Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5047.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

919.52 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Хабаровская государственная академия экономики и права»

Кафедра статистики

Общая теория статистики II часть

Аналитическая статистика

Учебное пособие

Хабаровск 2008

ББК У051

Ф 31

Февралева С. В., Шокина И. В. Общая теория статистики. Ч. 2. Аналитическая статистика : учеб. пособие. – Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 2008. – 84 с.

Рецензенты: Сивцова Л.С., зампредседателя территорального органа Федеральной службы государственной статистики по Хабаровскому краю Демидько Е.В. канд. экон. наук, доцент кафедры

менеджмента, финансов и права Дальневосточного государственного гуманитарного университета

Утверждено издательско-библиотечным советом академии в качестве учебного пособия для студентов

Хабаровская государственная академия экономики и права, 2008

Введение

Становление рыночных отношений в экономике России изменило и статистическую систему. Наиболее актуальными стали аналитические методы статистики. Данное учебное пособие подготовлено в соответствии с государственным стандартом образования и содержит задачи, посвящённые аналитическим методам статистики.

Аналитические методы статистики включают методы анализа вариации, методологию индексного анализа, вопросы теории и практики оценки взаимосвязей признаков, а также методы статистического анализа динамических рядов.

По каждой теме в сжатой форме приводятся методические указания о методах расчёта и анализа показателей. Представлены решения типовых задач и набор задач для самостоятельной работы студентов. После каждой темы учебного пособия приводятся тестовые задания.

Тема 1 посвящена изучению вариационных рядов, их взаимосвязи, а также показателям степени вариации и формы распределения.

Тема 2 содержит задачи на индексный анализ. С помощью индексов изучается развитие экономики государства в целом, её отраслей, предприятий, фирм, а также исследуется роль и влияние отдельных факторов, определяющих эти изменения.

Среди основных задач статистики видное место занимает описание изменение показателей во времени. С их помощью измеряется уровень социально-экономических процессов и явлений, выявляется тенденция изменения и производится прогноз. Задачи по данному анализу содержатся в теме 3.

Задачи в теме 4 посвящены исследованию зависимостей и взаимосвязей между объективно существующими явлениями и процессами играет в развитии экономики значительную роль. Оно позволяет глубже понять сложный механизм причинно-следственных отношений.

Учебное пособие содержит варианты заданий лабораторных работ, которые выполняются студентами на компьютерах с помощью пакетов прикладных программ EXCEL и STATGRAFICS.

Тема 1. Показатели вариации

Методические указания для решения задач на правило сложения дисперсий альтернативного признака и определение показателей

асимметрии и эксцесса

Правило сложения дисперсий для альтернативного признака

Для альтернативного признака связь между дисперсиями выражается следующей формулой

2	2	2	,

	pi	pi
р

где р – доля признака; 2р – общая дисперсия:

	2
	2		p(1 p),

	p
	p

ррi fi ,

где рi

– доля признака в каждой группе;

– численность единиц в отдельных группах;

– объем совокупности;

pi2 – средняя из групповых дисперсий:

pi(1 pi) fi

pi(1

pi)

где 2pi

– межгрупповая дисперсия:

( p

)2 fi

Покажем на конкретном примере специфику данного расчёта (таблица

1.1)

Таблица 1.1 − Численность рабочих и удельный вес основных рабочих

Цех	Удельный вес основных	Численность рабочих в
предприятия	рабочих, % р i	цехе, f i

1	80	100
2	75	200
3	90	150

Итого	-	450

Решение. Определим долю основных рабочих в целом по трём цехам

p	pi fi	0,8 100 0,75 200 0,9 150	365	0,811.
	fi	450	450

Общая дисперсия доли основных рабочих:

2	p(1 p) 0,811(1 0,811) 0,153.
p

Средняя из групповых дисперсий:

2 pi

pi(1 pi) fi	0,8(1 0,8) 100 0,75(1 0,75) 200 0,9(1 0,9) 150	67	0,149 .

fi	450	450

Межгрупповая дисперсия:

2	( pi p)2 fi (0,8 0,811)2 100 (0,75		0,811)		2 200 (0,9 0,811)	2 150 1,944		0,004.
pi	fi		450				450


Используя правило сложения дисперсий
	2			2	2

				pi	pi ,
		р

получаем

0,153 = 0,149 + 0,004.

Показатели асимметрии и эксцесса

Вариационный ряд называется симметричным, если частота вариантов, равностоящих от некоторого значения, равны между собой. Если же частоты по обе стороны от средней изменяются неодинаково, то вариационный ряд называют асимметричным или скошенным.

Для расчёта асимметрии вариационного ряда используются центральные моменты. В общем виде центральные моменты можно записать:

	(x		)k f
	(x	x	)k f	,
k	f			,
k

а моменты первых четырёх порядков формулами:

	(x x) f	0,
1
	f

	(x		)2 f
	(x	x	)2 f	2	,
2	f				,
2

	(x x)3 f	,
3	f	,
3

	(x	x)4 f	.
4		f	.
4

Центральный момент третьего		порядка		3 используется для

характеристики асимметричности распределения, т.к. для симметричных рядов всегда

x x 3 0 .

Степень ассиметрии может быть определена с помощью коэффициента ассиметрии

s33 .

Всимметричном распределении А s = 0. При А s >0, говорят о право-

сторонней асимметрии, при А s <0 о левосторонней асимметрии.

Принято считать, что асимметрия выше 0,5 (независимо от знака) считается значительной. Асимметрия меньше 0,25 незначительная.

О наличии или отсутствии асимметрии в распределении признака в генеральной совокупности можно судить по показателю оценки существенности асимметрии:

		К Аs			As		,
					As
					As
					As
где A	– среднеквадратическая ошибка коэффициента асимметрии:
s

				6(n		1)		,
	As
			(n		1)(n 3)

где n – число наблюдений.

Если КAs>3, асимметрия существенна и распределение признака в генеральной совокупности асимметрично, если КAs<3 – асимметрия несущественна и распределение признаётся симметричным.

Центральный момент четвёртого признака μ4 используется в качестве характеристики эксцесса, которая рассчитывается для симметричных распределений:

Ех	4	3 .
	4

При нормальном распределении Ех = 0. Если Ех > 0, то ряд распределения островершинен, если Ех < 0, то ряд низковершинен.

Предельным значением отрицательного эксцесса является значение Ех = –2. Величина положительного эксцесса является величиной бесконечной.

Показатель существенности эксцесса рассчитывается по формуле

К Ех	Ех	,

Ех

где Ех – среднеквадратическая ошибка эксцесса:

		24n(n		2)(n	3)		.
Ех
	(n	1)	2	(n 3)(n		5)
			2

Если КЕх>3, то это говорит об отсутствии нормального распределения. При КЕх <3 показатель свидетельствует о нормальности распределения.

Проиллюстрируем вычисление показателей асимметрии и эксцесса на примере (таблица 1.2).

Таблица 1.2 − Распределение рабочих по возрасту (лет)

Группа	Число	Сере-	х f	(х		)2 f	х		3 f	(х		)4 f
					х						х
					х			х			х
рабочих	рабо-	дина
по	чих, f	интер-
возрасту,		вала, х
лет

18 – 21	1	19,5	19,5	84,64			-778,69			7 163,930

21 – 24	3	22,5	67,5	115,32			-714,98			4 432,901

24 – 27	6	25,5	153,0	61,44			-196,61			629,146

27 – 30	10	28,5	285,0	0,40			-0,08			0,016

30 – 33	5	31,5	157,5	39,20			109,76			307,328

33 – 36	3	34,5	103,5	100,92			585,34			3 394,949

36 – 39	2	37,5	75,0	154,88			1 362,94			11 993,907

Итого	30	-	861,0	556,80			367,68			27 922,177

Решение. Определим центральные моменты и другие характеристики, необходимые для вычисления показателей асимметрии и эксцесса:

			8
х	хf	861	28,7года;

	f	30
	f	30
2	(х	х)2 f		556,8	18,56;
		f	30		18,56;
		f	30

3 2

18,56 4,31; 18,56 4,31 79,99;

4	2	2	18,56 2			344,47;
4	2		18,56 2			344,47;
	(х		х)3	f	367,68		12,26;
3			f			30	12,26;
3

	(х		х)4	f	27922,177			930,74.
4			f			30		930,74.
4

Коэффициент асимметрии

Аs	3
	3

12,26

79,99

0,15

Аs<0, следовательно, имеется незначительная правосторонняя асимметрия, которой можно пренебречь. Распределение признаётся симметричным.

Оценка степени существенности:

			6(n 1)		6(30 1)		174	0,41;
Аs
		(n	1)(n 3)		(30 1)(30 3)	1023


К As	As		0,15	0,37.
	As		0,15

		As	0,41
			0,41

КАs<3 – асимметрия признака в генеральной совокупности несущественна. Распределение признака симметрично, следовательно, можно

рассчитать показатель эксцесса:

Ех	4	3	930,74	3	0,3

	4		344,47

Ех<0, что свидетельствует о плосковершинности распределения. Оценка существенности эксцесса:

		24n(n		2)(n	3)
Ех
Ех		(n 1)2 (n 3)(n			5)
		(n 1)2 (n 3)(n			5)

	24	30(30		2)(30	3)	544320	0,56;

	(30	1)2 (30		3)(30	5)	971355
	(30	1)2 (30		3)(30	5)	971355
К Ех		0,3	0,53.
		0,3

	0,56
	0,56

КЕх<3 – распределение признаётся нормальным.

Задачи для самостоятельной работы

1.1. Распределение подростковой преступности по одной из областей региона за 1-е полугодие характеризуется следующими данными:

Возраст	11	12	13	14	15	16	Итого
правонарушителей, лет

Количество	15	24	29	36	42	30	176
правонарушений

Определите показатели вариации: а) размах; б) среднее линейное отклонение; в) дисперсию; г) среднеквадратическое отклонение; д) коэффициент вариации.

Оцените количественную однородность совокупности.

1.2. Распределение студентов одного из факультетов по возрасту характеризуется следующими данными:

Возраст студентов,	17	18	19	20	21	22	23	24	Всего
лет

Число студентов	20	80	90	100	130	170	90	60	740

Вычислите: 1) размах вариации; 2) среднее линейное отклонение; 3) дисперсию; 4) среднее квадратическое отклонение; 5) относительные показатели вариации возраста студентов.

1.3. Определите среднюю длину пробега автофургона торговопосреднической фирмы и вычислите все показатели вариации, если известны:

Длина пробега за один рейс, км		Число рейсов за квартал

30	– 50	20
50	– 70	25
70	– 90	14
90 – 110		18
110	– 130	9
130	– 150	6

1.4. Определите дисперсию и среднеквадратическое отклонение по данным задачи 8.1, используя формулу х2 – ( х )2. Какой из двух способов вычисления показателей – обычный или по приведённой формуле – более рационален в условиях рассматриваемой задачи.

