Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3583

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

348.43 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Министерство образования Российской Федерации Хабаровская государственная академия экономики и права Кафедра математики и математических методов в экономике

Математическое моделирование

Методические указания и контрольные задания для студентов заочного отделения

Хабаровск 2002

ББК В 1 Х 12

Математическая моделирование: Методические указания и контрольные задания для студентов заочного отделения /Сост. Л.А.Дойхен, В.Н.Захарова. – Хабаровск: РИЦ ХГАЭП, 2002. – 24 с.

Методические указания по курсу ''Математическое моделирование'' соотвествуют государственным стандартам; предназначено для студентов заочного отделения. Составлены варианты контрольной работы по курсу.

Рецензент кандидат ф.-м.н., доцент ХГТУ В.Я. Прудников

Утверждено издательско-библиотечным советом академии в качестве методических указаний для студентов

Дойхен Людмила Архиповна

Захарова Валентина Никитична

Математическое моделирование Методические указания и контрольные задания для студентов заочного отделения

Редактор Г.С. Одинцова

Подписано в печать 2002г.	Формат 60 х 84/16 . Бумага писчая.
Печать офсетная. Усл.п.л. 1,4	Уч.-изд.л. 1,0	Тираж 1300 экз.

Заказ №

___________________________________________________________

680042, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 134, ХГАЭП, РИЦ.

Предисловие

Данные указания содержат основные вопросы курса, методические указания и контрольные задания для выполнения работ по курсу ''Математическое моделирование''.

В методических указаниях приведены необходимые сведения из отдельных разделов курса. Решены типовые задачи.

Методические указания составлены для студентов-заочников. Перед тем как приступить к решению контрольной работы, необходимо разобрать теоретические вопросы по соответствующему разделу и решения типовых задач.

Основные вопросы курса

1.Система m линейных уравнений с n неизвестными; базисные и свободные неизвестные; понятие базисного решения. Система с базисом. Метод Жордана – Гаусса . Каноническая система. Опорное решение. Метод однократного замещения в канонической системе.

2.Примеры экономико-математических моделей (задачи: использование сырья, о диете, транспортная). Задача линейного программирования (стандартная, основная, общая). Преобразование системы ограничений.

3.Общая теория линейного программирования. Понятие о выпуклых множествах. Множество допустимых решений систем линейных уравнений и неравенств. Экстремум целевой функции.

4.Каноническая задача линейного программирования. Симплексные таблицы. Симплексный метод. Альтернативный оптимум. Графический метод.

5.Двойственность в линейном программировании. Двойственная задача к стандартной и основной. Основная теорема двойственности. Теорема равновесия. Экономическая интерпретация двойственных переменных.

6.Транспортная задача. Разрешимость транспортной задачи. Методы построения исходного допустимого плана. Метод потенциалов.

7.Понятие о нелинейном программировании. Понятие о целочисленном программировании. Простейшие задачи динамического программирования.

Методические указания к отдельным темам программы

1. Система с базисом. Метод Жордана – Гаусса

Определение. Система m уравнений с n неизвестными называется системой с базисом, если в ней имеются какие-то m неизвестных, каждое из которых входит только в одно уравнение с коэффициентом единица и не входит в остальные уравнения.

Система с базисом может быть записана, например, так:

x1 + a1, m+1 xm+1	+ ...	+a1n xn	= a10,
x2 + a2, m+1 xm+1	+ ...	+a2n xn	= a20,

...............................................................

xm + am, m+1 xm+1 + ... +amn xn = am0.

Для того, чтобы произвольную систему m уравнений с n неизвестными привести к системе с базисом, воспользуемся методом Жордана – Гаусса. Рассмотрим систему

a11x1 + a12x2 + ... + a1kxk + ... + a1pxp + ... + a1n xn = a10, a21x1 + a22x2 + ... + a2kx k + ... + a2pxp + ... + a2nxn = a20,

.......................................................................................

ai1x1 + ai2x2 + ...

+ aikxk

+ ...

