Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4001

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

454.11 Кб

Скачать

☆

Несколько замечаний о литературе

Легко заметить, что в предложенном пособии ничего не говорится о применении математики в экономике, и задачи и примеры не имеют экономического содержания. Поэтому в списке литературы приведены источники [1, 3 – 7, 11], естественно, не исчерпывающие доступную литературу по теме.

В последние годы в названии учебника по математике модно упоминать экономику – экономические вузы популярны, и это повышает шансы продать книгу. Однако в лучшем случае изложение общего курса в таких изданиях дополнено сведениями о производственных функциях и межотраслевом балансе.

На этом фоне выгодно отличается пособие [6], где действительно показано, насколько математика помогает экономисту в его проблемной области. При этом пособие охватывает практически весь курс математики и написано вполне понятно и последовательно.

Учебник [3], созданный ещё 30 лет назад, заслуживает внимания как один из самых надёжных и проверенных временем, а [7] есть почти в любой вузовской библиотеке (и весьма популярен в ХГАЭП), хотя и уступает [6] в освещении экономических приложений.

Разумеется, стоит обратить внимание и на пособие [1], специально разработанное кафедрой МиММЭ для студентов Академии.

Тем же, кто хочет увидеть, что такое настоящая «математика в экономике», стоит хотя бы просмотреть учебник [4]. Для его изучения придётся освоить полный курс алгебры и математического анализа, но тогда действительно можно будет оценить всю сложность математического аппарата, применяемого в современных экономических исследованиях.

Классический курс математического анализа, со всеми определениями и доказательствами, можно найти в [2] и [12]. В рамках экономического вуза эти книги несколько избыточны, но ответят на любой вопрос программы 1-го курса. То же справедливо и для [9], по которому много лет учат в технических вузах.

Работы [8, 10, 13] созданы преподавателями кафедры, предназначены именно для студентов ХГАЭП (хотя не повредят никому) и полностью отвечают стандартам обучения и рабочим программам. Там же даны задания, в том числе более сложные, чем в данном пособии.

Библиографический список

1. Вербицкий В. А. Математика в экономике : учеб. пособие / В. А Вербицкий и

др. – Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 1999. – 84 с.
2. Ильин В. А. Основы математического анализа	: в 2 ч. / В. А. Ильин,
Э. Г. Позняк. – М. : Наука, Ч.1 – 1971, Ч.2 – 1993.
3. Карасёв А. К. Курс высшей математики для	экономических вузов	/
А. К. Карасёв, З. М. Аксютина, Т. Н. Савельева. – М. : Высшая школа, 1982.
4. Колемаев В. А. Математическая экономика :	учебник для вузов	/
В. А. Колемаев. – М. : ЮНИТИ ДАНА, 2002. – 399 с.

5. Красс М. С. Основы математики и её приложения в экономическом образовании / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов. – М. : Дело, 2011.

6. Красс М. С. Математика для экономистов / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов. –

СПб. : Питер, 2007. – 464 с.

7. Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов : учебник для вузов /

Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин,	М. Н. Фридман; под ред. проф.
Н. Ш. Кремера – М. : ЮНИТИ, 2003. – 471 с.

8. Мясников Е. А. Нелинейное и динамическое программирование : учеб. пособие / Е. А. Мясников. – Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 2011. – 140 с.

9. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 2 / Н. С. Пискунов. – М. : Высшая школа, 1978. – 576 с.

10. Старкова Е. О. Математика. Производные : варианты контрольных заданий для студентов 1-го курса дневного отделения всех специальностей / сост. Е.О. Старкова, М.Ф. Тиунчик. – Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 2004. – 20 с.

11. Солодовников А. С. Математика в экономике : учебник / А. С. Солодовников и др. – М. : Финансы и статистика, 1996. – 376 с.

12. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. Т. 2 / Г. М. Фихтенгольц. – СПб. : 2001. – 464 с.

13. Щербатюк С. Ф. Введение в анализ : учеб. пособие / С. Ф. Щербатюк. – Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 1998.

ОТВЕТЫ и УКАЗАНИЯ

Глава I

Указания к ЛФ3 (1-е число – координата на оси ОХ, 2-е число – координата на оси OY, отмечаем их и проводим прямую через полученные точки):

1) а) 1 и 1;	б) 1 и –1;	в) –1 и –1;	г) –1 и 1;
2) а) 2 и 2;	б) 2 и –2;	в) –2 и –2;	г) –2 и 2;
3) а) 2 и 4;	б) 2 и –4;	в) –2 и –4;	г) –2 и 4;
4) а) 4 и 2;	б) 4 и –2;	в) –4 и –2;	г) –4 и 2;
5) а) 3 и 2;	б) 3 и –2;	в) –3 и –2; г) –3 и 2 (не 2 и –3!);
6) а) 8 и 6;	б) 6 и 8;	в) 8 и –6;	г) 6 и –8.
АЗ1.

а) y

, y0

б) y

, y0

;

в) y e3x 1, y0

e 2 ;

г) y

, y0

;

д) y ln 3x 1 x

, y0

0 ;

е) y

3x 1 3 , y0

64 ;

а) y

2 x -4 , y0

б) y 2

5 , y0

4 ;

в) y 3

x 1 , y0

9 ;

г) y

x 5 , y0

1 ;

x 1

д) y

x 0 , y0

;

е) y

, y0

;

10x

15x

3) (во всех примерах x

0 )

а) y

4x2

4, y

8 ;

б)

2x2

2 , y

4 ;

в)

0,6

0,8x2 ,

4) а) y

4 x 0 , x0

б) y

4 x 0 , y0

; в)

9x2

18x2

2 50x2

5) а) y 3 x x 2 , y0

2 ;

б) y

x 1 x

3 , y0

2 ; в) y

2x 1 x

6) а) y x 5, x 3, y0

1 ;

б) y

, x

, y0

5 ;

в) y 3 2x, x 0, y0

г) y

x 1

, x

4, y0

0 ;

д) y 3x

, x

, y0

;

е) y x, x 3, y0

4 .

y0 0,2 ;

0 , y0 3 ;

45 , y0 1 .

Глава II

ПР1. 1) а) 4;б) 3;

2)а) 0;б) 0;

3)а) 1;б) 9; ПР2. 1) а) 2/3;

2)а) –2;

3)а) 2;

4)а) 1/3;

5)а) 2;

в) 2;	г) 3;	д) 2;
в) 0;	г) 1;	д) 1;
в) 3;	г) 1/16;	д) 1/25.

б) 3/4;				в) –3;		г) –3/2;
б) –4;				в) 2;		г) 4;
б) 5/3;				в) –1/6;		г) 3;
б) –1/3;				в) –9/4;		г) 14/19;

б)	1	2			;	в)	1,5

1	1,5		2			0,5

д) –1/3;

д) 9/8; д) –2;

3	; г)	2		.



	1	1,5	2

ПР5. 1) а) 0,5;

б) –0,5;

в) 4;

г) –6;

д) 0,5;

а) 3;

б) 1/3;

в) 1/12;

г) 1/12;

д) 1/3;

а) 1,5;

б) –3;

в) 8;

г) –4;

д) 0,25;

а) 1;

б) 2;

в) 2;

г) 6;

д) ∞.

ПР6. 1) а) –1;

б) 5/3;

в) 5;

г) 6/5;

а) –1/3;

б) –2;

в) 0;

г) ∞;

а) 7/3;

б) 5;

в) 1;

г) 1/4;

а) –2;

б) –4;

в) 0;

г) 0,5 2 .

ПР7. 1) а) 3/2;

б) 4/3;

в) –7/2;

г) 0,001;

д) 3;

а) 0;

б) ∞;

в) –7/2;

г) ∞;

д) 3;

а) 0;

б) 0;

в) ∞;

г) ∞;

д) ∞.

ПР8. 1) а) 3/2;

б) ∞;

в) 0;

2) а) 0;

б) ∞;

в) ∞;

а) 3000;

б) ∞;

в) 0.

ПР9. (в столбце слева – номер функции, в строке сверху – точка,

в таблице – значение предела данной функции в указанной точке)

–1

–2

∞

–3/5

–1/2

–9/6

3/3

–19/5

–6/5

2/1

–16/3

4/15

32/7

3/4

–1/4

6/2

8/12

25/6

21/26

–1/7

–2/15

4/5

1/29

13/9

2/3

ПР10. 1) а) 3/4;		б) 2;	в) 3/8;	г) 0;
2)	а) 0;	б) 0;	в) –∞;	г) ∞;

3)	а) 0,5 3 ;	б) –1;	в) 4;	г) 4/5;
4)	а) 1/10;	б) 0;	в) 1;	г) 2.
ПР11. 1) а) 1/4;		б) 1/2;	в) 1/4;	г) 4;
2)	а) 1/8;	б) 1/3;	в) 2/15 г) –1/6;
3)	а) 1/32;	б) 1/8;	в) 1/6;	г) –12;
4)	а) 1;	б) –1/4;	в) 1/4;	г) 2;	д) –3/4;	е) 3/4.