1.5.По данным задачи 8.3 определите дисперсию и

среднеквадратическое, способом «моментов»	и используя формулу
х 2 (х)2 . Сравните полученные результаты.

1.6. Распределение длины пробега автофургона торговой фирмы характеризуется следующими данными:

Длина

30 – 40

40 – 50

50 – 60

60 – 70

70 – 80

80 и

пробегам за

выше

один рейс, км

Число рейсов

за месяц

Определите

дисперсию

по

формулам

2 (х х)2 f

, 2 х 2

(х)2 и

используя способ «моментов». Сравните полученные результаты.

1.7. Основные фонды предприятий города производственной и непроизводственной сферы характеризуется следующими данными:

Число предприятий	Среднегодовая стоимость основных фондов
	предприятий в сфере, млн руб.

	производственной	непроизводственной

2	2,9	0,9
3	7,1	1,2
5	10,7	2,2
6	6,9	3,2
7	5,1	4,2

Определите по каждому виду основных фондов средний размер основных фондов на одно предприятие и среднее линейное отклонение. Сравните вариацию, сделайте выводы.

1.8. Данные о производительности труда трёх цехов текстильной промышленности характеризуются следующими данными:

Цех	Средняя часовая	Среднее квадратическое
	производительность труда, м2	отклонение в группе, м2

1	29,2	2,4
2	18,2	2,3
3	28,4	3,5

Сравните вариацию производительности труда в названных цехах, сделайте выводы.

1.9. Товарооборот по предприятию общественного питания на одного работника за квартал характеризуются следующими данными:

Предприятие	Товарооборот в расчёте на	Дисперсия
	одного работника, млн руб.	товарооборота в группе

Столовая	13	3,29
Кафе, закусочная	20	36,00
Рестораны	26	9,00

Определите по каждому предприятию: коэффициент вариации и сравните вариацию товарооборота общественного питания в названных предприятиях. Сделайте выводы.

1.10. Имеются следующие данные о балансовой прибыли предприятий за два квартала:

Квартал	Число предприятий	Балансовая прибыль,
		млн руб.

I	3	18,4; 38,8; 72,6
II	4	14,1; 16,3; 48,8; 27,9

Определите: а) общую дисперсию; б) групповые дисперсии; в) среднюю из групповых дисперсий; г) межгрупповые дисперсии; д) общую дисперсию, применяя правило сложения дисперсий; е) коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

1.11. Распределение семей сотрудников финансовой корпорации по количеству детей характеризуется следующими данными:

Количество	Число сотрудников по подразделениям
детей в семье
детей в семье	1-е	2-е	3-е

0	4	7	5
1	6	10	13
2	3	3	3
3	2	1	-

Определите: а) групповую дисперсии; б) среднюю из групповых дисперсий; в) межгрупповую дисперсию; г) общую дисперсию. Проверьте правильность произведённых расчётов с помощью правила сложения дисперсий и рассчитайте эмпирическое корреляционное отношение.

1.12. Для установления зависимости между урожайностью и сортом винограда в одном из хозяйств на основе выборки определили урожай на 8 кустах винограда:

Сорт	Число проверенных		Урожай с куста, кг
винограда	кустов
винограда	кустов	№1		№2	№3
		№1		№2	№3

А	3	6		5	7

Б	3	7		6	8

В	2	9		7	-

Исчислите общую, межгрупповую и среднюю из групповых дисперсий. Определите связь между сортом и его урожайностью.

1.13. Распределение стоимости продукции, предназначенной для экспортных поставок, по ценам предприятия, характеризуется следующими данными:

Цех	Стоимость всей	В том числе стоимость
	произведённой продукции,	экспортной продукции,
	млн руб.	млн руб.

1	150	120
2	200	180
3	400	380

Итого	750	680

Определите: а) внутрицеховых дисперсий доли; б) среднюю из внутригрупповых дисперсий; в) межгрупповую дисперсию; г) общую дисперсию.

Проверьте правильность произведённых расчётов с помощью правила сложения дисперсий доли.

1.14. Ниже приведены данные по отдельным молочно-товарным фермам хозяйства об общем поголовье коров и числе дойных коров:

Ферма	Всего коров	В том числе дойных

1	200	180
2	225	160
3	300	285

Итого	725	625

Определите: а) дисперсию доли дойных коров в общем поголовье коров по отдельным молочно-товарным фермам; б) среднюю из внутригрупповых дисперсий; в) межгрупповую дисперсию; г) общую дисперсию; д) коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение. Сделайте выводы.

1.15. С целью определения размеров зимней гибели посевов в сельскохозяйственных предприятиях области обследовано 1 000 га посева озимой пшеницы. Результаты обследования следующие:

Сорт озимой пшеницы	Посевная площадь, га	Процент зимней гибели
		посевов

Одесская	600	10
Народная	400	20

Определите: а) групповые дисперсии; б) среднюю из групповых дисперсий; в) межгрупповую дисперсию; г) общую дисперсию доли зимней гибели посевов озимой пшеницы; д) коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение. Сделайте выводы.

1.16. В результате обследования задержки вылетов в аэропорту, связанных с метеоусловиями, получены следующие данные.

Метеоусловия	Количество вылетов	Среднее время
		задержки вылетов, час

Неблагоприятные	25	8

Неустойчивые	35	4

Благоприятные	40	1

Итого	100	3,8

Определить межгрупповую и среднюю из групповых дисперсий времени задержки вылетов, если известно, что общая дисперсия равна 10.

1.17. Годовое потребление природного газа населением характеризуется данными

Категории потребителей	Количество	Среднегодовое
	потребителей, тыс.	потребление газа в
	чел	расчёте на 1
		потребителя, м3

Благоустроенная квартира	40	250

Неблагоустроенная	10	400
квартира

Итого	50	х

Определите межгрупповую и среднюю из групповых дисперсий, если известно, что общая дисперсия составляет 4 800.

1.18. В результате обследования технического состояния станков, получены следующие данные.

Состояние станка	Число	Среднее	Среднее
	станков	число	квадратическое
		обрывов	отклонение числа
		на 100 м	обрывов нити на 100 м

Прошли планово-	8	68	3
технический осмотр

Требуют ремонта	12	73	2,8

Определите коэффициент детерминации.

1.19. В результате обследования технологической дисциплины производственных участков получены следующие данные

% производственных	Число	Средние убытки от	Дисперсия
участков с нарушением	участков	брака продукции,	убытков
технологической		тыс. ден. единиц	от брака
дисциплины

1,2 – 1,7	7	1,2	0,22

1,7 – 2,2	9	1,6	0,02

2,2 и более	6	2,0	0,06

Определите коэффициент детерминации

1.20. В результате обследования производственных показателей предприятия получены следующие данные.

Стоимость	Число	Средний объём	Внутригрупповая
основного	предприятий	продукции , млн	дисперсия объёма
капитала, млн руб.		руб.	продукции

40 – 50	15	290	90,7

50 – 60	8	410	115,8

60 – 70	2	520	84,0

Рассчитать межгрупповую дисперсию, среднюю из групповых дисперсий и общую дисперсию. Определите связь между стоимостью основного капитала предприятия и объёмом произведённой продукцией.

1.21. Имеются данные о распределении семей города по числу детей:

Число детей	0	1	2	3	4	5	Всего

Число семей в % к	10	26	29	17	13	5	100
итогу

Используя центральные моменты первых четырёх порядков, рассчитайте коэффициенты асимметрии и эксцесса. Сделайте выводы.

1.22. Распределение магазинов по размеру товарооборота за октябрь 2006 г. характеризуется следующими данными:

Группа магазинов	Число	Группа магазинов по	Число
по размеру	магазинов	размеру	магазинов
товарооборота,		товарооборота, млн
млн руб.		руб.
До 200	12	500 – 600	15
200 – 300	14	600 – 700	7
300 – 400	18	700 –800	6
400 – 500	23	Свыше 800	4

Определите показатели асимметрии и эксцесса распределения магазинов по размеру товарооборота. Сделайте выводы о характере распределения

1.23. При исследовании трудовой активности сотрудников организации (отработано человеко-дней за год) получены средние величины и центральные моменты:

Показатель		Для мужчин	Для женщин

		240	180
	х
2		1 200	2 300
Центральные моменты 3		4 800	34 500
4		3 483 000	16 835 000

Используя показатели асимметрии и эксцесса, сравните характер распределения мужчин и женщин по трудовой активности. Сделайте выводы.

1.24. По данным выборочного обследования домашних хозяйств по числу совместного проживания их членов получены следующие данные

Показатель		Для числа членов домашних
		хозяйств

		2,789
	х	2,789
2		1,6505
Центральные моменты 3		0,3811
4		6,1715
4

Определите коэффициент асимметрии и эксцесса. Сделайте выводы о характере распределения

Тесты

1. Межгрупповая дисперсия составляет 64% от общей дисперсии. Эмпирическое корреляционное отношение равно (с точностью до 0,01):

а) 0,64;	в) 0,36;
б) 0,80;	г) 0,41.
2. Для оценки однородности совокупности рассчитывают...
а) среднее линейное отклонение;		г) коэффициент вариации;
б) среднее квадратическое отклонение;		д) эксцесс распределения.
в) коэффициент осцилляции;

3. Межгрупповая дисперсия составляет 81% от общей дисперсии. Эмпирическое корреляционное отношение равно (с точностью до 0,01):

а) 0,81;	в) 0,10;
б) 0,90;	г) 0,19.

4. Коэффициент детерминации измеряет:

а) степень тесноты связи между исследуемыми признаками; б) вариацию, сложившуюся под влиянием всех признаков-факторов;

в) долю вариации результативного признака, сложившуюся под влиянием изучаемого признака-фактора; г) вариацию, связанную с влиянием всех прочих факторов, кроме исследуемого.

5. Коэффициент детерминации может принимать значения:

а) от -1 до 0;	в) от -1 до 1;
б) любые положительные;	г) от 0 до 1.

6. Средняя из внутригрупповых дисперсий характеризует:

а) вариацию результативного признака «y», обусловленную влиянием всех факторов, кроме исследуемого фактора «х»;

б) вариацию результативного признака «у», обусловленную влиянием фактора «х»; в) вариацию внутригрупповых средних относительно общей средней по совокупности.

Тема 2. Индексы Методические указания

Индексный метод позволяет определить роль отдельных факторов в абсолютном выражении. Для двухфакторной модели, например, товарооборота, зависящего от средней цены ( p ) и объёма реализованной продукции (q), система уравнений имеет вид:

общий абсолютный прирост товарооборота:

pq p1q1 p0 q0 ;

абсолютный прирост товарооборота за счёт изменения средней цены:

pq	( p p		) q (	p1q1		p0 q0	) q	;
		0

( p )	1		1	q1	1
						q0

абсолютный прирост товарооборота за счёт изменения объёма реализованной продукции:

pq( q) ( q1	q0 ) p0 ( q1	q0 )	p0 q0	.

			q0

Для проверки:

pq pq( p) pq( q) .