+ aipxp + ...

+ ainxn

= ai0,

......................................................................................

as1x1 + as2x2 + + aspxp + + aspxp + + asnxn = as0,... ... ...

......................................................................................

am1x1 + am2x2 + ...

+ amkxk + ...

+ ampxp + ...

+ amnxn = am0.

Составим таблицу Жордана – Гаусса .

ai0

a11

a12

.....

a1k

.....

a1p

.....

a1n

a10

a21

a22

.....

a2k

.....

a2p

.....

a2n

a20

.....

ai1

ai2

.....

aik

.....

aip

.....

ain

ai0

.....

as1

as2

.....

asp

.....

asp

.....

asn

as0

.....

am1

am2

.....

amk

.....

amp

.....

amn

am0

1.Выберем разрешающий элемент (asp). Удобно в качестве разрешающего элемента выбирать элемент, равный единице.

2.Элементы разрешающей строки разделим на разрешающий элемент.

3.Элементы остальных строк вычислим по ''правилу прямоугольника'':

Элемент а'ik равен

aik asp – ask aip

asp

При этом в новой таблице в разрешающем столбце на месте разрешающего элемента asp будет стоять 1, остальные элементы равны нулю. Таких ''единичных столбцов'' надо получить столько, сколько базисных неизвестных имеет данная система.

Приведя систему к системе с базисом и приравняв свободные неизвестные к нулю, мы получим базисное решение системы.

Пример: Найти базисное решение системы.

			x1 + x2 – x3 + x4 = 2
			2x1 – x2 +3x3 – 2x4 = 3
			x1 – x2 +		x4 =5
Составим таблицу:

	x1	x2		x3	x4	ai0

	1	1		-1	1	2
	2	-1		3	-2	3
	1	-1		0	1	5

	1	1		-1	1	2
	0	-3		5	-4	-1
	0	-2		1	0	3

	1	-1		0	1	5
	0	7		0	-4	-16
	0	-2		1	0	3

	1	0		0	3/7	19/7
	0	1		0	-4/7	-16/7
	0	0		1	-8/7	-11/7

Получим систему с базисом
x1 +	3/7x4 =	19/7
x2 -	4/7x4 =	-16/7
x3 -	8/7x4 =	-11/7

Здесь x1, x2, x3 – базисные неизвестные, x4 – свободное неизвестное. Положим х4=0. Получим х1= 19/7, х2= -16/7, х3= -11/7. Итак, базисное решение х0=(19/7, -16/7, -11/7, 0). Подставим решение в исходную систему

19/7 - 16/7 + 11/7 = 14/7 = 2,

2 19/7	+ 16/7	– 33/7 = 21/7 = 3,
19/7	+ 16/7	= 35/7 = 5.

Решение найдено верно.

2. Симплексный метод

На предприятии имеется три вида сырья и можно производить два вида продукции. Данные о расходе сырья на производство единицы продукции, запасов сырья и прибыли от реализации единицы продукции предоставлены в таблице

Вид сырья	Запасы сырья	Расход сырья на 1 ед. продукции
		А	В
1	45	3	4
2	31	5	2
3	30	2	3
Прибыль от реализации 1 ед.		7	5
продукции

Найти оптимальный план выпуска продукции, при котором предприятие получит наибольшую прибыль.

Решить задачу симплексным методом и графически.

Решение. Составим математическую модель. Обозначим через х1 и х2 выпуск продукции А и В соответственно. Затраты материала первого сорта на план х (х1, х2) составят 3х1 + 4х2, и они не должны превосходить запасов, т.е. 45 кг:

3х1 + 4х2 45.

Аналогичны, ограничения по материалу второго сорта

5х1 + 2х2 35

и по материалу третьего сорта

2х1 + 3х2 30.

Прибыль от реализации х1 единиц А и х2 – В составит z = 7x1 + 5x2 – целевая функция задачи.

