5514
.pdfЧисел а, удовлетворяющих неравенству (2.1), будет бесконечное множество. Желательно найти наименьшую из верхних границ . На практике часто за а принимают не наименьшую из верхних граней Δ, а одну из верхних граней, достаточно близкую к наименьшей верхней грани.
Абсолютная погрешность и предельная абсолютная погрешность не характеризуют качество измерений. Действительно, если при измерении длины комнаты и расстояния от центра города до аэропорта допущена предельная абсолютная погрешность измерения в 1 см, то качество измерений совершенно различно. В первом случае его даже трудно признать удовлетворительным, тогда как во втором – высокой точности. Поэтому вводится ещё одна характеристика точности вычислений – относительная погрешность.
Относительной погрешностью δ называется отношение абсолют-
ной погрешности к модулю точного значения величины: |
|
х . |
(2.2) |
Так как точное значение величины обычно неизвестно, то δ вычисляется по приближённой формуле
|
|
|
|
|
. |
(2.3) |
|
|
а |
|
|
||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Тогда за предельную относительную погрешность δа естественно принять отношение предельной абсолютной погрешности к модулю при-
ближённого значения величины: |
|
|
|
|
|
|
|
а |
. |
(2.4) |
|
а |
|
||||
а |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если измеряемая величина имеет размерность, то абсолютные погрешности имеют ту же размерность; относительные погрешности будут величинами безразмерными. Иногда предельную относительную погрешность выражают в процентах.
2.2. Десятичная запись приближённых значений чисел
Любое действительное (вещественное) число представляется в виде конечной или бесконечное десятичной дроби. Для единообразия записи конечные десятичные дроби будем дополнять справа бесконечной последовательностью
11
нулей; целые числа также будем дополнять бесконечной последовательностью нулей справа от запятой, поставленной после написания последней цифры цело-
го числа. Например, 0,125 и 15 запишутся так : 0,125 000...; 15,000... .
Тогда всякое неотрицательное число можно записать в виде b0,b1b2b3..., где b0 – целая часть этого числа, а 0,b1b2b3... – его дробная часть. Такое представление применяется и для отрицательных чисел, при этом целую часть этого чис-
ла обозначают чертой сверху. Например, числа – 2,5; – 0,259; |
124 |
1 |
|
запишутся |
||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
соответственно так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,5 |
3 |
3,5 000...; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0,259 |
1 0,741 1,741 000...; |
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
124 |
124,333... |
|
125 |
125,666.... |
|
|
|
|
||||||||||
3 |
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При такой записи отрицательного числа целую часть этого числа называют его
характеристикой, а дробную – его мантиссой.
Пусть действительное неотрицательное число х в десятичной записи имеет вид х = а0,а1а2а3... . Тогда его приближением а по недостатку с точностью до единицы будет число а0, а по избытку – число а0 + 1. Далее, приближения с точностью до 10-n (n = 1, 2, 3, ...) по недостатку имеют вид а = а0,а1а2а3...аn, а по избытку – а = а0,а1а2а3...аn + 10-n. При этом в записи а опущены нули после последней цифры.
Если х = а0,а1а2а3 … есть отрицательное действительное число, то его десятичные приближения можно найти следующим образом. Надо будет найти десятичные приближения по недостатку и по избытку противоположного числа (−х). Тогда десятичными приближениями по недостатку числа х будут десятичные приближения по избытку числа (−х), взятые со знаком «минус», а десятичными приближениями по избытку для х будут десятичные приближения по недостатку числа (−х), также взятые со знаком «минус».
Разности между соответствующими десятичными приближениями по из-
бытку и по недостатку будут 1, |
1 |
, |
1 |
,..., |
|
1 |
, |
где n – число оставленных деся- |
10 |
|
100 |
10n |
|
тичных знаков после запятой.
Поясним сказанное двумя примерами. Для числа х = 5,317 2... с точностью до 1, до 0,1, до 0,01, до 0,001, до 0,000 1 приближениями по недостатку будут числа 5; 5,3; 5,31; 5,317; 5,317 2, а по избытку – числа 6; 5,4; 5,32; 5,318; 5,317 3.
12
Для отрицательного числа х = – 5,743…= 5,257 ... с точностью до 1, до 0,1, до 0,01, до 0,001 приближениями по недостатку будут числа – 6; – 5,8; – 5,75; – 5,744; а по избытку – числа -5; – 5,7; – 5,74; – 5,743.
