4747

Замечание 1. График функции

f0

x

1

строится на полуоси

0;

,

по-

x

скольку

f0 0 не определено. Соответственно строятся и все последующие гра-

фики, например

f2

x

– на

2;

,

f12 x

– на

1;

, и т.п.

ЭП2. Постройте графики при помощи элементарных преобразований:

1) а) y x2

2x 1 ;

б) y x2

4x 4 ;

в) y x2

6x 9 ;

2) а) y x2

2x 2 ;

б) y x 2

4x 3 ;

в) y x 2

6x 5 ;

3) а) y x 2

2x ;

б) y 2x 2

4x 2 ;

в) y 3x 2

6x ;

4) а) y 2x2

4x 5; б) y 2x 2

4x 4 ;

в) y 2x2

8x 5 ;

5) а) y

x2

2x 1 ;

б) y

x2

4x 4 ;

в) y

x 2

6x 9 ;

6) а) y 2x x 2

3 ;

б) y 4x x2

1 ;

в) y 6x x2

7 ;

7) а) y 4x 2x2

1;

б) y 4 2x 2

4x ;

в) y 8 x2

6x .

Пример 1. Пусть y

2x2

4x

5. Поскольку 2x2

4x

5

2 x2

2x

5 и при

этом x2

2x

x2

2x

1

1

x

1 2

1 , то y

2

x

1 2

1

5 , или

y 2 x

1 2

3. Строим параболу y

x2 , а затем

а) смещаем на 1 ед. влево – теперь вершина не в точке

0;0 , а в точке

1;0 .

Получаем график функции y

x 1 2 ;

б) растягиваем в 2 раза по вертикали. Точка

0;1 превращается в

0;2

, точка

3;4 – в точку

3;8

, и т.д. Получается график функции y

2 x 1 2 ;

в) поднимаем график на 3 ед. Вершина оказывается в точке

1;3 .

ЭП3. Постройте схематичные графики функций

а) при помощи асимптот и точек пересечения с осями координат;

б) при помощи элементарных преобразований графика функции y

1

:

x

1) а) y

1

;

б) y

1

;

в) y

x 1

;

г) y

x 1

;

д)

y

x

;

x

1

x

1

x

1

x

1

x

1

2) а) y

x

;

б) y

x 3

;

в) y

x 3

;

г) y

x 3

;

д)

y

x 2

;

x

2

x

2

x

2

x

2

x

3

3) а) y

2x 4

;

б) y

2x 6

;

в) y

x 3

;

г) y

x 2

; д)

y

2x

;

x 3

x 2

2x 4

2x 6

x 3

4) а) y

3x 5

;

б) y

3x 5

;

в) y

4x 2

;

г) y

4x 2

; д)

y

4x

.

4x 2

3x 5

3x 5

4x 2

3x 4

Пример 2. Построим график функции y

x

2

.

2x

8

1-й способ. В точке x

4 знаменатель обращается в 0, а при x

4 значения

очень велики. Это означает, что x

4 – не только координаты точки, которую

нельзя подставить, но и уравнение вертикальной асимптоты.

Горизонтальная асимптота – это прямая, к которой приближается график

при очень больших x (при x

). Легко заметить, что при больших значениях x

дробь

x

2

x

1

. Значит, y

1

– уравнение горизонтальной асимптоты.

2x 8 2x 2

2

График пересекает ось OY, когда x

0 , при этом y 0

0

2

2

1

.

2

0

8

8

4

График пересекает ось OX, когда y

0 . Из уравнения

x

2

0 находим, что

2x

8

x

2

0, и потому x

2 .

Итак, график пересекает ось OX в точке x

2 , ось OY – в точке y

1

, ухо-

4

дит в бесконечность вдоль вертикальной прямой x

4 , а при удалении вправо и

влево приближается к горизонтальной прямой y

1

.