ПР12. 1) а) 6/4;

б) 1/2;

в) 2/3;

г) –2/3;

2) а) 4;

б)

2 ;

в) –2/3;

г) –1/2;

3) а) 3;

б) 3/2;

в) 3

3 ;

4) а) –3;

б) –2;

в) –1.

ПР13. 1) а) 0;

б) 2/π;

в) 0,5;

г) 0,5;

д) 0,5 2 ;

а) – д) все равны ∞.

ПР14.

1) а) 2/3;

б) 5/3;

в) 3/4;

г) 2/3;

д) 3/4;

а) 4;

б) 9/4;

в) 0,5;

г) 2 ;

д) 1.

ПР15.

1) а) 0,5;

б) 2/9;

в) 4/9;

г) –16/3;

а) 1/3;

б) ∞;

в) 0;

г) 1/9.

ПР16.

а) 1;

б) 81/256;

в) 3;

г) 1;

а) 1;

б) 9/4;

в) 49/4;

г) 64/9.

ПР17.

1) а) 0;

б) +∞;

в) 0;

г) +∞;

2) в примере б) +∞ при x

и 0 при x

в остальных 0 при x

и +∞ при x

В ПР18–ПР20 в ответах указаны степени числа е.

ПР18. 1) а) –2;

б) –2/3;

в) 2/3;

г) –1/6;

а) –2;

б) 3/2;

в) –3/4;

г) –2/3;

а) 5;

б) 1;

в) –1;

г) 2;

а) 3/2;

б) 1;

в) –1/8;

г) –1/6;

а) –3/4;

б) –4/5;

в) –1/2;

г) 1/8.

ПР19. 1) а) 2;

б) –6;

в) –3;

г) 3;

а) 1/2;

б) 2/3;

в) –3/2;

г) 2/3.

ПР20. 1) а) 1;

б) –1;

в) –1;

г) 1;

а) 2;

б) –3/7;

в) 4/3;

г) 4.

Глава III

ОД11 (Правильные ответы)

№

4 x

4 5x

4 5x6

3 3 5 6x5

5 8x3

2x 4 8 3x2 2

3 sin x

5 2 cos x

21x2 5

3 2sin x

2 cos x

7x3

9	4e4 x																											10		4e 4 x
11	2 4e4 x														3 1 e x											5 3e3x		12	e4 x3 5 x 6 4 3x2																	5
13	esin x cos x																											14	e2sin7 x 2 cos7x 7

15	10cos 6 x													sin 6x										6 ln10				16	5sin4 x											cos x
17	8cos8x																											18	5sin4 8x cos8x 8

19	cos2x4 8x3																											20	3sin2 2x4													cos2x4 8x3

21	3			2 cos1 5x7																	sin 5x7 35x6							22	cosln x												1
																													cosln x												x

23			sin ln x													1												24	1						cos x
			sin ln x																																cos x
																	x													sin x

25			1										sin x															26	1								4 cos x

		cos x																												4 sin x

27			1						cos4x 4																			28				1							3cos6x 6

		sin 4x																												3sin6x

29	coslog2												x						1									30				1												sin x

																		x ln 2												cos x ln 5
																		x ln 2												cos x ln 5

31	3ln2 x											1																32	3ln2 5x2													4x					10x 4
	3ln2 x																												3ln2 5x2													4x					5x2		4x
													x																																		5x2		4x

33	3																											34	1

		x																												2x

35			1										1															36	1															3
																																												3
	2				ln x									x																	2 4x							2				2				4
																																										2

37			1																	4								38	2														5
																				4																							5
				3 4x									2						3		4										3 7x							9				3				7
																			3																							3

39				7																	9							40				3
																					9
						5x2											x3				2		10x 3x2
			2			5x2											x3				2		10x 3x2						1			9x2
			2																										1			9x2