Число а (приближение к х) желательно записывать так, чтобы, не используя форму записи х = а ± а, по десятичной записи а можно было судить о точности приближения. Для этого применяется понятие о верных цифрах числа а.
Цифра α в десятичной записи числа а (приближения к х) называется верной в широком смысле, если предельная абсолютная погрешность приближения не превосходит единицы того разряда, которомупринадлежит цифра α.
Поясним данное определение примерами.
Пусть х = 5,154 ± 0,000 9. Так как а = 0,000 9 < 0,001, то последняя цифра
4 числа а = 5,154 (приближённого значения х) верна в широком смысле. Очевидно, что верны и остальные цифры.
Пусть известно, что все цифры числа а = 5,342, являющегося приближением некоторого х, верны в широком смысле. Это означает, что предельная абсолютная погрешность а не превосходит 0,001.
Цифра α в десятичной записи числа а называется верной в строгом смысле, если предельная абсолютная погрешность приближения не превосходит половины единицы того разряда, которому принадлежит цифра α.
Пусть х = 3,142 ± 0,000 5. Так как |
|
0,000 5 |
1 |
0,001, то все цифры |
||||
а |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
числа а = 3,142 верны в строгом смысле. |
|
|
|
|
||||
Пусть все цифры числа а = 5,73 верны в строгом смысле. Тогда это озна- |
||||||||
чает, что |
|
1 |
0,01 0,005 . |
|
|
|
|
|
а |
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть а = 7,563 и а = 0,000 8. Так как |
а = 0,000 8 < 0,001, то последняя |
цифра 3 числа а верна в широком смысле (в этом смысле верны и цифры 7, 5, 6). В строгом же смысле верны только цифры 7, 5, 6. Последняя цифра 3 в строгом
смысле не верна, так как для неё не выполняется неравенство |
1 |
0,001. |
а |
2 |
|
Принято применять правило: при десятичной записи приближённого значения числа записываются только верные цифры. Это правило позволяет сразу говорить о предельной абсолютной погрешности.
Например, пусть в записях а, b, c приближённых значений некоторых своих величин все цифры верные: а = 0,382, b = 35,74, с = 12, 000 213. Если эти цифры верны в широком смысле, то а < 0,001, b < 0,01, с < 0,000 001. Если
13
при этом известно, что в записи этих же чисел оставлены цифры, верные в строгом смысле, то это означает, что а < 0,000 5, b < 0,005, с < 0,000 000 5.
Если в приближённой записи числа последние десятичные знаки есть нули, являющиеся верными цифрами, то это количество нулей в записи а нужно сохранить. В этом смысле записи а = 5,2 и а = 5,200 являются различными.
Первая означает, что а является приближением к х с точностью до 0,1. Вторая же означает, что а является приближением к х с точностью до 0,001.
Цифры в записи приближённого значения числа, о которых неизвестно, являются они верными или нет, называются сомнительными.
Значащими цифрами числа, записанного в виде десятичной дроби, называют все его верные цифры, начиная с первой слева, отличной от нуля.
Поясним это определение примерами. При этом будем считать, что в десятичной записи числа все цифры являются верными. Рассмотрим сле-
дующие числа: 525; 5,25; 0,005 25; 0,525; 0,525 00. Первые четыре числа имеют по три значащих цифры, последнее число – пять значащих цифр.
2.3.Округление чисел
Ввычислительной работе приходится действовать с числами, которые в десятичной записи имеют много значащих цифр. Иногда часть этих цифр целесообразно отбросить, заменяя их нулями. Эту операцию назы-
вают округлением чисел.
Пусть a* есть число, полученное в результате округления а. Тогда абсолютная величина разности а – а*, т.е. число а а* называется по-
грешностью округления. Естественно a* выбирать так, чтобы погреш-
ность округления была наименьшей.
Например, пусть число а = 523,72 требуется округлить до целого числа. Если в качестве а* взять число 523, то погрешность округления бу-
дет |
|
а |
а* |
0,72 ; если же положить а* = 524, то погрешность округления |
||||
|
а |
а* |
|
523,72 524 |
|
0,28 будет меньше. Следовательно, лучше взять чис- |
||
|
|
|
ло а* = 524.
Правило округления формулируется следующим образом: при округлении числа до n значащих цифр отбрасывают все цифры, стоящие справа от n-й значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разря-
14
дов в случае целого числа, заменяют их нулями; при этом, если первая слева из отброшенных цифр больше или равна 5, то последнюю оставленную
цифру увеличивают на единицу. Поясним это правило примерами.
Пример 1. Число а = 3,65 есть приближённое значение некоторого числа х, причём все цифры в записи а верны. При округлении его до двух значащих
|
|
1 |
|
||
цифр (до 0,1) имеем, что а* = 3,7. При этом |
а а* |
0,05 |
0,1. Если для неко- |
||
2 |
|||||
|
|
|
|
торого х его приближённое значение а = 2,34, то при округлении его до двух
значащих цифр |
(до десятых) имеем, что а* = 2,3. Погрешность округления |
||||
|
а а* |
|
0,04 |
1 |
0,1 , т.е. снова не превосходит половины единицы десятичного |
|
|
||||
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
разряда, определяемого последней оставленной значащей цифрой.
Пример 2. Пусть a, b, c, d, s таковы: а = 52, b = 56, c = 123, d = 129, s = 2 345, т.е. целые числа, причём все цифры являются верными. Тогда при округлении этих чисел до одной значащей цифры получим следующие результаты округлений: а* = 50, b* = 60, c* = 100, d* = 100, s* = 2 000. При округлении c, d, s
до двух значащих цифр имеем следующее: c* = 120, d* = 130, s* = 2 300. При округлении s до трёх значащих цифр имеем, что s* = 2 350.
Пример 3. Числа а = 0,0023 и b = 0,0038, все цифры в записи которых верны, требуется округлить до первой значащей цифры. Оба числа имеют по две значащие цифры. Первая значащая цифра у числа а есть 2, а у числа b – 3. Тогда а* = 0,002 и b* = 0,004.
Пусть х – точное значение числа, а – приближённое значение и а* – число, полученное в результате округления а. Оценим погрешность приближения к х в результате округления:
х а* |
|
(x a) (a a* ) |
|
x a |
|
a a* |
a |
a a* |
, |
т.е. предельная абсолютная погрешность приближения а* к х (приближения после округления) не превосходит суммы предельной абсолютной погрешности приближения а к х и погрешности округления.
Например, |
если х |
= |
π, а |
= 3,14 и а* = 3,1, то |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0,05 . |
|
3,1 |
|
3,14 |
|
3,14 |
3,1 |
|
0,01 |
0,04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15
2.4. Погрешности результатов действий над приближёнными значениями чисел
Перейдём к вопросу об учёте погрешностей в результате арифметических действий над числами.
Пусть а1, а2 – приближённые значения чисел х1, х2 и |
а1 |
, |
а2 |
– соответ- |
|
|
|
ствующие предельные абсолютные погрешности. Приближением к алгебраической сумме х = х1 + х2 (слагаемые могут быть числами любого знака) будет соответствующая алгебраическая сумма а = а1 + а2 с предельной абсолютной по-
грешностью а ( |
х а |
a ). Тогда справедливо равенство |
|
||||
|
|
а = а |
+ |
а |
2 |
, |
(2.5) |
|
|
1 |
|
|
|
т.е. предельная абсолютная погрешность алгебраической суммы приближений а1, а2 (к х1, х2) равна арифметической сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых. Утверждение справедливо для любого конечного числа слагаемых.
Пример 1. Пусть х1 = 32,46 ± 0,02, х2 = 41,27 ± 0,01. Тогда х1 + х2 = 73,73 ± 0,03 (Δа = 0,02 + 0,01 = 0,03), причём последняя цифра числа а =
73,73 не может считаться верной (сомнительная).
Пример 2. Даны а1 = 21,24 и а2 = 12,13, причём все цифры верны в широ-
ком смысле. Разность а = а1 – а2 = 21,24 – 12,13 = 9,11;
а = |
а1 |
+ |
а2 |
= 0,01 + 0,01 = 0,02. При этом последняя цифра 1 числа 9,11 со- |
|
|
|
мнительная. Ответ только с одними верными цифрами будет 9,1.
Предельная относительная погрешность произведения и частного двух, отличных от нуля, приближений а1 и а2 равна сумме предельных относительных погрешностей этих чисел:
|
a a a |
2 |
a |
a |
2 |
, |
|
a |
a |
|
|
a |
. |
|
|
(2.6) |
|
|
1 |
1 |
|
|
a |
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 3. Предположим, что х1 ≈ а1 = 5,23 и х2 ≈ а2 = 3,24, причём все |
|||||||||||||||||
значащие цифры верны в широком смысле. Это означает, что |
а = 0,01 и |
а |
2 |
=0,01. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Тогда, согласно формуле (2.4), получим |
|
a |
=0,0019 и |
a |
|
= 0,0031. Следовательно, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
а1 ∙ а2 = 16, 9452, причём |
a1a2 |
= 0,0019 + 0,0031 = 0,005. Вычислим абсолютную |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
погрешность |
произведения, |
|
применяя |
формулу |
|
(2.4). |
Так |
как |
|||||||||
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а а |
|
а а |
а а |
|
, то |
а а |
|
0,084 726 |
. Можно принять, что |
а а |
|
0,085. |
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
Можно считать, что х1 х2 = 16,95 ± 0,09 (последняя цифра 5 является сомнительной).
Пример 4. Пусть х1 ≈ а1 = 3,18 и х2 ≈ а2 = 2,42, причём все значащие циф-
ры верны в широком смысле. Надо найти приближение к числу х1 и точность
х2
этого приближения. Так как а |
= 0,01 и а |
|
= 0,01, то |
a =0,003 1, |
a |
|
=0, |
||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
0041. Тогда |
а1 |
1,3140 |
, причём |
|
согласно второму равенству из (2.6) равно |
||||||
|
|
||||||||||
|
а2 |
|
|
а1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0,0072. Вычислим абсолютную погрешность частного: |
|
|
|
|
а1 |
|
а1 |
|
|
а1 |
0,0095. |
|
а2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|||
а2 |
|
|
|
а2 |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно,
х1 |
1,314 0 0,0095 . |
|
х2 |
||
|
Перейдём к изучению погрешностей при возведении числа в степень с натуральным показателем n и при извлечении корня n-ой степени из числа.
Предельная относительная погрешность числа аn равна произведению показателя степени на предельную относительную погрешность основания, т.е.
an n a . |
(2.7) |
Предельная относительная погрешность числа n a равна предельной относительной погрешности подкоренного числа а, делённой на n:
n а na . (2.8)
Поясним последние утверждения двумя примерами.
Пример 5. Пусть х ≈ а = 1,4, причём у числа а все значащие цифры верны в широком смысле. Надо найти число х3. Имеем а3 = (1,4)3 = 2,744. Так как а =
0,1, то относительная погрешность |
|
0,1 |
0,07 |
. Тогда, согласно (2.7), |
|||||||
а |
|
|
|||||||||
1,4 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а3 3 0,07 0,21. Из формулы (2.4) |
следует, что абсолютная погрешность при- |
||||||||||
ближения такова: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,741 0,21 0,6 . |
||||||
а |
3 |
а3 |
|
а |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
Учитывая погрешность округления а3 = 2,744 до 0,1, получим, что х3 = 2,7 ± 0,6.
Пример 6. По данным предыдущего примера надо найти 3 х . Так как δа ≈
0,07, то, согласно (2.8),
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,07 |
0,02. |
|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
а |
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вычислим 3 а с округлением до 0,01: |
3 1,4 1,12. Тогда из формулы (2.4) следу- |
||||||||||||||||||
ет, что абсолютная погрешность приближения к 3 |
|
|
|||||||||||||||||
х такова: |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
|
|
3 а |
|
3 |
|
|
1,12 0,02 |
0,02 . |
||||||||||
а |
а |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Можно считать, что 3 х =1,12 ± 0,02.
§ 3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
3.1. Общая постановка задачи
Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называют систему вида
a11x1 |
a12 x2 a1n xn |
f1, |
|
a21x1 |
a22 x2 a2n xn |
f2 , |
(3.1) |
... |
|
|
|
am1x1 |
am2 x2 amn xn |
fm . |
|
С неизвестными x1 , x2 , , xn , заданными коэффициентами aij |
(i=1, …, m; j=1,…, |
n) при неизвестных и правыми частями bi (i=1,…, m). Все неизвестные x j , ко-
эффициенты aij и правые части bi считаются действительными числами. Обыч-
но предполагают, что число уравнений в системе (3.1) не превосходит числа не-
известных (m ≤ n) |
|
|
Систему (3.1) можно записать в матричном виде, |
|
|
|
AX F , |
(3.2) |
где А= (aij )m n есть матрица системы размерности m |
n , Х – матрица- |
|
столбец из неизвестных, |
F – матрица-столбец из правых частей, т. е. |
|
, |
. |
|
18
Если в системе (3.1) число уравнений будет равно числу неизвестных m n, то матрица А системы будет квадратной матрицей n – го порядка ( n n −его размерность), а матрица F будет иметь размерность n 1.
