Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5465

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

1.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах:

если существуют

lim f (x) и

lim g(x) , то

lim [ f (x)

g(x)]

lim f (x)

lim g(x) ;

x a

lim[ f (x)

g(x)]

lim f (x)

lim g(x) ;

lim[cf (x)]

c lim f (x) ;

f (x)

lim f (x)

lim

(при

lim g x 0 ).

a g(x)

lim g(x)

Определение. Функция α (х) называется бесконечно малой величиной при

х→х0, или при х→∞, если её предел равен нулю lim (x) 0

x x0

Определение. Функция ƒ(х) называется бесконечно большой в точке х0 (или

при х→х0), если имеет место одно из равенств: lim f (x)

; lim f (x)

Теорема ( о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций) :

если

ƒ(х) ─ бесконечно малая функция при х→х0, то

─ бесконечно большая

f (x)

функция при х→х0, и наоборот.

Первый замечательный предел lim

sin x

Второй замечательный предел lim

2,71828 .

lim 1

Пример 1. lim

x 7

Поскольку функция непрерывна в точке х=7, искомый предел равен значению функции в этой точке. Используя теоремы о пределах суммы, разности, частного, получим

lim	2x	4		2 7	4	9 .
	x	5	7		5
x 7

Пример 2. lim	2x	5
	x	5
x 5

При х→5 числитель (2х + 5) стремится к 2 ∙ 5 + 5 = 15 (т.е. является ограниченной функцией), а знаменатель (х – 5) – к нулю (т.е. является бесконечно малой величиной), очевидно, их отношение есть величина

бесконечно большая, т.е.															lim			2x				5			.
бесконечно большая, т.е.															lim				x			5			.
															x	5			x			5
В рассмотренных примерах предел находился сразу,																																		чаще при вычислении
пределов мы сталкиваемся с неопределённостями:																																0								, 1 .
																																	,				,
																																0	,				,
Пример 3.
			3x2																				3(x		3)(x			1		)
			3x2			10x			3		0												3(x		3)(x					)					3x		1		8
lim																		lim									3					lim								.
lim				x3														lim						3)(x2								lim								.
x	3			x3		27					0						x			3		(x		3)(x2			3x				9)	x 3 x2				3x 9			27
Пример 4.
			x2														(x2															(x2
lim			x2	25						0			lim				(x2					25)(2				x	1)				lim	(x2	25)(2					x	1)
									0																								4		(x		1)
		2			x	1										(2					x		1)(2 x				1)
x	5	2			x	1							x		5	(2					x		1)(2 x				1)				x 5

		(x		5)(x			5)(2					x			1)
lim		(x		5)(x			5)(2					x			1)					lim(x					5)(2				x		1)	10	4		40.
lim							(x		5)											lim(x					5)(2				x		1)	10	4		40.
x	5						(x		5)											x		5
Пример 5 .								lim			2x2				3x			4						.

														x4		1
								x						x4		1

Теорему о пределе частного здесь применить нельзя, так как числитель и знаменатель дроби конечного предела не имеют. В данном случае имеем

неопределённость вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на х в

высшей степени (в данном случае на х2 ), а затем воспользуемся теоремами о пределах функций:

2x2

lim

2 .

Здесь

мы

воспользовались

теоремой

о связи бесконечно большой и

бесконечно малой функций : lim

0 (a – любое число).

Производная и дифференциал

Пусть функция у = f(x) определена на промежутке X. Возьмём точку х Х. Дадим значению х приращение x 0 , тогда функция получит приращение

y f x x f x .

Производной функции у = f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению переменной х, при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

lim

f (x

f (x)

x 0

Основные правила дифференцирования

Если С ─ постоянное число, U

U x ,

V x

─ функции, имеющие

производные, тогда:

0 ;

(I)

V ;

(II)

(CU )

CU ;

(III)

U V

V U ;

(IV)

V U

(V)

V 2

Если у = f(u), u = φ (х) ─ дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции y=f[(φ(x)] существует и равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной х, т.е. yf (u) u (VI).

Таблица производных основных функций

№

Формула

(xn )

n xn 1

n un 1 u

)

ln a ( a 0,

a 1)

)

u u

ln u

u u

loqa x

( a

0, a 1)

(loqau)

x ln a

u ln a

(ln x)

ln u

(sin x)

cos x

sin u

cosu

cos x

sin x

cosu

sin u

tqx

tqu

cos2 x

cos2 u

ctqx

ctqu

sin 2 x

sin 2 u

arcsin x

arcsin u

arccos x

arccosu

arctgx

arctgu

arcctgx

arcctgu

Пример 6.

Найти производные функций:

sin cos 5x ;

3 x e3x

5 ;

c) y arctg

x 2

Решение:

а) функцию y

sin cos 5x

можно представить в виде y

sin u , где u cos5x ,

воспользуемся правилом дифференцирования (VI) и формулами таблицы

производных

(sin(u))

u cos u

(cos5x) cos cos 5x

5sin 5x cos cos 5x ;

e3x

функция

представлена

произведением

двух

функций, на

основании правила (IV)

e3x

5 x3

e3x

5 3e3x x3

3e3x 3

e3x

3x x

e3x 9x

;

3 3 x2

c) функцию y

arctg

можно представить в виде y

arctgu,

x 2

где u

, используя

формулы

таблицы производных и

правила

дифференцирования

(V) и (VI) получим:

2x 1 x2

2 1 x2

2x 2x

1 x2 2

1 2x2

x4 4x2

1 x2 2

x2 2

1 x

2 2

2 2x

2 1 x

1 2x2

2 2

1 x

2 2

1 x2

Определение.

Дифференциалом функции

у=f(x)

называется главная,

линейная относительно

часть приращения функции,

равная произведению

производной на приращение независимой переменной:

f x

x .

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной,

т.е.

x . Итак, дифференциал функции равен произведению её производной

на дифференциал аргумента: dy

dx .

Для определения полного дифференциала функции Z=f(x,y) необходимо

ввести понятие частной производной нескольких переменных.

Определение.

Величина

x x, y y

f x, y

называется полным

приращением функции в точке (х,

у). Если задать только приращение аргумента

x или только приращения аргумента y , то полученные приращения функции

соответственно:

f x

x, y

f x, y

называются частными.

Определение.

Частной

производной

от

функции

x, y

по

независимой

переменной

называется

конечный

предел

Z x

x Z

f x

x, y

, вычисленный при постоянном

y .

lim

x 0

Определение.

Частной

производной

от функции

f x, y

по

называется

конечный

предел

Z y

lim

y Z

lim

f x, y

вычисленный при постоянном x .

Обозначается	частная	производная	так:	Z x , Z y	или	Z	,	Z	;
						x		y

f x x, y ;

f y

x, y .

Пример 7.

Найти частные производные функций:

a) Z x ln y

;

b) Z x y

Решение:

а) при

нахождении

частной производной

по

будем рассматривать y

как величину постоянную.

Получим:

ln y

Аналогично, дифференцируя по у, считаем x постоянной величиной, т.е.

Z y

x ln y

при фиксированном

y имеем степенную функцию от

х, таким образом,

Z x

x y

при фиксированном x функция является показательной относительно y ,

тогда

Z y

x y

ln x .

Полный дифференциал функции Z

f x, y

вычисляется по формуле

dy .

Пример 8.

Найти полный дифференциал функции

Z x 4

5x 2 y

2 y 3 .

Решение:

4x3

10xy ;

5x 2

6 y 2

5x 2

6 y 2

;

4x3

10xy

5x 2

6 y 2 dy .

Общая схема исследования функции и построения графика

Для

полного

исследования

функции

построения

её

графика

рекомендуется использовать следующую схему:

1)найти область определения функции;

2)найти точки разрыва функции и вертикальные асимптоты (если они существуют);

3)исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты;

4)исследовать функцию на чётность (нечётность) и на периодичность (для тригонометрических функций);

5)найти экстремумы и интервалы монотонности функции;

6)определить интервалы выпуклости и точки перегиба;

7) найти точки пересечения с осями координат, если возможно и некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Исследование функции проводится одновременно с построением её графика.

Пример 9. Исследовать функцию y

x 2

и построить график.

x 2

Решение:

Область определения : x

(

;

(

1;1)

(1;

) ;

Функция терпит разрыв в точках x1

1, x2

Исследуем функцию на наличие вертикальных асимптот.

lim

;

lim

1─ вертикальная асимптота.

1 0 x2

lim

; lim

1─ вертикальная асимптота.

x 1 0 x2

x 1 0 x

Исследуем функцию на наличие наклонных и горизонтальных асимптот.

Прямая y

b ─ наклонная асимптота, если k

lim

f (x)

, b

lim ( f (x) kx) .

lim

x 2 1

0, b

lim

x 2

(x 2

1)x

Прямая

1 ─ горизонтальная асимптота.

Функция является чётной т.к.

(

x)2

y(x) . Чётность

(

x)2

функции указывает на симметричность

графика относительно оси ординат.