Получили модель задачи:
3х1	+ 4х2	45
5х1	+ 2х2	35
2х1 + 3х2		30	(1)
х1	0, x2	0
z = 7x1 + 5x2		max

Вводом балансовых переменных х3, х4, х5 приводим модель к каноническому виду

3x1	+ 4x2	+ x3	= 45
5x1	+ 2x2	+ x4	= 31
2x1 + 3x2			+ x5 = 30	(2)
	xj 0, (j=1,...,5)
z = 7x1 + 5x2			max

Составим симплексную таблицу:

cj	базис	аi0	7	5	0	0	0
	(xj)		х1	х2	х3	х4	х5
0	x3	45	3	4	1	0	0
0	x4	31	5	2	0	1	0
0	x5	30	2	3	0	0	1
	Z	0	-7	-5	0	0	0

Первые три строки этой таблицы содержат в условной форме систему уравнений (ограничений) в задаче (2), а именно: в столбцах ''ai0'' записываются в свободные члены уравнений, в столбцах ''х1'', ''х2'',..., ''х5'' – коэффициенты при соответствующих неизвестных этой системы.

Слева от столбца ''ai0'' в столбце ''xj'' выписываются базисные неизвестные, содержащиеся в соответствующих уравнениях системы.

Верхняя строчка и крайний левый столбец содержат коэффициенты при соответствующих неизвестных в целевой функции z.

Последняя строка называется оценочной, а элементы строки – оценками. Первый элемент а00 оценочной строки представляет собой значение целевой функции z на начальном опорном плане

х0 = (0, 0, 45, 31, 30).

Это значение может быть получено как результат скалярного умножения вектора-столбца ''сj'' на вектор-столбец свободных членов ''аi0''

а00 = 0 45 0 31 0 30 0.

Оценки при неизвестных вычисляются по правилу: оценка при хj равна сумме произведений элементов первого столбца на соответствующие элементы столбца xj минус коэффициент сj, записанный над столбцом хj. Так оценка при х1 равна

а01 = 0 3 0 5 0 2 7 7

Оценки при всех базисных неизвестных всегда равны нулю.

Алгоритм симплексного метода

1.Если среди оценок симплексной таблицы при решении на максимум нет отрицательных оценок, то соответствующее опорное решение является оптимальным.

2.Если в оценочной строке содержится отрицательная оценка, над которой в столбце нет положительных элементов, то целевая функция не ограничена сверху на множестве допустимых планов. Задача не имеет решения.

3. Если в каждом столбце с отрицательной оценкой есть хотя бы один положительный элемент, то переходим к ''лучшему'' опорному решению. С этой целью:

а) выбираем разрешающий столбец по наименьшей отрицательной оценке;

б) вычисляем ; для этого делим свободные члены на положительные элементы разрешающего столбца. Выделяем разрешающий элемент, соответствующий наименьшиму ;

в) элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент, записываем единичные столбцы соответствующие базисным неизвестным; г)элементы остальных строк вычисляем по ''правилу

прямоугольников''; д) элементы оценочной строки вычисляются также по ''правилу

прямоугольников''. Кроме того, их можно вычислить по правилу нахождения оценок.

Процесс продолжается до тех пор, пока не возникнут ситуации пунктов

1 или 2.

Решим пример, используя алгоритм.

cj	базис	аi0	7	5	0	0	0
	(xj)		х1	х2	х3	х4	х5
0	x3	45	3	4	1	0	0	15
0	x4	31	5	2	0	1	0	31/5
0	x5	30	2	3	0	0	1	15
	z	0	-7	-5	0	0	0
0	x3	132/5	0	14/5	1	-3/5	0	132/5
7	x1	31/5	1	2/5	0	1/5	0	31/2
0	x5	88/5	0	11/5	0	-2/5	1	88/11
	z	217/5	0	-11/5	0	7/5	0
0	x3	4	0	0	1	-1/11	-14/11
7	x1	3	1	0	0	3/11	-2/11
0	x2	8	0	1	0	-2/11	5/11
	z	61	0	0	0	1	1

