Рассмотрим основные величины, которыми будем в дальнейшем пользоваться для решения задач.

1.Цена единицы товара – с.

2.Интенсивность спроса – d единиц товара в год.

3.Организационные издержки – s за одну партию товара. Организационные издержки не зависят от размера поставки, т.е. от количества единиц товара в одной партии.

4.Издержки на хранение запаса – h за единицу товара в год. Издержки хранения постоянны.

5.Размер одной партии товара постоянен – q единиц. Партия поступает мгновенно

втот момент, когда возникает дефицит, т.е. когда на складе запас становится равным нулю.

Параметры c, d, s, h считаются заданными. Задача управления запасами состоит в выборе параметра g, таким образом, чтобы минимизировать годовые затраты.

Для решения задачи определим:

1.Общая стоимость товара в год равна произведению годовой интенсивности

Для нахождения оптимального размера партии (q*) найдем производную от

Отсюда можно найти q*. Имеем:

Полученная формула называется формулой оптимального запаса или формулой Харриса.

Пример 1. Пусть интенсивность равномерного спроса составляет 2 000 единиц товара в год. Организационные издержки равны 20 у.е., издержки на хранение – 8 у.е на единицу товара в год, цена товара - 2 у.е.

Определить оптимальный размер партии, оптимальное число поставок за год, продолжительность цикла изменения запаса.

Решение. Имеем: d = 2 000, s = 20, h = 8, c = 2.

19

4.2.Модель производственных поставок

Вотличие от основной модели товары поставляются с работающей производственной линии. В качестве дополнительного параметра будем рассматривать

производительность производственной линии (p).

Издержки на хранение вычисляются следующим образом. Пусть – время поставки. В течение этого времени происходит как пополнение (с интенсивностью р), так и расходование (с интенсивностью p–d) запаса. Поэтому достигнутый к концу периода пополнения запаса максимальный его уровень М вычисляется по формуле

Для нахождения оптимального размера партии (q*) найдем производную от

Отсюда можно найти q*. Имеем:

Пример 2. Интенсивность равномерного спроса составляет 2 000 единиц товара в год. Товар поставляется с конвейера, производительность которого составляет 6 000 единиц в год. Организационные издержки равны 10 у.е., издержки на хранение – 4 у.е., цена единицы товара – 6 у.е.

Определить оптимальный объем партии, оптимальное число поставок за год, продолжительность поставки, продолжительность цикла изменения запаса.

Решение. Имеем: d =2 000, p = 6 000, s = 10, h = 4, c = 6.

Общие затраты равны:

дней.

4.3. Модель поставок со скидкой

В этой задаче используется модель основной задачи, но рассматривается возможность поставки товара по льготной цене (со скидкой), если размер партии достаточно велик. Если размер партии q не менее заданного числа q0, товар поставляется по цене с0, где с0 < с.

Функция общих издержек С(q) будет иметь следующий вид: