4051

11

Путем перестановки мы можем выразить сезонную составляющую через другие значения. Итак, Si X i Ti .

Другими словами, сезонную составляющую (или сезонное отклонение) можно рассчитать путем вычитания тренда из исходного значения временного ряда.

Пример 1. В табл. 2.1.1 приведены данные по объему продаж продукции компании N за период с 1996 по 1999 гг. (данные приведены в тыс.

у.е.):

Задание:

1.Нанести исходные данные на график.

2.Выделить тренд с помощью трехточечных скользящих средних. Построить график.

3.Используя метод сложения, спрогнозировать объем продаж в каждом квартале 2000 г. Нанести на график полученные результаты.

Решение.

1.Нанесем исходные данные на график (рис. 3) Исходя из приведенных значений, можно сказать, что данные объема продаж четко выказывают наличие сезонной составляющей.

12

Заметим, что объемы продаж имеют тенденцию к снижению в летний период и достигают пика в начале зимнего периода.

2. Колебание между последовательными значениями можно сгладить скользящими средним. Рассчитаем трехточечные скользящие средние, так как в показателях объема продаж присутствует ежегодная повторяемость, выраженная тремя значениями. Для периода январь апрель 1996 г. значение скользящей средней отсутствует. Для периода май август 1996 г.

Остальные значения рассчитываются аналогично. Занесем полученные результаты в табл. 2.1.2.

Нанесем на график трехточечные скользящие средние (рис. 3). Последние можно использовать при прогнозировании направленности тренда по-

сле 1999 г.

Таблица 2.1.2 Расчет значений трехточечных скользящих средних

3. Из графика (рис. 3) видно, что каждый год показатели объема продаж выказывают достаточную стабильность. Колебания в обе стороны относительно линии тренда достаточно постоянны. Таким образом, в данном случае метод сложения наиболее приемлем для определения прогнозных значений объема продаж в каждом периоде 2000 г. Выделим сезонную составляющую путем вычитания значений скользящих средних из фактических значений объема продаж. Полученные разности обычно называют отклонениями.

13

Для периода январь апрель 1996 г. значение скользящей средней отсутствует, и поэтому первое значение отклонения рассчитывается для следующего периода. В период май август 1996 г. фактический объем продаж составил 5, а соответствующее значение скользящего среднего – 21,67. Далее рассчитываем отклонение: 5 – 21,67 = -16,67.

Аналогично, в сентябре декабре 1996 г. отклонение рассчитывается путем вычитания скользящего среднего из объема продаж, что дает нам 35 – 22,67 = 12,33. Точно так же рассчитаны и другие значения отклонений, приведенные в табл. 2.1.3.

Проведем анализ сезонных колебаний. За период январь апрель мы имеем следующие значения отклонений: 1997г. – 4,33; 1998г. – 6,33;

1999г. – 6,33.

Среднее этих значений позволяет получить простой оценочный показатель сезонных колебаний. Так, сезонное отклонение за январь апрель

Аналогично можно рассчитать сезонные колебания в другие периоды:

Фактические значения сезонных колебаний необходимо скорректировать с учетом небольшого заданного смещения.

14

В табл. 2.1.4. приведены значения отклонений и средние отклонения в каждом из периодов. Итоговое среднее арифметическое трех средних показателей 5,667, -17,25 и 11,667 равно 0,0278. Итоговое среднее должно равняться нулю. Следовательно, чтобы получить ноль, необходимо скорректировать среднее отклонение в каждом из периодов. Это можно сделать, вычитая 0,0278 из каждого среднего значения. Таким образом, в чистом виде оценочные значения сезонных колебаний выглядят так:

Январь апрель: 5,667 0,0278 5,639; Май август: 17,25 0,0278 17,278; Сентябрь декабрь: 11,667 0,0278 11,639.

Значения оценочных показателей сезонных отклонений приведены в табл. 2.1.4.

Оценочные показатели тренда можно рассчитать с помощью уравнения регрессии. Уравнение регрессии имеет вид: Y a b X , где Y – значения трехточечных скользящих средних, X – порядковый номер периода. Коэффициенты a и b найдем используя метод наименьших квадратов (МНК):

Итак, в нашем примере уравнение регрессии имеет следующий вид: Y 18,285 1,448 X . Получим, следующие показатели тренда в каждом из периодов 2000 г.:

Январь апрель: 18,285 1,448 *13 37,11; Май август: 18,285 1,448 *14 38,56 ; Сентябрь декабрь: 18,285 1,448 *15 40,01.

Нанесем оценочные значения тренда на график (рис. 4).

фактический объем значения тренда прогнозные значения

Рис. 4. Оценочные значения тренда и прогнозные объемы продаж

Прогнозные значения можно рассчитать путем сложения оценочных показателей тренда и скорректированных значений сезонных колебаний. Таким образом, мы имеем следующие прогнозные показатели на 2000 г.:

Январь апрель: 37,11 5,639 42,75 ; Май август: 38,56 ( 17,278) 21,28 ; Сентябрь декабрь: 40,01 11,639 51,65 .