5. Найдём интервалы монотонности и экстремумы функции.

	(x2	1) (x2 1) (x2 1) (x2 1)	4x
y				.
y		(x2 1)2	(x2 1)2	.

Найдём критические точки, т.е. точки в которых производная равна 0 или не

существует: 4x 0 ; (x2 1)	2 0 . Имеем три точки x	0	; x	2	1;	x	3	1	. Эти
	1			2			3
точки разбивают всю действительную ось на четыре промежутка.						Определим
знаки y на каждом из них.

		y		+		+		─	─

				-1		0		1
							max
	На интервалах (-∞; -1) и (-1; 0) функция возрастает, на интервалах (0; 1)
и	(1 ; +∞) ─ убывает. При					переходе		через точку x 0	производная
меняет знак с				плюса на минус, следовательно, в этой точке					функция имеет
максимум ymax				f (0)	1.
6.	Найдём интервалы выпуклости , точки перегиба.
	y			4x	4(3x2	1)
	y		(x2	1)2	(x2	1)3
			(x2	1)2	(x2	1)3

Найдём точки, в которых yравна 0, или не существует.

3x2

0 не имеет действительных корней.

0 , x

1, x

Точки

1 разбивают действительную

ось на

три интервала.

Определим знак y

на каждом промежутке.

─

-1

Таким

образом,

кривая

на

интервалах

;

1 и

выпуклая вниз, на

интервале (-1;1)

выпуклая

вверх; точек перегиба нет,

т. к. функция в точках

x2 1 не определена.

7. Найдём точки пересечения с осями.

С осью Oy график функции пересекается в точке (0; -1), а с осью Ox график не пересекается, т.к. числитель данной функции не имеет действительных корней. График заданной функции изображён на рисунке 1.

-1	0	1	x
	-1

Рисунок 1 ─ График функции y	x 2	1
	x 2	1

Применение понятия производной в экономике. Эластичность функции

Для исследования экономических процессов и решения других прикладных задач часто используется понятие эластичности функции.

Определение.

Эластичностью функции E x ( y)

называется предел

отношения относительного приращения функции y к относительному

приращению переменной x при

0 ,

Ex y

lim

y .

(VII)

x 0

Эластичность функции показывает приближённо, на сколько процентов

изменится функция y

f (x)

при изменении независимой переменной x на 1%.

Эластичность функции применяется при анализе спроса и потребления. Если эластичность спроса (по абсолютной величине) E x y 1 , то спрос считают

F(x) C .

эластичным,

если

E x

1 ─

нейтральным,

если

─ неэластичным

относительно цены

(или дохода).

Пример 10. Рассчитать эластичность функции

1 и найти

значение показателя эластичности для x = 3.

Решение:

по формуле (VII) эластичность функции:

2x 3

x 2x

x 2

3x 1

Пусть х=3,

тогда

3 y

1,42 .

Это означает, что если

независимая

переменная

возрастёт

на

1%,

то

значение

зависимой

переменной

увеличится на 1,42 %.

Пример 11.

Пусть функция спроса

относительно цены

имеет вид

a e 2x ,

где a ─ постоянный коэффициент. Найти

значение

показателя

эластичности функции спроса при цене х = 3 ден. ед.

Решение:

рассчитаем эластичность функции спроса по формуле (VII)

Ex y

2a e

2x .

Полагая

3 ден.ед., получим

3 y

6 .

Это означает, что при цене

3 ден.ед. повышение цены на 1% вызовет снижение спроса на 6%, т.е. спрос

эластичен.

Интегралы

Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией для функции ƒ(х) на промежутке X, если в каждой точке x этого промежутка

F/ (x) = f(x).

Если функция f(x) имеет первообразную F(x), то она имеет бесконечное множество первообразных, причём все первообразные содержатся в выражении F(x) + С, где С ─ произвольная постоянная.

Определение. Совокупность всех первообразных функции ƒ(х) на промежутке X называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается f x dx, т.е. f (x)dx

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20221.51 Mб15460.pdf
#
13.11.20221.51 Mб15461.pdf
#
13.11.20221.52 Mб85462.pdf
#
13.11.20221.52 Mб25463.pdf
#
13.11.20221.52 Mб85464.pdf
#
13.11.20221.52 Mб45465.pdf
#
13.11.20221.55 Mб105466.pdf
#
13.11.20221.55 Mб05467.pdf
#
13.11.20221.56 Mб05468.PDF
#
13.11.20221.56 Mб55469.pdf
#
13.11.20221.56 Mб805470.pdf