Для трёхфакторной модели, например, товарооборота, зависящего от цены ( p ), структуры реализованной продукции (q/ q) и объёма реализованной продукции (q), система уравнений имеет вид:

общий абсолютный прирост товарооборота:

pq p1q1 p0 q0 ;

абсолютный прирост товарооборота за счёт изменения объёма реализованной продукции:

pq	( p p		) q (	p1q1		p0 q0	) q	,
		0

( p )	1		1	q1	1
						q0

абсолютный прирост товарооборота за счёт изменения структуры реализованной продукции:

( p

) q (

p0 q1

p0 q0

) q

усл.

(

)

где pусл. – средняя условная цена, рассчитываемая базисным ценам в отчётной структуре:

Русл	р0q1	;

	q1

абсолютный прирост товарооборота за счёт изменения цены:

( p p

) q (

p1q1

p0 q1

) q

( p)

усл.

1 .

Для проверки:

pq(q)

pq( p) .

(

)

Задачи для самостоятельной работы

2.1. Имеются следующие данные о себестоимости и объёмах производства продукции промышленного предприятия:

Изделие			Период

	базисный			отчётный

	себестоимость	произведено,		себестоимость	произведено,
	единицы		тыс. шт.	единицы		тыс. шт.
	продукции, руб.			продукции, руб.

А	220		63	230		52

Б	183		41	200		40

В	67		89	65		95

Определите: 1) индивидуальные индексы себестоимости, физического объёма и затрат на производство; 2) абсолютное изменение затрат по каждому товару: а) общее; б) за счёт изменения объёма производства; в) за счёт изменения себестоимости; 3) общие индексы себестоимости, физического объёма и затрат на производство; 4) абсолютное изменение затрат на производство по всем видам товаров: а) общее; б) за счёт изменения объёма продажи; в) за счёт изменения себестоимости.

2.2. Имеются следующие данные о реализации продуктов предприятиями розничной торговли округа

Товар	Цена за 1 кг, руб.		Продано, т

	I квартал	II квартал	I квартал	II квартал

А	30	20	100	140

Б	40	135	120	125

Определите: 1) индивидуальные индексы цен, физического объёма и товарооборота; 2) абсолютное изменение стоимости каждого товара: а) за счёт изменения объёма продажи; б) за счёт изменения цен; 3) общие индексы цен, физического объёма и товарооборота; 4) абсолютное изменение стоимости товарооборота по всем видам товаров: а) общее; б) за счёт изменения объёма продажи; в) за счёт изменения цен.

2.3. Имеются следующие данные о товарообороте и цена товаров по магазину:

Товар	Товарооборот (тыс. руб.) в ценах		Цена 1 кг (руб.) в периоде
	соответствующих лет в периоде

	базисном	отчётном	базисном	отчётном

А	840	990	16	16,5

Б	117	120	18	18,3

В	87	90	15	15,8

Определите: 1) общие индексы цен, стоимости товарооборота и физического объёма товарооборота; 2) абсолютное изменение товарооборота – общее и за счёт цен и физического объёма товарооборота

2.4. Имеются следующие данные о выпуске продукции на одном из предприятий:

Вид	Затраты на производство,		Произведено, тыс. шт.
продукции
продукции	I квартал	II квартал	I квартал	II квартал

А	5 600	5 850	80	90

Б	4 060	4 675	70	85

В	6 500	6 860	100	98

Определите: 1) общие индексы себестоимости, физического объёма продукции и индекс затрат на производство; 2) абсолютное изменение затрат на производство – общее и за счёт изменения себестоимости единицы продукции и физического объёма производства.

2.5. Имеются следующие данные о весе животных и числе голов в одном из фермерских хозяйств:

Порода коров	Вес одного животного, кг			Число голов животных

	базисный		отчётный	базисный	отчётный

Молочная	583		624	12	16

Мясо – молочная	683		746	14	11

Определить: общие индексы		веса животных,		численности животных,
общей массы животных.

2.6. По приведённым данным определить, как в среднем изменилась цена молока, если средняя цена возросла на 7,6%.

% жирности	Цена в базисном	Продано молока в году, л
молока	году, руб. за литр
молока	году, руб. за литр	базисном	отчётном

2,5	28,6	76	84

3,2	30,3	128	179

3,5	31,6	96	124

4,0	32,4	54	65

2.7. Имеются следующие данные о ценах и количестве товара различного сорта

Сорт товара	Цена, руб.		Количество, шт.

	I квартал	II квартал	I квартал	II квартал

I	30	70	600	400
II	40	90	400	600
III	60	80	200	300

1)рассчитайте индивидуальные индексы цен и физического объёма;

2)рассчитайте общие индексы цен и физического объёма:

а) Ласпейреса; б) Пааше;

3)рассчитайте коэффициент вариации индивидуальных индексов цен и физического объёма продукции;

4)определите коэффициент корреляции между индивидуальными индексами физического объёма и цен на отдельные виды продукции;

5)покажите зависимость между индексами цен Ласпейреса и Пааше.

2.8. Определите общий индекс физического объёма продукции

Вид		Базисный период				Изменение физического
продукции							объёма производства в
продукции	Себестоимость,				Объём		объёма производства в
	руб. за 1 000 шт				производства,		отчётном периоде по
					тыс. шт	сравнению с базисным, %

Кирпич		6 000			154	+7,5
красный

Кирпич		7 680			196	-8,4
белый

2.9. Определите общий индекс физического объёма реализации

Вид продукции			Товарооборот в базисном				Индекс физического
				году, тыс. руб.			объёма реализации, %

А				145,8			без изменения

В				185,8			-3,6

С				94,8			+6,8

2.10. По приведённым данным о товарообороте и индивидуальных индексах физического объёма рассчитайте: общие индексы товарооборота, физического объёма товарооборота и цен.

Товар	Фактический товарооборот		Индивидуальный индекс
	(тыс. руб.) в периоде		физического объёма
			товарооборота, %
	базисном	отчётном	товарооборота, %

Овощи	105,4	107,6	105,0

Мясо и мясные	806,2	902,3	110,6
изделия

2.11. Имеются следующие данные о затратах на производство продукции растениеводства:

Группа	Общие затраты на		Индивидуальный
сельскохозяйственных	производство, (тыс. руб.) в		индекс
культур	периоде		себестоимости

	базисном	отчётном

Озимые зерновые	223,0	242,	1,02

Зернобобовые	47,2	49,0	1,05

Вычислите общие индексы затрат на производство, себестоимости и физического объёма.

2.12. Имеются следующие данные по ЗАО «Элегант»:

Группа товаров	Товарооборот, тыс. руб.		Изменение цен во II
			квартале по сравнению
	I квартал	II квартал	квартале по сравнению
			с I кварталом, %

Телевизоры	3 879	4 800	+5

Радиотовары	920	1 340	-3

Вычислите общие индексы товарооборота в фактических ценах, цен и физического объёма реализации.

2.13. Имеются следующие данные по отделу «Спорттовары» по одному из универмагов города:

Вид товара	Продано в фактических		Изменение количества
	ценах в квартале, тыс.		реализованных товаров в III
		руб.	квартале по сравнению со II
			кварталом, %
	III	IV	кварталом, %

Моторные лодки	190	196	+5,0

Палатки	35	26	-2,0

Велосипеды	20	18	без изменения

2.14. По металлургическому комбинату имеются следующие данные о выпуске продукции:

Вид	I квартал		II квартал		III квартал
продук-
продук-	выпуск,	отпускная	выпуск,	отпускная	выпуск,	отпускная
ции	т	цена за 1	т	цена за 1	т	цена за 1
		т, руб.		т, руб.		т, руб.

Прокат
листовой	5 000	2 900	5 100	2 900	5 400	3 250
Сталь
арматур-
ная	4 500	2 650	4 500	2 680	4 700	2 750
Швелер	800	2 900	1 000	2 920	1 100	2 940

Определите агрегатные цепные и базисные индексы физического объема продукции, цен и общей стоимости продукции. Покажите взаимосвязь вычисленных индексов. Сформулируйте вывод.

2.15. По приведённым данным о ценах и физическом объёме произведённой продукции по цеху мебельной фабрики рассчитайте:

1) цепные и базисные индивидуальные индексы цен и физического объёма;

2) цепные и базисные общие индексы цен и физического объёма с постоянными и переменными весами.

Вид		Цена за 1 шт., руб.				Произведено, шт.
продукции
продукции	май	июнь	июль	август	май		июнь	июль	август

Стол	9 700	10 200	11 000	11 200	125		132	135	130
Стул	1 200	1 500	2 000	2 200	290		320	330	380

2.16. Определите: 1) индекс цены переменного состава, 2)индекс цены постоянного состава, 3) индекс структурных сдвигов. Сделайте выводы.

Сорт бумаги	Цена за 1 тонну, руб.		Объём продажи, т

	период		период

	базисный	отчётный	базисный	отчётный

Снежинка	980	1 050	234	287

Снегурочка	780	680	134	950

2.17. Определите: 1) индекс себестоимости переменного состава; 2) индекс себестоимости постоянного состава; 3) индекс структурных сдвигов. Сделайте выводы.

Продукция		Период

	базисный		отчётный

	себестоимость,	объём	себестоимость,	объём
	руб. за 100 шт	производства,	руб. за 100 шт	производст-
		тыс. шт		ва, тыс. шт

1	56	3 456	76	5 342

2	67	2 314	54	2 745

2.18. По приведённым данным вычислите: 1) индексы переменного, постоянного состава и структурных сдвигов; 2) абсолютное изменение средней себестоимости: а) общее; б) за счёт изменения себестоимости в каждой строительной компании; в) за счёт изменения структуры строительства. Сделайте выводы.

Строительная	Себестоимость 1 м2 , руб.		Построено,		м2
компания	Период		Период

	базисный	отчётный	базисный	отчётный

1	25 470	27 420	3 410		3 520

2	27 130	27 130	2 530		2 730

2.19. По приведённым данным о продаже телевизоров рассчитайте индексы переменного, постоянного составов и структурных сдвигов. Найдите абсолютное изменение средней цены: а) общее; б) за счёт изменения индивидуальной цены; в) за счёт изменения структурных продаж.

Номер магазина		Март		Апрель

	цена в руб.	доля в объёме	цена в	доля в объёме
		реализации,%	руб.	реализации,%

1	27 000	33,3	29 000	34,0
2	32 000	56,7	35 000	15,4
3	45 000	10,0	46 000	20,6

2.20. Определите: 1) индекс товарооборота на душу населения переменного состава; 2) индекс товарооборота на душу населения постоянного состава; 3) индекс влияния сдвигов в структуре населения на динамику среднедушевого товарооборота; 4) абсолютный прирост товарооборота всего и в том числе: а) за счёт роста товарооборота на душу населения, б) за счёт роста численности населения.

Периоды	Среднегодовая численность		Розничный
	населения, тыс. чел.		товарооборот, млн руб.
	городского	сельского	городской	сельской
Базисный год	67	42	51,9	13,4
Отчётный год	132	62	143,6	24,2

2.21. По предприятию за два месяца имеются следующие данные о выпуске продукции и затратах на нее:

Показатель	Январь	Февраль

Прокат листовой, тыс.т	45	50
Общая сумма затрат на
выпуск, тыс.руб.	658 350	735 000

Определите абсолютное изменение общей суммы затрат предприятия за счет изменения выпуска продукции и её себестоимости.

2.22. Имеются данные о выпуске одноименной продукции «А» и её себестоимости по двум заводам:

Завод		Период

	базисный		отчётный

	себестоимость,	объём	себестоимость,	объём
	руб. за 100 шт	производства,	руб. за 100 шт	производства,
		тыс. шт		тыс. шт

1	56	3 456	76	5 342

2	67	2 314	54	2 745

Вычислите: 1) индексы переменного, постоянного состава и структурных сдвигов; 2) абсолютное изменение затрат на производство: а) общее; б) за счёт изменения индивидуальной себестоимости; в) за счёт

изменения структуры производства; г) за счёт изменения объёма производства.

2.23. Имеются данные о продаже товара «А» на двух рынках города

Рынок	Цена за 1 кг, руб.		Продано, т

	I квартал	II квартал	I квартал	II квартал

1	12	12,5	100	140

2	13	14	120	125

Рассчитайте: 1) индекс цен переменного, постоянного состава и структурных сдвигов; 2) абсолютное изменение средней цены: а) общее; б) за счёт изменения средней цены; в) за счёт изменения объёма продаж; 3) абсолютное изменение товарооборота: а) общее; б) за счёт изменения средней цены; в) за счёт изменения объёма продаж; г) за счёт изменения объёма продаж.

2.24. По двум сельскохозяйственным предприятиям имеются данные о производстве зерновых.

Сельскохозяйственное	Урожайность, ц/га		Посевная площадь, га
предприятие
предприятие	базисный	отчётный	базисный	отчётный
	период	период	период	период

1	35	38	520	650
2	20	22	180	160

Рассчитайте абсолютное изменение валового сбора: а) общее; б) за счёт урожайности по каждому сельскохозяйственному предприятию; в) за счёт изменения посевных площадей; в) за счёт структуры посевных площадей.

2.25.Определите изменение продуктивности коров и влияние факторов

вэтой динамике

Сельскохозяйственное	Базисный период		Отчётный период
предприятие
предприятие	удой на	доля коров	удой на	доля коров
	корову, кг		корову, кг

1	2976	0,294	2941	0,278

2	3634	0,274	3550	0,368

3	2115	0,432	2115	0,354

2.26.Определите изменение среднего балла сдачи экзамена, если известно, что средний балл уменьшился на 6,4 % за счёт изменения непосредственно индивидуальных оценок, а за счёт изменения числа студентов и структуры их успеваемости он увеличилась на 0,7 %.

2.27.Имеются следующие данные о покупателях использования рабочего времени:

Показатель		Период

	базисный		отчётный

Среднее списочное число рабочих	350,0		380,0
Продолжительность рабочего дня	8,0		7,8
Продолжительность рабочего
периода	58,0		62,0

Рассчитайте относительное и абсолютное изменение отработанных человеко-часов в отчётном периоде по сравнению с базисным: а) общее; б) вследствие изменения средней продолжительности рабочего дня; в) рабочего периода; г) средней списочной численности рабочих.

2.28.На сколько процентов изменился товарооборот, если цены были снижены на 5%, а физический объём товарооборота увеличился на 12%.

2.29.Физический объём продукции увеличился на 10%, себестоимость единицы продукции снизилось на 10%. Что произошло с затратами на производство продукции?

2.30.Общие затраты труда на производство продукции увеличились на 14%. Физический объём продукции возрос на 20%. На сколько процентов изменилась трудоёмкость продукции?

2.31.Физический объём продукции возрос на 13,3%, а общие затраты труда увеличились на 10%. На сколько процентов изменилась производительность труда?

2.32. Производительность труда в отчётном периоде по сравнению с прошлым годом возросла на 12% и составила 168 тыс руб. на одного работающего. За этот же период численность работающих сократилась на 20 человек и составила 380 человек.

Определите индексы численность работающих, физического объёма продукции за счёт роста производительности труда и изменения численности работающих.

2.33. Уровень рыночных цен на продукты и объём их реализации в двух городах характеризуется следующими данными:

Продукт	Город К		Город М

	цена за 1 кг,	продано, т	цена за 1 кг,	продано, т
	руб.		руб.

А	15	76	15	68
Б	70	45	76	39
В	50	60	55	41

Рассчитайте двумя способами территориальный индекс цен города М по отношению к городу К. сделайте выводы.

2.34. Имеются данные о ценах и продаже товаров на рынках:

Вид	Город К		Город М

	цена за 1т, руб.	количество, т	цена за 1 т, руб.	количество, т

А	2 000	900	2 500	600
Б	2 400	200	2 700	180
В	3 200	120	3 400	80

Вычислите: 1) территориальный общий индекс физического объёма товарооборота К к М, приняв в качестве стандартных соизмерителей средние цены по двум городам; 2) территориальный общий индекс.

2.35. Имеются следующие данные о продаже продуктов:

Вид	Количество проданной продукции,			Цена за 1 кг, руб.
продукции		тыс. ц

	базисный		отчётный	базисный	отчётный
	период		период	период	период

А	60		60	15,5	14,0
Б	124		140	13,0	13,5

Рассчитайте:

а) общие индексы цен и физического объёма Пааше; б) общие индексы цен и физического объёма Ласпейреса;

в) идеальный индекс Фишера цен и физического объёма.

Тесты

1.Индексы позволяют соизмерить социально-экономические явления: а) в пространстве; б) во времени;

в) в пространстве и во времени.

2.Можно ли утверждать, что индивидуальные индексы по методологии исчисления адекватны темпам роста?

а) можно; б) нельзя.

3. Сводные индексы позволяют получить обобщающую оценку

изменения:
а) по товарной группе;	б) одного товара за несколько периодов.
4. Индексы переменного состава рассчитывают:
а) по товарной группе;	б) по одному товару.

5. Средний арифметический индекс равнозначен:

а) агрегатному индексу; в) индексу переменного состава; б) индивидуальному индексу.

6. Индекс структурных сдвигов определяется как:

а) разность индекса переменного состава и индекса постоянного состава; б) частное от деления индекса переменного состава и индекса постоянного состава; в) произведение индекса переменного состава и индекса постоянного состава.

7. В среднем производительность труда возросла на 1,8 %. Этот вывод сделан на основе:

а) индекса переменного состава; в) индекса постоянного состава; б) индекса структурных сдвигов.

8. Себестоимость продукции во втором полугодии выросла на 1,5% по сравнению с первым при неизменном уровне затрат на производство. Определите величину индекса физического объёма продукции?

а) 98,5%;	в) 100,0%;
б) 101,55;	г) 103,0%.

9. Индекс постоянного состава равен 125%, а индекс структурных сдвигов 110%. Величина индекса переменного состава составит:

а) 135%;	в) 137,5%;
б) 115%;	г) 113,6%.

10. Физический объём выпуска за год уменьшился на 12%, при этом цены на продукцию выросли на 12%. Стоимость выпуска:

а) выросла на 27,3%;	в) снизилась на 1,4%;
б) не изменилась;	г) выросла на 24%.

Тема 3. Ряды динамики

Методические указания

Гармонический анализ.

В качестве аналитической формы сезонной волны применяют уравнение следующего типа (ряда Фурье):

ˆ	a0	(ak coskt bk sin kt) .
уt

Для вычисления параметров уравнения используют формулы

а	у	;	а	2 y coskt	;	в	2 y sin kt	.
0	n		k	n		k	n
	n			n			n

При нахождении t значения синусов и косинусов разных гармоник используют данные таблицы 3.1.

Таблица 3.1 − Коэффициенты гармонического анализа месячных наблюдений для расчёта параметров аk и bk

Месяц	t	Продано	y cos t	y sin t	I yt
					ˆ
		зимней одежды,
		у
1	2	3	4	5	6
1	0	37	37,00	0,00	34,99
2	π/6	40	34,64	20,00	39,31
3	π/3	44	22,00	38,10	45,45
4	π/2	52	0,00	52,00	51,74
5	2π/3	46	-23,00	39,84	56,49
6	5π/6	70	-60,62	35,00	58,43
7	π	60	-60,00	0,00	57,04
8	7π/6	48	-41,57	-24,00	52,69
9	4π/3	46	-23,00	-39,84	46,55
10	3π/2	38	0,00	-38,00	40,26
11	5π/3	36	18,00	-31,18	35,51
12	11π/6	35	30,31	-17,5	33,57
Итого	-	552	-66,24	34,42	551,99

Остаточная дисперсия, рассчитанная для каждой гармоники ряда Фурье, позволяет сделать вывод о том, какая из гармоник наиболее близка к фактическим уровням:

2ост	( у	yˆ	)2t	,
	i	t
		n
		n

где уi – фактические значения;

уˆt – выровненные уровни по гармонике ряда Фурье.

Аппарат гармонического анализа позволяет оценить роль каждого колебательного процесса в общей дисперсии временного ряда. Удельный вес гармоники с номером n в общей дисперсии определяется как

		2
d		n	100,
d	n	2	100,
	n	2

где	2	– дисперсия, вносимая			колебательным			процессом	каждой
	2
	n
гармоники:
				2	(a2	b2 )	,
				2	n	n	,
				n		2
						2
где 2	– общая дисперсия			2	( y	y)2	.
где 2	– общая дисперсия			y			.
y				y		n
						n
Покажем на конкретном примере специфику гармонического
анализа (таблица 3.2).
			Таблица 3.2 − Расчётные данные

Месяц		t	Продано зимней			y cos t		y sin t	I yt
									ˆ
			одежды, у
1		2	3				4	5	6
1		0	37			37,00		0,00	34,99
2		π/6	40			34,64		20,00	39,31
3		π/3	44			22,00		38,10	45,45
4		π/2	52			0,00		52,00	51,74
5		2π/3	46			-23,00		39,84	56,49
6		5π/6	70			-60,62		35,00	58,43
7		π	60			-60,00		0,00	57,04
8		7π/6	48			-41,57		-24,00	52,69
9		4π/3	46			-23,00		-39,84	46,55
10		3π/2	38			0,00		-38,00	40,26
11		5π/3	36			18,00		-31,18	35,51
12		11π/6	35			30,31		-17,5	33,57
Итого		-	552			-66,24		34,42	551,99

Месяцы	y cos 2t	y sin 2t	II yt	y cos 3t	y sin 3t	III yt
			ˆ			ˆ

7	8	9	10	11	12	13
1	37,0	0,00	37,87	37	0	36,04
2	20,0	34,64	39,67	0	40	42,27
3	-22,0	38,10	42,87	-44	0	44,07
4	-52,0	0,00	48,83	0	-52	46,23
5	-23,0	-39,84	56,16	46	0	54,33
6	35,0	-60,62	61,01	0	70	63,61
7	60,0	0,00	59,95	-60	0	61,78
8	24,0	41,57	53,02	0	-48	50,42
9	-23,0	39,84	43,97	46	0	42,14
10	-38,0	0,00	37,35	0	38	39,95
11	-18,0	-31,18	35,18	-36	0	37,01
12	17,5	-30,31	36,15	0	-35	33,55
Итого	17,5	-7,8	552,03	-11	13	551,4

Рассчитаем 1-ю гармонику ряда Фурье

a1 cost

b1 sin t ;

уt

a0 = y

552

;

y cost

66,24

11,04 ;

2 у sint

y sint

34,42

5,74 ;

Первая гармоника:

yt =46-11,04cos t+5,74sin t .

Определим теоретические уровни для 1-й гармоники (таблица 3.2 гр. 6). Значение sin t возьмём из таблицы 3.1

уˆ 0 =46-11,04 1						5,74 0	34,99 ;
уˆ( / 6)	46		11,04 0,866				5,74 0,5	39,31и т.д.
Общая дисперсия
		( у			)2	(37	46)2 (40	46)2 (44 46)2 ... (35 46)2
2				у					101,5 .
у			n					12

Дисперсия 1-й гармоники ряда Фурье

		35
2 (а12 b12 )		( 11,04)2 5,742		77,4 .
1	2		2

Определяем удельный вес 1-й гармоники

d1 1 2

	77,4	0,763, или 76,3%.

	101,5
	101,5

Вычислим параметры 2-й гармоники

уˆt а0		а1 cost b1 sin t a2 cos2t					b2 sin 2t;
		а2	=	у cos2t	17,5	2,91 ;

					6
			6		6
		b2		у sin 2t	7,8	1,3 ;

			6		6
			6		6
2-я гармоника:	yˆt	46 11,04cost			5,74sint		2,91cos2t 1,3sin 2t
2-я гармоника:							.

Определяем теоретические уровни для 2-й гармоники (табл. 3.2 гр.10)

уˆ(0)	46	11,04 1 5,74 0	2,91 1 1,3 0 37,87;
уˆ(	/ 6)	46 11,04 0,866	5,74 0,5	2,91 0,5	1,3 0,866 39,67 и т.д.
Дисперсия 2-й гармоники
		2	(а22 b22 )	2,912 (	1,3)2	5,08 .
		2	2	2		5,08 .
		2

Удельный вес 2-й гармоники

	2
d2	2
d2	2

5,08	0,05,	или 5% .

101,5
101,5

Теоретические уровни для 3-й гармоники (таблица 3.2., гр.13)

a0 a1 cost

b1 sint a2 cos2t

b2 sin 2t

a3 cos3t b3 sin3t ;

уt

а3

у cos3t

1,83

;

у sin3t

2,6 .

3-я гармоника:

46 11,04cost

5,74sint

2,91cos2t 1,3sin 2t 1,83cos3t 19,5sin3t .

уt

Дисперсия 3-й гармоники

2	(a2	b2 ) ( 1,83)2	2,62	5,05 .
	3	3
3	2	2

Удельный вес 3-й гармоники:

d3 5,05 0,0497, или 4,97% 101,5

Определим остаточные дисперсии для выбора лучшего варианта гармоники:

2	( у	уˆ )2	.
		t	.
		t
ост		n
		n

1-я гармоника	2	24,09.
	2
	ост
2-я гармоника	2	= 19,0.
	ост
3-я гармоника	2	=15,04.
	ост

Следовательно, 3-я гармоника наилучшим образом подходит для дисперсионного анализа.

По результатам доли в дисперсии ряда (dn) видно, что наибольшее значение имеет 1-я гармоника (76,3%) с периодом колебания в 1 год.

Задачи для самостоятельной работы

3.1. По данным о производстве электроэнергии в Хабаровском крае за 2000 – 2005 гг. определите абсолютный прирост (базисный и цепной); темп роста (базисный и цепной); темп прироста (базисный и цепной); абсолютное значение 1% прироста; средний уровень ряда динамики; средний абсолютный прирост; средний темп роста; средний темп прироста. Сделайте выводы

Произведено				Год
электроэнергии,
электроэнергии,	2000	2001	2002		2003	2004	2005
млн кВт ч.
млн кВт ч.	8497,5	8417,6	8306,1		8414,8	7949,4	7992,7

3.2. По данным о производстве теплоэнергии Хабаровского края за 2000 – 2005 гг. определите абсолютный прирост (базисный и цепной); темп

роста (базисный и цепной); темп прироста (базисный и цепной); абсолютное значение 1% прироста; средний уровень ряда динамики; средний абсолютный прирост; средний темп роста; средний темп прироста. Сделайте выводы.

Отпущено			Год
теплоэнергии,
теплоэнергии,	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Гкал
Гкал	17,7	17,9	18,7	18,5	18,2	18,0

3.3. По данным о числе браков и числе родившихся рассчитайте по каждому ряду в отдельности: 1) абсолютные (цепные и базисные), средние показатели динамики. Результаты представьте в таблице; 2) нанесите на график динамику рядов. Сделайте выводы.

Показатель						Год

				2000	2001	2002	2003	2004	2005

Число браков				8 905	9 820	10 639	11 509	11 158	11 170

Число родившихся, чел.			12 400		13 615	14 453	15 392	16 049	15 410

3.4. Списочная численность работников						фирмы в 2005 году составила
на 1-е число месяца, чел.:
Январь	– 347	Июль		– 357
Февраль – 350		Август		– 359
Март	– 349	Сентябрь – 351
Апрель – 351		Октябрь		– 352
Май	– 345	Ноябрь		– 359
Июнь	– 349	Декабрь		– 353

Январь 2006 г. – 360 Определите: а) среднемесячную численность работников в первом и

втором полугодиях; б) среднегодовую численность работников фирмы; в) абсолютный прирост численности работников фирмы во втором полугодии по сравнению с первым.

3.5.Списочная численность работников фирмы в 2005 г. составила: на 1 января – 530 человек, на 1 марта – 570, на 1 июня – 520, на 1 сентября – 430 человек, а на 1 января 2006 г. – 550 человек. Вычислите среднегодовую численность работников фирмы за 2005 г.

3.6.Остатки вкладов населения в сбербанках города в 2005 г. характеризуются следующими данными на 1-е число месяца, тыс.руб.

январь	февраль	май	июль	август	октябрь	январь 2006

910,5	920,0	915,4	920,8	917,0	921,3	925,9

Определите среднемесячные остатки вкладов населения за год.

3.7. По имеющимся данным о золотовалютных резервах Центрального банка РФ рассчитайте абсолютный прирост (базисный и цепной); темп роста (базисный и цепной); темп прироста (базисный и цепной); абсолютное значение 1% прироста; средний уровень ряда динамики; средний абсолютный прирост; средний темп роста; средний темп прироста. Сделайте выводы.

Дата	В млн долларов США
1.01.07	8 164
1.02.07	8 325
1.03.07	8 665
1.04.07	8 496
1.05.07	8 707
1.06.07	8 458
1.07.07	8 442
1.08.07	8672
1.09.07	8 929
1.10.07	10 114
1.11.07	10 954

3.8. До 2006 г. в состав производственного объединения входили 20 предприятий. В 2006 г. в него влились ещё 4 предприятия и оно стало объединять 24 предприятия. Произведите смыкание ряда динамики, используя следующие данные:

	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000
Реализованная
продукция по
20 предприя-	448,7	462,8	465,8	491,6	-	-	-	-	-
тиям, млн руб.
Реализованная
продукция по
24 предприя-	-	-	-	559,5	578,7	575,3	570,5	560,0	562,6
тиям, млн руб.

3.9. Имеются следующие данные о поголовье коров в хозяйствах всех категорий области, тыс. голов:

Даты	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006
На 1
января	37,6	38,1	40,1	42,5	-	-	-	-	-	-
На 1
января	-	-	-	44,7	44,8	45,0	45,2	46,0	46,1	46,0

Установите причину несопоставимости уровней ряда динамики. Приведите уровни ряда к сопоставимому виду.

3.10. По имеющимся данным о производстве хлопка-волокна рассчитайте недостающие показатели

Год	млн т	Цепной показатель динамики			Абсолютное
					значение 1 %
		абсолютный при-	темп рос-	темп при-	значение 1 %
		рост, млн т	та, %	роста %	прироста, млн т

1999	2,8	-	-	-	-

2000		-0,2

2001			96,2

2002				4,0

2003				0,0

2004

2005	2,8				0,027

2006			107,1

3.11. По данным о добыче нефти рассчитайте недостающие показатели:

Год	млн т	Цепной показатель динамики			Абсолютное
					значение 1%
		абсолютный при-	темп	темп при-	значение 1%
		рост, млн т	роста, %	роста, %	прироста, млн т

2001	613	-	-	-

2002		3

2003				0,0

2004			97,1

2005

2006	624				6,15

3.12. Имеются следующие данные о темпах роста производительности труда на предприятии (по сравнению с 1996 г.): 2001 – 106,4%; 2006 г. – 108,5%. Определите среднегодовые темпы роста и прироста производительности труда: а) за 2001 – 2006 гг.; б) за 1996 – 2001 гг.; в) за

1996 – 2006 гг.

3.13. Темпы роста объёма продукции промышленности региона по сравнению с 1996 г. составили в 2001 г. 104,1%, в 2006 – 102,2%. Определите средний годовой темп роста и прироста объёма производства продукции промышленности: а) за 2001 – 2006гг.; б) за 1996 – 2001гг.; в)

за 1996 – 2006 гг.

3.14. По приведённым данным о базисных темпах прироста населения

(%) одного из регионов России рассчитайте цепные темпы роста и прироста, а также среднегодовой темп прироста за период с 1998 по 2006 годы.

1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006

0,0	5,1	7,2	8,1	8,9	9,8	10,2	10,2	10,1

3.15. По приведённым данным о цепных темпах прироста населения (%), одного из регионов России рассчитайте базисные темпы роста и

прироста, а также среднегодовой темп роста за период с 1991 по 1999 годы.

1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006

Х	+2,1	+2,3	+2,9	+2,6	+1,9	+1,3	+0,4	-0,9

3.16. Объём продукции фирмы в 2000 г. по сравнению с 1999 г. возрос на 2%; в 2001 г. он составил 105% по отношению к объёму 2000 г., а в 2002 г. был в 1,2 раза больше объёма 1999 г. В 2003 г. фирма выпустила продукции на сумму: 25 млн руб., что на 10% больше, чем в 2002; в 2004 г. – 30,3 млн руб., в 2005 г. – 37 млн руб. и в 2006 г. – 36 млн руб. Определите: а) цепные темпы роста; б) базисные темпы прироста по отношению к 1991 г.; в) абсолютные уровни производства продукции за все годы; г) среднегодовой темп роста и прироста за 1992 – 1999 гг.

3.17.Абсолютное значение 1% прироста валового сбора зерновых в фермерском хозяйстве составило в 2006 г. по сравнению 2001 г. 245 ц, а весь абсолютный прирост валового сбора зерновых за тот же период 3 680 ц. Определите средний годовой абсолютный прирост и средний годовой темп роста валового сбора зерновых в фермерском хозяйстве.

3.18.По данным о среднегодовой численности экономически активного населения Хабаровского края для изучения общей тенденции произведите:

1)преобразование исходных данных методом укрупнения интервалов; 2) сглаживание уровней с помощью трёх- и четырёхчленной скользящей средней; 3) выравнивание ряда динамики по прямой. Сделайте вывод о характере общей тенденции данных о среднегодовой численности экономически активного населения Хабаровского края.

Год	Среднегодовая численность экономически активного
	населения, тыс. чел

1994	812,4

1995	767,4

1996	752,3

	42

1997	741,4

1998	750,1

1999	730,8

2000	759,2

2001	768,3

2002	758,1

2003	748,3

2004	757,0

2005	767,6

2006	764,7

3.19.Используя данные задачи 3.18, рассчитайте показатели колеблемости: 1) размах колебаний; 2) среднее линейное от тренда; 3) среднеквадратическое отклонение от тренда; 4) относительный размах колебаний; 5) относительное отклонение; 6) коэффициент колеблемости;

7)используя метод «поворотных точек» Кендэла, определите тип колеблемости; 8) с помощью коэффициента автокорреляции установите тип колеблемости. Сделайте выводы.

3.20.Имеются следующие данные об отправлении грузов железнодорожным транспортом общего пользования в регионе, млн т:

Месяц		Год

	2004	2005	2006

Январь	142	114	105

Февраль	143	108	110

Март	156	123	120

Апрель	152	122	123

Май	152	120	125

Июнь	138	115	128

Июль	131	114	141

Август	127	111	146

Сентябрь	125	108	150

Октябрь	128	111	157

Ноябрь	119	100	160

Декабрь	120	100	180

Для изучения общей тенденции данных об отправлении грузов железнодорожного транспорта произведите преобразование исходных данных: 1) путём укрупнения периодов времени: а) в квартальные уровни; б) в годовые уровни; 2) сглаживание квартальных уровней отправления грузов с помощью скользящей средней (трёх- и четырёхчленной); 3) выравнивание ряда динамики по прямой. Сделайте выводы о характере общей тенденции данных об отправлении грузов.

3.21. Имеются данные по строительной фирмы об объёме выполненных работ по месяцам 2004 – 2006 гг. по сметной стоимости, млн руб.

Месяц		Год

	2004	2005	2006

Январь	1,6	2,0	2,2

Февраль	1,8	2,1	2,4

Март	2,2	2,4	2,8

Апрель	2,4	2,6	2,9

Май	2,6	2,8	3,1

Июнь	2,8	3,0	3,2

Июль	3,2	3,3	3,4

Август	3,3	3,5	3,6

Сентябрь	3,2	3,3	3,5

Октябрь	2,9	3,1	3,4

Ноябрь	2,7	2,7	3,3

Декабрь	2,5	2,5	3,2

Для анализа внутригодовой динамики объёма выполненных работ в строительстве рассчитайте индекс сезонности: 1) методом простых средних; 2) методом помесячных отношений.

3.24. Используя данные задачи 3.20, произведите анализ внутригодовой динамики отправления грузов железнодорожным транспортом с помощью метода 12-членной скользящей средней. Изобразите график сезонной волны.

3.25. По данным о реализации сжиженного газа рассчитайте первую и вторую гармоники ряда Фурье и определите наиболее подходящую гармонику с помощью коэффициента аппроксимации. Сделайте выводы.

Месяц	Объём реализации сжиженного газа, м3

Январь	186,1

Февраль	157,9

Март	188,7

Апрель	243,5

Май	275,4

Июнь	284,4

Июль	274,5

Август	304,4

Сентябрь	307,8

Октябрь	319,6

Ноябрь	283,6

Декабрь	305,9

3.26. Имеются данные о заболеваемости острым фарингитом и ангиной по заводу в 2006 г.

	(дни на 100 работников)

Месяц	Острый фарингит и ангина

Январь	3,22

Февраль	2,49

Март	1,82

Апрель	3,18

Май	1,46

Июнь	1,87

Июль	2,01

Август	2,39

Сентябрь	2,82

Октябрь	3,76

Ноябрь	3,37

Декабрь	3,51

Рассчитайте 1, 2, 3, 4-ю гармоники ряда Фурье и проведите гармонический анализ. Сделайте вывод.

Тесты

1.Численность населения Хабаровского края в 2006 г. составила 1 476,3 тыс. чел., абсолютный прирост по сравнению с 2005 г. составил 9,5 тыс. чел., темп роста – 101,12%. Определите показатель абсолютного значения одного процента прироста:

а) –0,64;	в) 8,48;
б) –9,4;	г) –14,6.

2. Ряд динамики характеризует:

а) изменение значений признака во времени; б) факторы изменения показателя на определенную дату или за определённый период;

в) определённое значение варьирующего признака в совокупности; г) структуру совокупности по какому-либо признаку.

3. Средний уровень интервального ряда динамики с равными временными интервалами определяется по формуле средней:

а) хронологической;	г) гармонической простой;
б) арифметической простой;	д) гармонической взвешенной.
в) арифметической взвешенной;

4. Для выявления основной тенденции развития явления используется

метод:
а) индексный;	г) укрупнения интервалов;
б) балансовый;	д) аналитического выравнивания.
в) скользящей средней;

5. В 2006 г. абсолютное значение 1% прироста прибыли составило 50 тыс. руб. Учитывая, что в сравнении с 2005 г. абсолютный прирост прибыли составил 1500 тыс. руб., темп прироста прибыли составил (в %):

а) 30,0; в) 25,0. б) 13,0;

6.Базисные темпы роста могут быть преобразованы в цепные путём: а) перемножения базисных темпов роста друг на друга; б) делением базисных темпов роста друг на друга;

в) вычитанием базисных темпов роста последующих из предыдущих.

7.Средняя заработная плата в регионе в январе месяце составила 3 100 руб., а в июне – на 20% больше. Абсолютный прирост заработной платы в среднем за месяц равен:

а) 4%;	в) 120 руб.;
б) 124 руб.;	г) 620 руб.

8. Динамический ряд, характеризующий ежедневное поступление

дневной выручки в кассу торговой фирмы, является:
а) интервальным;		б) моментным.
9. Производство продукции на предприятии, тыс. штук
	Год	2003	2004	2005	2006
	тыс. шт.	34,1	33,3	32,3	32,3
Средний уровень динамического ряда равен:
а) 32,9;	в) 33,3.
б) 33,0;

10. На основе данных об объёме отгруженной продукции предприятия за 9 месяцев с начала года построено уравнение тренда: у = 8,19 + 1,11t, где t = 1,2,3… Методом экстраполяции определите прогнозное значение объёма отгруженной продукции за декабрь текущего года:

а) 11,52 млн руб.; в) иное. б) 21,51 млн руб.;

1, 2....,.,

tˆ1,2,...,к

tˆ1,2,k

Тема 4. Методы измерения взаимосвязей

Методические указания

Множественная регрессия

Представляет собой изучение связи между тремя и более связанными признаками. При исследовании зависимостей методами множественной регрессии требуется определить аналитическое выражение связи между результативным (у) и факторными признаками (х1, х2 …, хк), т.е. найти функцию

уˆх1 х2, , ,. хк f (x1, х2 ,..., хк ) .

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

уˆ х1,х2,…,хк= а 0+ а 1х1+ а 2х2+…+ а кхк,

где уˆ х1,х2,…,хк – теоретические значения результативного признака;

х1,х2,…,хк– факторные признаки; а 0, а 1, а 2,…, а к – параметры модели.

Параметры модели определяются с помощью системы нормальных уравнений

na0 a1 x1 a2 x2 ... ai xi ...ak xk y

а0	х1	а1 х1		а2	х2	х1 ...		аi	xk ...		ak xk yx1
………………………………………………
………………………………………………
a	x	a x	a	x	...	a	x	...	a	x2	yx
0	k	1 k	2	k		i	k		k	k	k

Одним из способов построения множественных уравнений регрессии является построение модели связи в стандартизованном масштабе. Она применяется в трёх случаях, когда факторные признаки различны по своей сущности и имеют различные единицы измерения.

Уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе:

1t1 2t2 ... k tk ,

где t1, t2, …, tк – стандартизованные значения х1, х2, …, хk;

– среднее значение стандартизованной переменной соответст-

вующего результативного признака, полученного по уравнению регрессии; k – стандартизованные коэффициенты регрессии:

	xi ai	xi	,

		y
где ai	– коэффициент регрессии	соответствующего факторного
признака;
xi	– среднеквадратическое отклонение факторного признака хi;
y	– среднеквадратическое отклонение результативного признака.

Система нормальных уравнений для расчета параметров уравнения

регрессии в стандартизованном масштабе:
ryx	=β1+ β2 rx2 y1 +…+ βk rx1xk
	1
ryx 2		=β1 rx x 2 + β2+…+ β rx 2 k
		1
…………………………….
ryxk		=β1 rx xk + β2	rx xk +…+ βk
		1	1

От уравнения в стандартизованном масштабе можно перейти к уравнению в натуральном масштабе. Коэффициенты аi получают из соотношения

а		y	,
а	xi		,
i	xi
		xi

а свободный член a0 определяют из выражения:

a0		a1		a2		2	... ak		k .
	y		x		x			x
В трёхфакторной регрессионной модели
		yˆ = a0		a1x1			a2 x2 .

параметры уравнения можно рассчитать, используя парные коэффициенты регрессии исходя из того, что

	ryx1		ryx 2 rx1x 2		,
1	1		r2
	1		r2
			x1x 2
		ryx 2	ryx1	rx1x 2		.
2	1		r2
	1		r2
			x1x 2

Следовательно, параметры a1 и a2 можно найти по формулам

а	ryx1		ryx 2 rx1x 2		y	;
1	1		r 2
					x1
			x1x 2
a2		ryx 2	ryx1	rx1x 2	y		;
	1		r 2
					x 2
			x1x 2
a0		y a1 x1		a2 x2 .

Значимость коэффициентов регрессии определяется с помощью t- критерия Стьюдента:

			tфакт	аi	,


				2
				2
				ai
где	2	– дисперсия коэффициента регрессии.
	ai
Параметр			признается статистически		значимым, если tфакт>tтабл
(α; f	n	k	1),

где k – число факторных признаков (х1,х2,…,хк) в уравнении;

n– число наблюдений;

α– уровень значимости;

df – число степеней свободы

или

1 R

где y2 – дисперсия результативного признака

2 .

R – величина множественного коэффициента корреляции.

Ry1x1x 2

yx1

yx 2

yx1

yx 2

x1 x 2

;

r 2

x1x 2

yx1

;

yx1

yx2

;

yx 2

x 2

x1 x 2

x1x 2

x 2

Проверка адекватности регрессионной модели осуществляется на основе F – критерия Фишера.