41			1										1															42	1									3

	1					x																							1				9x
	1					x		2							x														1				9x					2				x

43						1													1			5						44	earccos 3x													1						3
						1													1																							1

			1				5x						2							5x																		1							9x2

45								1											e 2 x						2			46	5arctg4										x			1

																																													x2
						1				e 4 x																												1							x2
47	5arctg4 2x																				1					2		48				7													1
																					1											7													1
																			1			4x2									arctg2 x											1				x2
																			1			4x2									arctg2 x											1				x2

49						7					2										1							50						5								7								3cos2x 2
																																										7
																											6
																													8							arctg 2									3sin 2x
				arctg							3		6x						1				36x			2
											3															2						2																	1 9 sin2 2x
																																2																	1 9 sin2 2x

ОД13.

1) y

3x 2

2x 1;

2) y 6x2

6x 7 ;

0,6x2

2 x

;

2 x

33 x2

44 x3

;

6) y

;

33 x2

44 x3

4 x

123 x2

204 x3

7) y

;

10)

2 cos x

3sin x ;

5x2

7x3

8x4

11)

5cos5x

6sin6x ;

12)

10cos5x

18sin6x ;

13)

3sin x cos x 2

cos x ;

14)

12x3 cos x4

5x4 sin x5 ;

15)

24x3 sin x4 cos x4

15x4 cos2 x5

sin x5 ;

16)

;

17) y

9x2

;

2 5x 3

44 2 3x 3

5x2

44 2 3x3 3

3 ;

18)

19)

;

1 x

5x2

44 2 3x3 3

20)

24x2 arctg3 x3

;

21)

4x arctg x3

6x4

;

22)

10x2

15 e5 x ;

23) y

e5x

10x2

15 ;

2x2

24)

e5sin x

10x2

15 cos x ;

25)

e x

1 cos x

sin x

;

2x2

sin x

26)

6 cos3x e 2sin3x ;

27)

3cos3x e 2

sin3x ;

sin 3x

28)

6x2

;

29) y

24x3 ln2

2x4

;

30)

tg 2x3

5 .

2x3

2x4

Глава IV

ЧП4. (во всех примерах x

0,25/ a2 ; y

0,25/ b2 ; f

0,25

a b

max

указаны соответственно xmax ; ymax ;

fmax ).

а) 1/16; 1/36; 5/24;

б) 1/36;

1/16;

5/24;

в) 1/16; 1/100; 7/40;

г) 1/100;

1/64; 9/80;

д) 1/144; 1/4; 7/24;

е) 1/4; 1/16; 3/8;

ж) при x

xôèêñ

будет ymax

1/16 ;

1/ 64,

fmax

xôèêñ

при y

yôèêñ

функция неограниченно растёт;

з) при y

yôèêñ

будет xmax

1/ 36, fmax

yôèêñ

1/12 ;

при x

xôèêñ

функция неограниченно растёт;

ЧП5. (во всех примерах x

max

0,25a

2 ; y

max

0,25b2 ;

max

0,25 a2

указаны соответственно xmax ;

ymax ;

fmax ).

а) 1; 9/4; 13/4;

б) 9/4;

13/4;

в) 1; 25/4;

29/4;

г) 25/4; 4; 41/4;

д) 9; 1/4; 37/4;

е) 1/4;

5/4;

ж) 0; 4; 4;

з) 9/4; 0; 9/4.

ЧП6

1) а–б) fmin 0;0

0 ; в–г) нет экстремума в M 0;0 ;

д)

fmin

c; c

0 при любом c;

е)

fmax

c; c

при любом c;

а)

fmax

18; f min

2;1

18, нет экстремума в M

2;1

и N 2; 1 ;

б)

fmax

1;2

18; fmin 1;

18 , нет экстремума в M

1; 2

и N 1;2 ;

в)

fmax

18; fmin

2;1

18 , нет экстремума в M

2; 1 и N 2;1 ;

г)

fmax

1;1

6; fmin 1;

6 , нет экстремума в M

и N 1;1 ;

д) нет экстремума в M

2;0

и N 2;0 ;

е) нет стационарных точек, возрастает от

до

по каждой переменной;

а)

fmax

2; fmin

4;1

34 , нет экстремума в M 0;1

и N 4; 1 ;

б)

fmax

34; fmin

0;1

2 , нет экстремума в M 0; 1 и N

4;1 ;