Решать систему (3.1) – значит найти числа x1 , x2 , , xn , при которых все равенства системы (3.1) обращаются в тождества.
На первом курсе в дисциплине «Линейная алгебра» изучают точные методы решения СЛАУ – метод Крамера, метод Гаусса, метод Гаусса – Жордана, метод обратной матрицы. При этом метод Крамера и метод обратной матрицы применяются только для систем с квадратными матрицами, а метод Гаусса и Гаусса – Жордана применяются как для случая m n, так и для случая m n.
Метод Крамера и обратной матрицы дают понятные и хорошо запоминающиеся алгоритмы решения систем с квадратными матрицами, определитель которых отличен от нуля (такие системы называют крамеровскими). Однако при большом числе уравнений эти методы весьма неэкономичны, неудобны при работе на компьютере и опасны накоплением погрешности.
Решение методом Гаусса предпочтительнее, особенно когда нет необходимости решать одну и ту же систему с меняющейся правой частью. Кроме того, только метод Гаусса позволит исследовать систему, в которой число уравнений меньше числа неизвестных. В любой ситуации (m ≤ n) этим методом из исходной системы исключаются лишние уравнения, то есть полученные в результате элементарных преобразований уравнением вида
0 x1 0 xn 0 ,
которые выполняются при любых наборах неизвестных и, следовательно, из системы должны быть удалены.
Тем не менее метод Гаусса также накапливает погрешность и становится неэкономичен для реальных систем из тысяч уравнений, а именно такие системы возникают при решении прикладных задач.
К счастью, системы в прикладных задачах отличаются не только огромным объёмом, но и такими особенностями, как разрежённость и диагональное преобладание. Именно это позволяет решить систему быстрее и экономичнее.
Квадратная матрица |
An n |
называется матрицей с диагональным |
||||||||||||||||
преобладанием, если для всех i |
1,2, , n выполнено условие |
|
||||||||||||||||
|
aii |
|
aij |
|
ai1 |
|
|
|
aii 1 |
|
aii 1 |
|
|
|
ain |
|
, |
(3.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
j i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19
то есть в каждой строке элемент на главной диагонали по модулю больше, чем сумма всех остальных элементов (также взятых по модулю). При выполнении условия (3.3) система уравнений (3.2) с квадратной матрицей А называется си-
стемой с диагональным преобладанием независимо от правой части F.
Под разреженностью системы понимают наличие большого числа нулевых элементов в стороне от главной диагонали матрицы.
3.2. Метод простой итерации
Перепишем систему в виде
x1 |
f1 a12x2 |
a13x3 a1n xn / a11, |
|
|
|||
x2 |
f 2 |
a21x1 |
a23x3 a2n xn / a22 , |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
f n |
an1x1 |
an2 x2 ann 1xn 1 / ann , |
|
|
||
выразив каждый элемент на главной диагонали через остальные. |
|||||||
Обозначим в каждой строке di |
fi / aii |
и cij |
aij / aii для всех j i . По- |
||||
местим на главной диагонали |
cii 0 . |
Система |
AX |
F свелась к равносильной |
|||
X CX D , где |
C – матрица Cn |
n той же размерности, что и An n , а D – столбец Dn 1 . |
Если A – матрица с диагональным преобладанием, то в каждой строке C сумма модулей коэффициентов меньше единицы. Тогда последовательность
X k 1 |
CX k |
D при любом начальном приближении X 0 |
x0 |
, x0 , , x0 T |
сходится |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
n |
|
|
к решению системы X |
CX |
D или, |
что равнозначно, |
к решению системы |
|||||||
AX |
F . Условие (3.3) является достаточным условием сходимости |
X k к Х. |
|||||||||
|
Заметим, что подобный факт имел место для нелинейного уравнения од- |
||||||||||
ной |
переменной F x |
0 и |
равносильного ему уравнения |
x |
g x |
при |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
g x |
x |
F x , когда выполняется |
g x |
q 1. |
|
|
|
|
|
||
|
Здесь и далее верхние индексы – номер приближения (итерации), а не сте- |
||||||||||
пень. Если неизвестные обозначены разными буквами, например |
x, y, z , номер |
||||||||||
приближения часто ставится внизу: xk , yk , zk . Знак транспонирования (т) |
указы- |
||||||||||
вает, что X 0 – столбец, как и все последующие X k 1 . |
|
|
|
|
|
||||||
|
Метод простых итераций заключается в том, что каждое очередное при- |
||||||||||
ближение находится по формуле |
|
|
|
|
|
|
20