			1		уˆ	2
						2
						х1х 2...хк
		к		1		х1х 2...хк					.
Fфакт.		к		1
Fфакт.	1			( y			yˆ			)2
	1
								x1x 2...xk

	n k		1		i
	n k		1
Если Fфакт>Fтабл ( ;df1 k 1;df2				n k			1),		то модель признаётся
статистически значимой.

Интерпретация моделей регрессии осуществляется на основе следующих показателей (таблица 4.1).

Таблица 4.1 − Показатели оценки факторных признаков, входящих в регрессионную модель

Название

Формула расчёта

Экономический смысл

показателя

Частный

Показывает, на сколько

коэффициент

% в среднем

где

– среднее значение

эластичности

изменяется значение

соответствующего

результативного приз-

факторного признака;

нака (

) с изменением

– среднее значение

факторного (хi) на 1%

результативного признака;

при фиксированном

аi – коэффициент

положении (на среднем

регрессии при

уровне) всех прочих

соответствующем

факторов, входящих в

факторном признаке

модель

Стандартизованный

хi

Определяет меру

коэффициент

влияния вариации

регрессии

где аi

– коэффициент

фактора хi на вариацию

регрессии

результативного

соответствующего

признака у при

факторного признака;

отвлечении от

– среднеквадратическое

сопутствующей вариа-

ции других факторов,

отклонение факторного

входящих в уравнение

признака хi ;

– среднеквадратическое

	отклонение
	результативного признака

Частный	dxi = ryxi			·βxi,					Показывает, на сколько
коэффициент	где ryxi – парный								процентов вариация ре-
детерминации	коэффициент между								зультативного признака
	результативным и i-м								объясняется вариацией
	факторным признаком								i -го признака,
									входящего в модель

Дельта			ryxi			xi		,	Показывает, на сколько
коэффициент	xi		R2					,	% вариация
	xi

	где R2 – множественный								результативного
									результативного
	коэффициент								признака объясняется
									признака объясняется
	детерминации								вариацией каждого
									вариацией каждого
									признака, входящего в
									уравнение

Q- коэффициент	Qxy Эxi			Vxi ,					Показывает степень
					xi			–	влияния каждого
	где V				xi		100
	где V	xi					100
		xi		x					факторного признака
				x

	коэффициент вариации								на моделируемый
									на моделируемый
	соответствующего
	факторного признака

Для измерения тесноты связи при мнофакторной корреляционной зависимости вычисляется множественный коэффициент корреляции (таблица 4.2).

Таблица 4.2 − Множественный коэффициент корреляции

Название показателя

Формула расчёта

Примечание

Множественный

0 R 1 оценивает

ост

коэффициент

тесноту связи

корреляции

( у у)

результата со всем

где

ост

комплексом ис-

остаточная дисперсия;

следуемых факторов

( y

– общая

дисперсия результативного

признака

Множественный

1 оценивает

2ryx1

ryx 2

rx1x2

Ryx1x2

ryx1

ryx 2

коэффициент

тесноту связи

x1x2

корреляции

результата со всем

(рекуррентная

комплексом ис-

формула)

следуемых факторов

Множественный

1 оценивает

ryxi

коэффициент

тесноту связи

корреляции в

результата со всем

стандартизированном

комплексом ис-

масштабе

следуемых факторов

Множественный

Корректировка R не

R2 )

n 1

коэффициент

скор

производится при

корреляции

где k – число факторных

условии, если

скорректированный

признаков в уравнении;

n – число наблюдений

Проверка значимости множественного коэффициента корреляции

осуществляется на основе F- критерия Фишера:

Fфакт

2 )

Если Fфакт>Fтабл

( ;df1

1;df2

1),

то

коэффициент

корреляции признается статистически значимым.

Коэффициент, в котором исключается влияние только одного факторного признака, называется коэффициентом частной корреляции. В случае зависимости результативного признака (у) от двух факторных признаков (х1 и х2) коэффициенты частной корреляции вычисляются по следующим формулам:

rух1

ryx1

rx1x 2

ryx 2

;

х2

)(1

)

x 2 y

x1x 2

rух

ryx 2

rx1x2

ryx1

)(1

)

x1y

x1x2

Для общего случая частные коэффициенты корреляции определяются по формуле

	R2	R2
r	k	k 1	;

yxk x1x 2...xk 1	1	R2

		k

где Rk2 – коэффициент детерминации результативного признака у с комплексом факторных признаков х1, х2, …, хк-1, хк;

R2k-1 – коэффициент детерминации результативного признака с комплексом признаков х1, х2, …, хк-1.

Проверка значимости для частных коэффициентов корреляции осуществляется на основе t-критерия Стьюдента.

		r			,
tфакт		r		n k


	1
	1		r2

где k – порядок коэффициента частной корреляции.

Если tфакт>tтабл ( ;df n k ), то коэффициент признаётся статистически значимым.

Задачи для самостоятельной работы

4.1. Имеются данные о средней ожидаемой продолжительности жизни и потреблении мяса на душу населения по 20 странам мира.

№	Страна	Средняя ожидаемая	Потребление мяса,
п/п		продолжительность	кг/чел. в год
		жизни, лет

1	Австрия	77,9	95

2	Австралия	78,2	104

3	Белоруссия	68,0	59

4	Великобритания	77,2	72

5	Венгрия	70,9	59

6	Германия	77,2	86

7	Дания	75,7	09

8	Италия	78,2	79

9	Казахстан	67,6	50

10	Канада	79,0	98

11	Латвия	68,4	56

12	Нидерланды	77,0	88

			54

13	Россия	66,6		48

14	Румыния	69,9		43

15	США	76,7		114

16	Украина	68,8		37

17	Финляндия	76,8		63

18	Франция	78,1		91

19	Чехия	73,9		70

20	Швейцария	78,6		56

1.Проверьте представленную информацию на однородность и нормальность распределения.

2.По этим данным: а) найдите уравнение линейной регрессии средней ожидаемой продолжительности жизни от потребление мяса; б) проверьте типичность параметров уравнения регрессии; в) дайте экономическую интерпретацию параметра а1 в найденном уравнении регрессии; г) рассчитайте линейный коэффициент корреляции; д) проверьте значимость линейного коэффициента корреляции с помощью t-критерия Стьюдента

( =0,05); е) рассчитайте индекс корреляции; ж) проверьте значимость индекса корреляции с помощью F-критерия Фишера ( =0,05); з) сравните данные линейного коэффициента и индекса корреляции. Объясните причины расхождения полученных результатов; и) рассчитайте доверительные интервалы линейного коэффициента корреляции.

3.Сделайте соответствующие выводы.

4.2.По следующим данным постройте линейное уравнение регрессии, вычислите линейный коэффициент корреляции:

xy =100; x =10; у =8; x2 =136; y2 =100; a0 = 2,4.

4.3. Используя следующие данные, определите параметры линейного уравнения регрессии ( а0 и а1): х = 20; у = 10; Эх = 0,8.

4.4. По следующим данным постройте линейное уравнение регрессии, вычислите линейный коэффициент корреляции:

xy =120; x =10; y =10; x2 =149; y2 = 125; Эх = 0,408.

4.5.Имея следующие данные, постройте линейное уравнение регрессии: а0 = 3,5; rxy = 0,85; σ2Y = 36; σ2Х = 49.

4.6.По следующим данным рассчитайте коэффициент корреляции и сформируйте выводы:

х = 70; у = 50; ху = 320; х2 = 500; у2 = 500; n = 10.

4.7. Для выявления зависмости производительности труда рабочих, выполняющих в цехе одинаковую операцию по обработке детали № 312, от стажа их работы был найден линейный коэффициент корреляции, равный 0,80.

Кроме того, известны такие данные:

1)	средний стаж работы рабочих − х = 5 лет;
2)	среднее квадратическое отклонение по стажу − х = 2 года;

3)среднее квадратическое отклонение по производительности труда −

у= 4,4 шт. (число обработанных деталей);

4)коэффициент вариации по производительности труда − v y = 40,0%.

Найти аналитическое уравнение связи, характеризующее зависимость производительности труда рабочих от стажа их работы.

4.8. Для определения степени влияния стоимости основного капитала на выпуск продукции по 20 предприятиям рассчитаны следующие показатели:

а) линейный коэффициент корреляции, равный 0,8; б) эмпирическое корреляционное отношение, равное 0,84.

Возможно ли в качестве уравнения связи использовать функцию вида

уˆ х а0 а1 х ?

4.9. Для оценки степени тесноты связи между уровнем выработки рабочих и стажем их непрерывной работы была рассчитана величина корреляционного отношения, оказавшаяся равной 0,9 (объём выборки равен 100).

Определить величину средней из групповых дисперсий, если известно, что общая дисперсия выработки рабочих составляет 6,6.

4.10. По 20 однородным предприятиям была получена модель, отражающая зависимость выпуска продукции ( у ) за месяц от размера основного капитала ( х ): уˆ х 12,0 0,5х .

Кроме того, по этой совокупности предприятий известны следующие данные:

а) средняя стоимость основного капитала на одно предприятие − х = 12,0 млн руб.;

б) средний размер выпуска продукции на одно предприятие − у = 18,0 млн руб.;

в) среднеквадрактическое отклонение по стоимости основного капитала

−х = 3,5 млн руб.;

г) среднеквадратическое отклонение по размеру выпуска продукции − у = 2,0 млн руб.

Определите степень тесноты связи между размером выпуска продукции и стоимостью основного капитала, учитывая форму связи и используя для этого необходимые данные, приведенные выше.

4.11. Представлена характеристика 10 производственных предприятий

№ пред-	Рентабе-	Производи-	Средний	Использова-	Среднее
приятия	льность	тельность	возраст	ние производ-	число
		труда, тыс.	оборудова-	ственных	рабочих,
		ден. ед. на	ния, лет	мощностей,	чел.
		1 работника		%

1	7	7	20	74	250

2	8	10	19	75	395

3	7	9	21	78	468

4	9	11	17	92	120

5	9	11	16	80	174

6	8	11	18	80	800

7	11	13	15	85	382

8	11	14	14	87	505

9	16	17	10	77	435

10	15	18	11	95	760

По этим данным: 1) постройте уравнение линейной регрессии между рентабельностью и производительностью труда; 2) проверьте типичность параметров уравнения регрессии; 3) дайте экономическую интерпретацию параметра а1 в найденном уравнении; 4) рассчитайте линейный коэффициент корреляции и проверьте его значимость с помощью t- критерия Стьюдента (= 0,05); 5) рассчитайте индекс корреляции и проверьте его значимость с помощью F-критерия Фишера ( = 0,05); 6) сравните данные линейного коэффициента и индекса корреляции. Объясните причины расхождения полученных результатов; 7) рассчитайте доверительные интервалы линейного коэффициента корреляции; 8) дайте экономическую интерпретацию полученного уравнения. Сделайте соответствующие выводы.