Исходное опорное решение

x1 = (0, 0, 45, 31, 30)

z1 = 0

В оценочной строке две отрицательные оценки: –7, -5. Выбираем в качестве разрешающего столбец, соответствующий х1, т.к. оценка этого столбца (-7) наименьшая отрицательная оценка. Разрешающая строка выбирается по

min 15,	31	,15	31	,
	5		5

этот минимум достигается для 2-ой строки. Итак, в базис вводим х1, выводим из базиса х4. В результате первого шага получаем второе опорное решение

	31		132			88
x2 =		,0,			,0,		;
	5			5		5

z2 = 2175 .

После выполнения 2-го шага получаем оптимальное решение:

хопт = (3, 8, 4, 0, 0); zmax = 61

Дальнейшее увеличение z невозможно, т.к. все оценки стали неотрицательными.

Оптимальное решение исходной задачи (1) получается отбрасыванием

из хопт компонент, связанных с балансовыми переменными х3, х4, х5, т.е.

х*опт = (3,8).

При этом значение zmax не изменится.

Теперь дадим геометрическую интерпретацию задачи. Рассмотрим систему неравенств, определяющих множество допустимых планов:

3х1 + 4х2		45,
5х1 + 2х2		31,
2х1 + 3х2		30,		(3)
х1 0, x2		0
Построим граничную прямую:
3х1 + 4х2 = 45
	х1		0	45/3
	х2		45/4	0

Прямая 3х1 + 4х2 = 45 плоскостью ХОУ разделила на две части. Чтобы определить полуплоскость, точки которой удовлетворяют неравенству 3х1 + 4х2 45, следует ''испытать'' одну точку. Проще подставить 0 (0,0).

Получим верное неравенство: 0<45. Следовательно, полуплоскость включает точку 0 (0,0). Этот факт отмечается стрелочками.

Определяем положение полуплоскостей, отвечающих каждому неравенству и находим пересечение этих полуплоскостей. Два последних условия в (3) означают, что допустимые планы принадлежат неотрицательному квадрату. Тем самым областью решения системы (3) является четырехугольник ОАВС.

Линии уровня целевой функции z задаются уравнениями

7х1 + 5х2 = const

Легко видеть, что они образуют семейство параллельных прямых. Вектор N = (7, 5) называется целевым, он перпендикулярен линиям уровня. Этот вектор указывает направление, двигаясь в котором, мы переходим от меньших значений z к большим, т.е. он указывает направление возрастания функции z. Вершина многоугольника, через которую проходит последняя линия уровня, даст наибольшее значение целевой функции. На рисунке видно, что максимальное значение будет достигнуто в вершине В. Найдем координаты точки В. Эта точка лежит на пересечении прямых

5х1 + 2х2 = 31, 2х1 + 3х2 = 30

Решая систему из двух уравнений с двумя неизвестными, находим, что точка В имеет координаты х1 = 3, х2 = 8. Подставляя в целевую функцию найденные значения, получим: zmax 7 3 5 8 61

3. Двойственность в линейном программировании

Каждой задаче линейного программирования можно поставить в соответствие другую задачу линейного программирования, называемую двойственной.

Рассмотрим стандартную задачу
z = c1x1 + c2x2 + ..... + cnxn			max

a11x1	+ a12x2	+ ..... + a1nxn	b1,	y1
a21x1	+ a22x2	+ ..... + a2nxn	b2,	y2

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.2022347.32 Кб23578.pdf
#
13.11.2022347.52 Кб23579.pdf
#
13.11.2022347.77 Кб43580.pdf
#
13.11.2022348.1 Кб13581.pdf
#
13.11.2022348.24 Кб13582.pdf
#
13.11.2022348.43 Кб33583.pdf
#
13.11.2022348.51 Кб33584.pdf
#
13.11.2022348.76 Кб33585.pdf
#
13.11.2022348.76 Кб23586.pdf
#
13.11.2022349.06 Кб13587.pdf
#
13.11.2022349.09 Кб03588.pdf