Нанесем полученные прогнозные значения на график (рис. 4). Отсюда общий объем продаж на 2000 год составит:

42, 75 + 21,28+ 51,65 = 115,68 тыс. у.е.

2.2. Метод умножения

Метод умножения используется, когда сезонные составляющие изменяются пропорционально значениям тренда по всему анализируемому периоду (рис. 5). В этом случае значение временного ряда можно представить как произведение тренда и сезонной составляющей. При этом форму-

Si - сезонное отклонение в периоде i .

Путем перестановки мы можем выразить сезонную составляющую че-

рез другие значения. Итак, Si =Xi / Ti..

Другими словами, сезонную составляющую можно рассчитать путем деления тренда на исходное значение временного ряда. То есть если поделить исходные значения на скользящие средние, то мы получим оценочные значения сезонного отклонения.

16

Пример 2. В табл. 2.2.1 приведены данные объема продаж продукции компании N за период с 1996 по 1999 гг. (данные приведены в тыс. у.е.):

Таблица 2.2.1

Исходные данные

Задание:

1.Нанести исходные данные на график.

2.Выделить тренд с помощью трехточечных скользящих средних. Построить график.

3.Используя метод умножения, спрогнозировать объем продаж в каждом квартале 2000 г. Нанести на график полученные результаты.

Решение.

1.Нанесем исходные данные на график (рис. 5). Исходя из приведенных значений, можно сказать, что данные объема продаж четко выказывают наличие сезонной составляющей.

Заметим, что объемы продаж имеют тенденцию к снижению в летний период и достигают пика в начале зимнего периода.

17

2. Колебание между последовательными значениями можно сгладить скользящими средними. Здесь взяты трехточечные скользящие средние, так как в показателях объема продаж присутствует ежегодная повторяемость, выраженная тремя значениями. Для периода январь апрель 1996 г. значение скользящей средней отсутствует. Для периода май – август 1996

Нанесем трехточечные средние на график (рис. 5).

3. Как видно из графика (рис. 5), колебания увеличиваются по мере восхождения тренда. Рассмотрим размер значений в 1996 г. (5 в мае августе и 38 в сентябре декабре) и аналогичный размер в 1999 году (14 в мае августе и 65 в сентябре декабре). Внешне размер продаж увеличивается, и поэтому можно воспользоваться методом умножения для определения прогнозных значений объема продаж в каждом периоде 2000г. В этом случае, прогнозные значения можно рассчитать путем умножения оценочных значений тренда на значения сезонных колебаний.

Выделим сезонную составляющую путем деления фактического объема продаж на значения трехточечных скользящих средних. Полученные коэффициенты запишем в последней колонке табл. 2.2.3.

18

Проведем анализ сезонных колебаний. За период январь апрель мы имеем следующие коэффициенты: 1997 г. – 1,15; 1998 г. – 1,26; 1999 г. – 1,26. Среднее этих значений позволяет получить простой оценочный показатель сезонных отклонений. Так, сезонное отклонение за январь апрель

Аналогично можно рассчитать сезонные колебания в другие периоды:

19

Средние коэффициенты для каждого периода составляют по расчетам 1,225, 0,274 и 1,503 (табл. 2.2.4). Оценка считается объективной, если итоговый средний коэффициент равен 1. В нашем примере он равен 1,0003. Поэтому вносится корректировка в оценочные значения сезонных колебаний путем деления всех средних на 1,0003. Таким образом, сезонные колебания составляют по оценкам:

Январь апрель: 1,225/1,0003 1,2246; Май август: 0,274/1,0003 0,2739; Сентябрь декабрь:1,503/1,0003 1,5025.

Оценочные показатели тренда можно рассчитать с помощью уравнения регрессии. Определим значения тренда по трехточечным скользящим средним с помощью уравнения регрессии. Уравнение регрессии имеет вид: Y a b X , где Y – значения трехточечных скользящих средних, X – порядковый номер периода. Коэффициенты a и b найдем, используя метод наименьших квадратов (МНК):

Итак, в нашем примере уравнение регрессии имеет следующий вид:

Y 16,164 2,37 X .

Рассчитаем показатели тренда в каждом из периодов 2000 г. Для этого в уравнение регрессии вместо Х подставим порядковые номера, соответствующие номеру квартала требуемого года, т.е периоду январь апрель соответствует порядковый номер – 13, периоду май – август – 14 и периоду сентябрь – декабрь – 15. Получим:

Январь апрель: 16,164 2,37 13 46,974; Май август: 16,164 2,37 14 49,344; Сентябрь декабрь: 16,164 2,37 15 51,714.

Нанесем рассчитанные оценочные значения тренда на график (см. рис. 6). Они представлены возрастающей прямой, поскольку объем продаж продукции, начиная с 1996 г. по 1999 г., имеет тенденцию к возрастанию.