5665

Пример 26. На перекрёстке дорог движение регулируется автоматическим светофором, включающим зелёный свет через каждые 2 минуты. Время простоя у этого светофора автомобиля, остановившегося на красный свет, является случайной величиной, распределённой равномерно на интервале (0, 2) минут. Найти среднее время простоя и среднее квадратическое отклонение.

Решение. Обозначим через X – случайную величину, равную времени задержки автомобиля на перекрёстке. В случае равномерного закона распределения функция плотности имеет вид (см. (2.22)):

y

0,5

Пример 28. График функции F xраспределения случайной величины X имеет вид:

y

1

Рисунок 15 – График функции F x

Найти математическое ожидание и стандарт случайной величины X , а также те же характеристики случайной величины 2X 4.

Решение. Изображённый график является графиком функции

Это означает, что случайная величина распределена по равномерному закону. В дан-

перечисленными при решении примера 27 свойствами математического ожидания и дисперсии. Тогда

M 2X 4 2M X M 4 2 6 4 8 ,

Пример 29. Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, при этом M X 0,25 . Указать дифференциальную и интегральную функции

этой случайной величины, построить их графики.

Решение. Дифференциальная функция показательного закона имеет вид:

где – некоторая положительная постоянная, называемая параметром закона. При этом в случае показательного закона справедливо равенство

Так как по условию M X 0,25 , то из (2.24) получаем, что 4 . Следовательно,

График этой функции изображён на рисунке 2.7. y

4

Рисунок 16 – График дифференциальной функции примера 29

Интегральная функция F x показательного закона с параметром имеет вид:

В данном примере этой функцией будет функция

Её график изображён ниже

y

1

Рисунок 17 – График интегральной функции примера 29

63

распределена по закону примера 29.

Решение. Если случайная величина распределена по показательному закону с па-

Пример 31. Известно, что срок службы изделия распределён показательно со средним 2 года. Найти вероятность того, что изделие прослужит не менее: 1) одного года; 2) трёх лет.

Решение. Обозначим через X – случайную величину, равную сроку службы изделия. По условию она имеет показательное распределение с некоторым параметром . Соглас-

Пример 32. Непрерывная случайная величина распределена по нормальному закону, при этом M X 50, X 5 . Выписать плотность распределения вероятностей случайной величины и построить график этой функции.

Решение. Если случайная величина имеет нормальный закон распределения, то её плотность f x имеет вид

График функции (2.28) называют нормальной кривой, или кривой Гаусса. В силу условий данного примера получим, что

64

Пример 34. Выяснить, что означает правило трёх сигм для случайной величины примера 32.

Решение. Для случайной величины, распределённой по нормальному закону, справедливо приближённое равенство

Пример 35. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически, и их средняя масса равна 1,05 кг. Найти стандартное отклонение, если 5 % коробок имеет массу менее 1 кг. Предполагается, что масса коробок распределена по нормальному закону.

Решение. Случайная величина X – вес коробки имеет нормальное распределение N a, 2 , где a 1,05 , а стандартное отклонение неизвестно. Так как 5 % коробок имеет вес менее 1 кг, то, ввиду симметрии относительно математического ожидания, 45 % коробок имеют вес в интервале от 1 кг до 1,05 кг. Поэтому, согласно формуле (2.30), получаем

В данном случае мы использовали свойство нечётности функции Лапласа. В таблице находим, что 1,65 0,45 , поэтому

Пример 36. Средний вес клубня картофеля равен 100 г. Оценить вероятность того, что наудачу взятый клубень весит менее 300 г.

Решение. Случайная величина X – вес клубня – неотрицательная, поэтому для оценки веса клубня можно применить неравенство Маркова

Воспользуемся вторым неравенством (2.33), в данном случае 300, а в качестве математического ожидания M X нужно взять средний вес клубня. Тогда

Пример 38. На заводе в среднем 70 % продукции первого сорта. С надёжностью 0,9 найти границы, в которых должна находиться относительная частота первосортной продукции в партии 10 000 единиц.

Решение. Пусть X – относительная частота первосортной продукции в партии

Модуль 3. Математическая статистика

Пример 1. Наблюдатель провёл случайную выборку из генеральной совокупности и зафиксировал в порядке появления значения xi изучаемого признака X генераль-

ной совокупности, которыми оказались следующие числа: 4, 2, 5, 4, 4, 3, 4, 5, 4, 4, 5, 2, 2, 4, 5. Требуется произвести первичную обработку полученных случайных сведений.

Решение. Случайные сведения оформляются в виде таблицы, называемой распределением выборки или дискретным статистическим рядом. В верхней части этой таблицы записываются наблюдаемые значения (варианты) xi изучаемого признака в воз-

растающем порядке от xm in до xm ax , каждое значение записывается только один раз. Такая запись называется вариационным рядом. Во второй строке записываются ча-