5601

§ 11. Проверка гипотезы о совпадении или различии средних

На практике часто приходится сравнивать среднее по выборке со стандартом. Так, если в некотором банке вклады стали в среднем превышать обычные значения, но разброс размеров вклада большой, а оформлено их немного, отличие может быть случайным. Если же вклады похожи и их много, налицо тенденция к увеличению размера вклада.

Пусть по результатам n наблюдений получено среднее значение x и надо сравнить его со стандартным средним a.

Перед проверкой указывается допустимый риск ошибки – число, близкое к 0 (обычно 0,01 или 0,05), обозначаемое α и называемое уровнем значимости.

При решении важно, известно ли отклонение (или дисперсия) случайной ве-

s

Далее смотрим, что именно нас волнует: а) что среднее не равно стандарту;

б) что среднее меньше стандарта (или больше – в зависимости от ситуации). Во 1-м случае уровень значимости делим на 2: новое α равно половине старого.

Затем, если отклонение известно, по таблице интегральной функции Лапласа

Когда наша величина превышает критическую, принимаем гипотезу о различии средних. Вероятность ошибки в этом случае (т.е. вероятность того, что различие средних на самом деле случайно и несущественно), как раз и составляет α (именно поэтому α должно быть мало).

Когда величина меньше критической, различие несущественно и вызвано случайными причинами. Мы считаем, что средние равны, однако вероятность ошибки в этом случае указать невозможно.

Пример 1. Средний балл в группе из 16 студентов составил 3,55. Средний балл по Академии составляет 3,8 при среднем отклонении 0,5. Можно ли с вероятностью ошибки не более 0,05 утверждать, что группа слабее остальных? А с вероятностью ошибки не более 0,01?

31

Решение. Из условия x 3,55 , n 16, 0,5 , стандарт равен 3,8. Проверяем, не стало ли среднее меньше стандарта. Значит, уменьшать уровень значимости вдвое не нужно.

насколько это верно, указать уже невозможно.

Ответ: считать группу слабее остальных можно при допустимом риске ошибки 5%, но нельзя при допустимом риске ошибки в 1%.

Замечание. Если гипотеза о совпадении со стандартом принимается при ка- ком-либо уровне значимости, то она заведомо принимается при любом меньшем уровне значимости. И наоборот, если при каком-то уровне значимости получается расхождение со стандартом, оно же получится и при любом большем уровне. Подумайте самостоятельно, почему так происходит и в чём смысл этого.

Пример 2. Средний вклад в банке А равен 100 тыс. руб.. Проверка 20 случайно выбранных вкладов в банке Б показала среднее значение вклада 96 тыс.

t-распределения Стьюдента для n 1 19 ищем t 0,05;19 1,729 .

32

риске ошибки не более 10% считаем, что средний вклад в банке Б меньше, чем в А.

Ответ: можно считать, что средний вклад в банке Б меньше, однако гипотезу о простом несовпадении средних, возможно, следует отвергнуть.

Замечание. Гипотеза о расхождении средних считается сильнее («смелее») гипотезы о превышении в указанную сторону, и оснований для её принятия должно быть больше. Нам хватило оснований только для осторожной гипотезы.

Пример 3. В примере 1 при уровне значимости 0,05 средний балл группы оказался меньше стандарта. Проверим гипотезу о простом отличии этого среднего балла ‒ неважно, в какую сторону от стандарта.

Отличия по сравнению с решением примера 1 следующие:

Образец решения аудиторной контрольной работы

Оформление решения у студентов всё чаще превращается в переписывание всех пояснений, замечаний и действий из примера в методических указаниях. Здесь показано, как оформить решение в условиях ограниченности во времени.

Задача 1. Среди 30 документов 4 неверно заполнены. Каковы шансы, что инспектор обнаружит не более одного из них, взяв наугад 3 документа?

Решение. А – «обнаружено 0 ошибочных документов»,

33

Ответ: с вероятностью 0,96 обнаружится не более 1 ошибочного документа.

Задача 2. В среднем 1 из 5 заказов такси бывает в аэропорт. Какова вероятность, что из 200 поступивших сегодня заказов не более 50 окажутся в аэропорт?

пределения. Найдите числовые характеристики и вероятности попадания СВ в

Характеристики:

34

Задача 4. Староста группы собрал сведения о числе пропущенных занятий:

Найдите с надёжностью 95% доверительный интервал для среднего числа занятий, пропускаемых студентами Академии. Дисперсия неизвестна.

35

Ответ: С надёжностью 95% среднее число пропусков – от 11,35 до 19,65. Задача 5. Проверьте с уровнем значимости 0,01, не изменилась ли популяр-

ность ресторана, если ранее его посещали в среднем 75 клиентов в день при среднем отклонении 12 человек, а за прошедшее лето пришли 6 500. При каком числе посетителей за всё лето посещаемость ещё можно считать неизменной?

Решение. Из условия n 92 (дней летом), 12 известно, стандарт ‒ 75. а) простое расхождение со стандартом. Дисперсия известна.

Ответ: посещаемость изменилась. Риск ошибки – 1%. Она неизменна при 6 603 - 7 179 посетителях за лето.

Примеры вариантов контрольной работы

Перед выполнением АКР желательно потренироваться в выполнении предложенных вариантов на время (1,5 часа), и при затруднениях или несовпадении ответов (стр. 39) обязательно обратиться к преподавателю.

Задание 1 – на одну из тем алгебры вероятностей, в том числе, возможно, на классическое определение вероятности.

Взадании 3 дополнительно постройте графики обеих функций и найдите вероятность попадания случайной величины в интервалы I1 и I 2 .

Взадании 4 постройте также полигон или гистограмму – по смыслу задачи.

Взадании 5 риск ошибки – это уровень значимости: вероятность принять гипотезу о различии средних, когда на самом деле различие несущественно.

Вариант А

36

1.На лекции в группе А готовы к занятию четверо из 8, в группе Б – трое из 12. Каковы шансы, взяв наугад журнал группы и спросив студента, обнаружить, что он готов? Как они изменятся, если журнал не брать? Почему?

2.При наборе текста оператор ошибается примерно в одном знаке из 200. Каков риск, что в тексте из 600 знаков будет не менее 3 ошибок?

3.Найдите параметр А, чтобы функция f x стала плотностью распределения

некоторой случайной величины. Восстановите функцию распределения и найдите математическое ожидание: f x A 5 x , x 1; 5 , I1 0; 3I2 3; 5 .

4. В таблице указано, сколько вкладов разной величины открыто в банке за день:

Найдите с надёжностью 98% доверительный интервал для средней величины вклада, считая дисперсию неизвестной.

5. Повысилась ли урожайность на опытном участке размером 1 га, если ранее она составляла 200 ц/га при среднем отклонении 50 кг/ар, а после тестирования удобрений на опытном участке в 1 га собрано 210 ц? Риск закупки ненужных удобрений – не более 10%. Указание: наблюдение – каждая отдельная сотка (ар).

Вариант Б

1.Студент знает 4 вопроса из 15. Что вероятнее ‒ что он ответит хотя бы на 2 вопроса из 4, или что не ответит ни на один?

2.В парке ежедневно выходят на линию в среднем 9 автобусов из каждых 10. Каковы шансы, что сегодня на линии более 85 автобусов из 100 имеющихся?

3.Найдите плотность распределения по известной функции распределения и найдите математическое ожидание и дисперсию:

4. Менеджер проверил, сколько тратили посетители кафе в течение дня:

Оцените с надёжностью 96% средний счёт одного посетителя за длительное время, если дисперсия совпадает с выборочной.

5. Не ошиблось ли руководство банка, ожидая среднюю величину вклада 120 тыс. руб., если средний вклад первых 25 клиентов составил 115 тыс. руб. при

37

среднем отклонении 20 тыс. руб.? Допустимый риск неверного суждения о несовпадении – 10%.

Дополнительные задачи

В задачах 1 – 6 составьте закон распределения случайной величины Х, найдите её числовые характеристики и функцию распределения, постройте её график.

1.Из 6 машин 2 требуют ремонта. Механик проверил 3 машины. Х – число машин, отправленных им в ремонт.

2.Студенты А, Б и В оценили свои шансы сдать экзамен в 20, 40 и 90% соответственно. Х - число сдавших экзамен.

3.Продавец кваса в жаркий день выручает 900 руб., в прохладный ‒ 300 руб., в обычный ‒ 700 руб.. Из каждых 5 дней в среднем 2 жарких и 1 прохладный. Х – дневная выручка.

4.В бригаде 3 рабочих, простаивающих примерно 1 час из каждых 5 независимо друг от друга. Х – число отдыхающих в случайно выбранный момент времени.

5.Студент знает 60% вопросов. Преподаватель задаёт не более 4 вопросов. Величина Х – число заданных вопросов, если студент уходит:

а) при первом же верном ответе, получив 3; б) при первом же неверном ответе, получив 2.

Изменением вероятности правильного ответа можно пренебречь.

6.Те же ситуации, что в задаче 5, но студент знает 6 вопросов из 10, и изменением вероятности правильного ответа пренебречь нельзя.

7.Число посетителей ресторана распределено нормально, в среднем составляет

100 человек за день и в среднем отклоняется (в смысле СКО DX ) от этого показателя на 15 человек. Найдите вероятность, что сегодня в ресторан зайдут

а) менее 80 посетителей; б) более 80; в) не менее 80.

8. Время работы телевизора распределено показательно, в среднем равно 5 годам. Сколько телевизоров работают более 8 лет? менее 8 лет? более 5 лет?

9. В отчёте размер вклада округляют до сотни в ближайшую сторону. Какова доля вкладов, занижаемых более чем на 20 руб.? завышаемых более, чем на 40 руб.? округляемых менее чем на 10 руб.?

10. Показания счётчика округляют до ближайших 10 кВт-ч в меньшую сторону. Какова доля платежей, где показания занижены более чем на 6 кВт-ч? Менее чем на 2 кВт-ч? Более чем на 11 кВт-ч? Завышены?

38

11. Время работы холодильников распределено показательно. Производитель определил гарантийный срок в 5 лет. Сколько холодильников нуждаются в гарантийном ремонте, если средний срок безотказной работы 4 года? 5 лет? 6 лет?

Ответы

Вариант А.

1) 0,375 и 0,35; если не брать журнал, возрастёт вероятность обратиться в сла-

ошиблось, отличие несущественно, вклады близки к ожидаемым.

Ответы к дополнительным задачам

(функция распределения F xдана в виде таблицы).