в) fmax 0;1

2; fmin

34 , нет экстремума в M 0;

и N 4;1 ;

г) нет стационарных точек, убывает по y при любом фиксированном x;

д)

fmax

4; fmin

2;1

6 , нет экстремума в M 0;1

и N 2; 1 ;

е) fmax 2;1

10; fmin

2 , нет экстремума в M 0;1

и N 2; 1 ;

а)

fmax

32; fmin

2;0

4 , нет экстремума в M 0;0 и N 2;

;

б) fmax 0;0

0; fmin

8;2

316 , нет экстремума в M 0;2

и N 8;0

;

в) fmax 0;0

0; fmin

36 , нет экстремума в M 0;

и N 4;0

;

г) необходимо дополнительное исследование в точках M 0;0

и N

2;0

;

а)

min

1;1

б)

max

1;1

в) f

max

2;2

8 ;

г)

min

4; 3

4 ;

также во всех примерах а–г) нет экстремума в M 0;0 ;

а)

fmin 1;1

6 ;

б) нет экстремума в M 1;

1 ;

в)

fmax 1;1

9 ;

г)

fmin

2;1

19, fmin

2;1

19 , нет экстремума в M 0;1 ;

д)

fmin

0;1

3 ;

е) fmax 0; 1

3 , нет экстремума в M

и N 2;

1 ;

ж) fmax 0;0

0; fmin

17 , нет экстремума в

2;0

;

з)

fmax

1;0

2; fmin

1 , нет экстремума в

0;0 и

1 ;

а)

fmin

3;1

28 , в M 3;1

– дополнительное исследование (нет экстремума);

б) fmax 3; 1

187 , в M 3;1

нет экстремума, в

1 – дополнительное исследо-

вание (нет экстремума);

в) fmax 0;2

4, fmin

2;0

16, , в M 0;0

, N 2;0

и P 2;0

нет экстремума;

г)

fmax

2, fmin

1;1

3, , в M 0;1 ,

и P 1;

нет экстремума.

Содержание

Предисловие …..………………………………………………….………….…….... 3 I. ЗАДАЧИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ………………………………… 5 §1. Линейная функция. Уравнение прямой. Парабола ………………………….... 5 §2. Элементарные преобразования графиков …….………………………….……. 9 §3. Аналитическое задание функций …………………………………………….. 13 II. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ …………………………………………….. 16

§4. Пределы функций ……………………………………………………………… 16 §5. Непрерывность функций ……………………………………………………… 33

III. ПРОИЗВОДНАЯ И ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ …………………………53 §6. Основы дифференцирования функций ……………….……………………… 53 §7. Логарифмическое дифференцирование ……………………………………… 69 §8. Правило Лопиталя – Бернулли ……………………………………………….. 72 §9. Исследование функций и построение графиков …………………………….. 75 IV. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ …………………………….…….…….. 82 §10. Основы дифференцирования функции двух переменных ………………… 82 Несколько замечаний о литературе ……………………………………………… 91 Библиографический список ……………………………………….……………… 92

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ ………………………………………….……………… 93 Глава I ………………………………………….…………………………… 93 Глава II ………………………………………….……………………………94 Глава III ………………………………………….………………………….. 95 Глава IV ………………………………………….………………………….. 97

Учебное издание

Евгений Анатольевич Мясников

ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ.

Часть 1

Учебное пособие

Редактор Г.С. Одинцова

Подписано к печати	2012 г.	Формат 60х84/16.	Бумага писчая.
Печать цифровая.	Усл.печ.л. 5,8.	Уч.-изд. л. 4,2.	Тираж 100 экз.

Заказ №_______________________________________________________

680042, г. Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 134, РИЦ ХГАЭП

100

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.2022452.8 Кб43998.pdf
#
13.11.2022452.83 Кб23999.pdf
#
13.11.202226.62 Кб04.doc
#
13.11.202226.11 Кб240.doc
#
13.11.2022453.81 Кб14000.pdf
#
13.11.2022454.11 Кб14001.pdf
#
13.11.2022454.41 Кб24002.pdf
#
13.11.2022454.55 Кб14003.pdf
#
13.11.2022454.65 Кб14004.pdf
#
13.11.2022454.9 Кб24005.pdf
#
13.11.2022455.16 Кб14006.pdf