4.12. По данным задачи 4.11 1) постройте уравнение линейной регрессии между рентабельностью и

средним возрастом оборудования; 2) проверьте типичность параметров уравнения регрессии; 3) дайте экономическую интерпретацию параметра а1 в найденном уравнении; 4) рассчитайте линейный коэффициент корреляции и проверить его значимость с помощью t-критерия Стьюдента ( = 0,05); 5) рассчитайте индекс корреляции и проверьте его значимость с помощью F-критерия Фишера ( = 0,05); 6) сравните данные линейного коэффициента и индекса корреляции. Объясните причины расхождения полученных результатов; 7) рассчитайте доверительные интервалы линейного коэффициента корреляции; 8) дайте экономическую интерпретацию полученного уравнения. Сделайте соответствующие выводы.

4.13. По данным задачи 4.11 1. Постройте линейное трёхфакторное уравнение множественной

регрессии между использованием производственных мощностей, средним числом рабочих и рентабельностью.

2. Оцените значимость с помощью t-критерия Стьюдента ( = 0,05)

	58
3. Проверьте	адекватность модели с помощью F-критерия Фишера
( = 0,05);
4. Проведите	экономическую интерпретацию полученной модели с

помощью: а) частных коэффициентов эластичности ; б) стандартизованных коэффициентов регрессии ; в) частных коэффициентов детерминации; 5) рассчитайте множественный коэффициент и проверить его значимость на основе F-критерия Фишера ( = 0,05); 6) рассчитайте частные коэффициенты корреляции и проверьте их значимость, на основе t- критерия Стьюдента ( = 0,05).

Сделайте выводы.

4.14. По данным задачи 4.11 1. Постройте линейное трехфакторное уравнение множественной

регрессии в стандартизованном масштабе между производительностью труда, средним возрастом оборудования и рентабельностью. Затем перейдите к натуральному масштабу. Результативный признак выбирайте самостоятельно.

2. Оцените значимость с помощью t-критерия Стьюдента ( = 0,05).

3. Проверьте адекватность модели с помощью F-критерия Фишера

( = 0,05).

4.Проведите экономическую интерпретацию полученной модели с помощью: а) частных коэффициентов эластичности; б) стандартизованных коэффициентов регрессии; в) частных коэффициентов детерминации.

5.Рассчитайте множественный коэффициент корреляции и проверить

его значимость на основе F-критерия Фишера ( = 0,05).

6. Рассчитайте частные коэффициенты корреляции и проверьте из значимость, на основе t-критерия Стьюдента ( = 0,05).

Сделайте выводы.

4.15. Имеются данные:

№	Объём	Основные фонды и	Фонд заработной
предприятия	продукции, млн	оборотные средства,	платы, млн руб.
	руб.	млн руб.

1	24,6	3,2	2,3

2	37,4	4,1	1,7

3	45,4	2,2	0,9

4	46,7	1,6	2,0

5	50,1	4,4	2,7

6	51,3	10,5	3,7

7	55,0	2,6	1,0

8	66,5	5,7	2,0

9	68,3	9,5	2,1

10	70,8	5,0	1,6

11	86,1	2,8	2,0

12	96,9	8,1	2,3

1.Постройте уравнение корреляционной связи (связь линейная) между основными фондами и оборотными средствами, фондом заработной платы

иобъёмом продукции, используя для решения систему нормальных уравнений.

2.Рассчитайте параметры уравнения, используя линейные коэффициенты корреляции.

3.	Проверьте	значимость	модели с помощью F-критерия	Фишера
( =0,05).
4.	Рассчитайте	частные	коэффициенты эластичности,	частные

коэффициенты детерминации; дельта коэффициенты; Q-коэффициенты; осуществите оценку доверительных границ множественного коэффициента корреляции.

Сделать выводы.

4.16. По следующим данным:

х1

х2

х3

у	1	0,648	-0,333	0,823

х1		1	-0,038	0,462
х2			1	-0,194

х3				1

			60
у = 9 679;	х1		= 3 492; Σх12 = 3 561 840;
х2 = 865,5;	х3	= 56 315;
n = 16;	Σх22	=173 100;
Σх32 =844 725 000;			Σу2 = 7 374 200.
Постройте:	1) систему нормальных уравнений в стандартизованном

масштабе; 2) уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе; 3) уравнение множественной регрессии в натуральном масштабе. Сделайте выводы.

	4.17. Имеются		следующие	данные:	ryx	=	0,685;	ryx	=	-0,357;
					1				2
r	= -0,044;	y 2 =	412 082,31;	y = 604,9;	х 2	= 48 753, 875;			х	= 218,2;
x x	2				1				1
1	2
х22	= 3 030,737;
	По этим	данным постройте		множественное			уравнение	регрессии и

рассчитайте множественный коэффициент корреляции. Сделайте выводы.

	4.18. Имеются следующие данные:
х	=1 992; х			2	=1 380;	у =154,6;			х 2 =204 130;		х 2	=103 232;
1				2					1		2
х х		2	=142 480;		х у =1 6023,3; х		2	у	Х2	у =11 322,3;		у 2 = 1 288,76; n =20.
1		2			1		2		Х2

По этим данным постройте: 1) уравнение множественной регрессии; 2) матрицу парных коэффициентов корреляции; 3) рассчитайте множественный коэффициент корреляции: а) рекуррентную формулу; б) с помощью -коэффициентов; в) проверьте значимость полученных характеристик с помощью F-критерия Фишера с уровнем значимости

= 0,05; 4) рассчитайте частные коэффициенты корреляции, проверить их значимость с помощью t-критерия Стьюдента.

4.19. Линейные коэффициенты корреляции между процентом выполнения норм выработки ( y) , квалификацией (x1 ) и стажем работы предприятия (х2) оказались равными: ryx1 = 0,587; ryx2 = 0,348; rx1x2 = 0,108.

Определите: 1) совокупный коэффициент корреляции между процентом выполнения норм выработки и двумя определяющими его факторами (квалификацией и стажем работы рабочих); 2) частные коэффициенты

корреляции между: а) процент выполнения норм выработки и квалификацией рабочих; б) процент выполнения норм выработки и стажем работы рабочих; 3) совокупный и частный коэффициент детерминации. Сделайте выводы из результатов произведенных расчётов.

4.20. Коэффициенты частной детерминации результативного признака по трём его факторам составили: 0,22; 0,29 и 0,32. Соответственно β – коэффициента – 0,31; 0,43; 0,39. Определите: а) частные и совокупный коэффициенты корреляции; б) совокупный коэффициент детерминации. Произведите экономический анализ результатов решения, сформируйте выводы, характеризующие меры влияния вариации каждого из факторов на вариацию результативного признака

Тесты

1. Оценка значимости параметров уравнения регрессии осуществляется

на основе:
а) t-критерий Стьюдента;	в) средней квадратической ошибки;
б) F-критерий Фишера;	г) средней ошибки аппроксимации.

2. Коэффициент детерминации между уровнем заработной платы рабочих и средней выработкой составил 0,94. Теснота связи между указанными признаками:

а) тесная;	в) заметная;
б) умеренная;	г) слабая.

3. Пределы изменения парного коэффициента корреляции: а) от -1 до 0 в) от 0 до 1 б) от -1 до 1

4. Метод, с помощью которого рассчитываются значения параметров уравнения регрессии:

а) метод наименьших квадратов;

б) метод параллельных рядов; в) метод аналитической группировки;

г) метод смыкания рядов динамики.

5.Связь между двумя признаками характеризуется линейным уравнением регрессии:

y = 0,68 + 0,02х

Коэффициент регрессии показывает, что: а) связь между признаками прямая; б) связь между признаками обратная;

в) с увеличением признака «х» на единицу, признак «у» в среднем уменьшится на 0,02; г) с увеличением признака «х» на единицу, признак «у» в среднем увеличится на 0,02;

6.Индекс корреляции служит для оценки тесноты связи:

а) при линейной связи;	в) при любой зависимости.
б) при нелинейной связи;

7.Множественный коэффициент корреляции используется для оценки тесноты связи:

а) между результативным и всеми факторными признаками; б) между результативным и одним из факторных признаков при элиминировании воздействия всех прочих факторов; в) между всеми факторными признаками.

8.Частный коэффициент корреляции используется для оценки тесноты связи:

а) интенсивности развития изучаемых процессов; б) между двумя факторными признаками;

в) между результативным и одним из факторных признаков при элиминировании воздействия всех прочих факторов.

9. Коэффициент эластичности показывает:

а) на сколько в среднем изменится «У» при изменении «Х» на единицу собственного измерения; б) долю вариации «У», обусловленную вариацией «Х»;

в) на сколько процентов в среднем изменится «У» при изменении «Х» на

1%.

10. Линейный коэффициент корреляции	r 0,2 свидетельствует о
наличии:
а) средней обратной зависимости;	в) отсутствии зависимости.
б) слабой обратной зависимости;

Задания для лабораторных работ

Задание 1 (варианты 1 – 6). По приведённым данным:

1.Постройте графики эмпирических данных (линейные, секторные, гистограммы) в ППП Excel. Сделайте выводы.

2.Рассчитайте все описательные статистики: среднюю, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, моду, медиану, асимметрию, эксцесс. Расчёты произведите с использованием ППП Excel и Statgrafics. Сделайте выводы.

3.Проведите типологическую группировку городов и районов Хабаровского края, выделив три группы (низкий уровень развития, средний и высокий). Постройте секторную диаграмму в ППП Excel.

Задание 2 (варианты 7, 8). По приведённым данным в ППП Excel и Statgrafics:

1. Определите параметры однофакторных уравнений зависимостей результативного признака от уровней факторных показателей. Проверьте параметры на типичность и оцените качество построенных моделей построить графики.

2.Выберите зависимые переменные, построив матрицу парных коэффициентов и определив мультиколлинеарные факторы, проверьте выбранные переменные на значимость с помощью t-критерия Стьюдента.

3.Постройте уравнение множественной регрессии. Проверьте параметры уравнения на типичность на основе t-критерия Стьюдента и оцените роль каждого фактора в изменения результативного показателя с

помощью коэффициентов регрессии, коэффициентов эластичности, - коэффициентов, - коэффициентов. Рассчитайте частные коэффициенты корреляции и проверьте их значимость по t-критерия Стьюдента.

4. Оцените качество множественной корреляционно-регрессионной модели с помощью F - критерия Фишера. Сделайте выводы по модели.

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.2022909.41 Кб75042.pdf
#
13.11.2022917.36 Кб35043.pdf
#
13.11.2022918.59 Кб35044.pdf
#
13.11.2022919.09 Кб15045.pdf
#
13.11.2022919.33 Кб25046.pdf
#
13.11.2022919.52 Кб75047.pdf
#
13.11.2022919.8 Кб15048.pdf
#
13.11.2022920.85 Кб175049.pdf
#
13.11.2022921.31 Кб165050.pdf
#
13.11.2022922.54 Кб175051.pdf
#
13.11.2022922.85 Кб105052.PDF