2

2-й способ. Чтобы построить график при помощи элементарных преобразо-

ваний,

функцию

y

x

2

следует привести к виду

y

P

k

или к виду

2x 8

x

a

y

P

k

, где P, k, a

– некоторые числа.

x

a

Заметим, что 2x

8

2 x

4 , и выделим в числителе часть, пропорциональ-

ную замеченной скобке

x

4 : x

2 x

4 4

2

x

4

4

2

x

4

2 , то-

гда

x

2

x 4

2

x

4

2

1

1

(сокращение на 2 во 2-й дро-

2x 8

2 x 4

2 x 4 2 x 4 2 x 4

би случайно). Получили, что y

1

1

, и тогда

P

1

, k

1, a

4 ;

2

x

4

2

а) строим график функции y

1

;

x

б) сдвигаем его на 4 ед. влево – график вытягивается по вертикали не вдоль

оси OY, а вдоль прямой x

4 ;

в) отражаем график относительно оси OY – ветви «переворачиваются»;

г) поднимаем график на

1

ед.– ветви вытягиваются вдоль прямой y

1

.

2

2

значение y. В общем случае это зависимость F x; y

0 , но если её можно свести

к виду y

f x

, то говорят, что функция задана в явном виде.

Например,

x2

y 3

5 0

– неявно заданная функция y x .

В то же время

y 3 5

x2

– функция в явном виде. С другой стороны, можно вести речь о дву-

y3 , определённой при

значной функции

x y

5

y 3 5 , поскольку для лю-

бого y

3

5 возможны 2 значения x (при

y 3 5 функция x y

не определена,

при y

3 5 получим x

0 ).

Задача о поиске зависимости y f x

на основе известной неявно заданной

через переменную t,

когда дана зависимость t

g x ,

появляется при интегриро-

вании функций.

АЗ1. Выразите y как функцию

y x

. Найдите значение

y0

y x0 . Укажите

область определения функции:

1)

а)

1

3x 1, x0

0 ;

б)

1

3x 1, x0

1 ;

в) ln y 3x 1, x0

1 ;

y

y

1

д) e y 3x 1, x

г)

3x 1, x

0

1;

0

0;

е) 3 y 3x 1, x0

1 ;

y2

2)

а)

3

x 4, x0

1 ;

б)

4

x 5, x0

3;

в)

6

x 1, x0

0 ;

y

2

y

y 2

3

г)

1

x 5, x0

6 ;

д)

4

5x, x0

1;

е)

6

1 2x, x0

1;

2 y

3

2

5y

3y

3

3)

а)

y 4 2x, x0

1;

б)

2 y 4 2x, x0

1;

в) 3 5y 2x, x0

1 ;

4)

а)

1

3x, x0

1

;

б)

1

3x, x0

1

; в)

1

5x, x0

1

;

3

5

y

4

2 y

4

7 2 y

5)

а)

y 1 2 x , x0

1;

б) 2 y

x 3, x0

1 ;

в) 3 2 y

4x 5, x0

0 ;

6)

а)

1

1

, x0

6 ;

б)

1

2

, x0

1;

в)

2

1

, x0

1;

y 2 x 3

y 3 3x 1

3 y x

г)

1

1

, x0

1 ;

д)

3

1

, x0

0 ; е)

4

2

, x0 4 .

6 2 y x 3

2 y 5 x 4

4 y 5 2 4x

Пример 1. Пусть

2

5x

6, x0

1. Если y

0 и 5x

6

0 , то обратные вели-

y

чины также равны:

y

1

, и y

2

. Функция определена при x

6

.

2

5x

6

5x

6

5

В точке x

6

условие превращается в невозможное равенство

2

0 , а при

5

y

вычислении y

6

получаем деление на 0. Если же x0

1 , то y 1

2

2 .

5

5 1

6

Ответ: y

2

,

x

6

,

y0

2 .

5x

6

5

Пример 2. Пусть lg y

4

2x,

x0 3. Очевидно, y

0 . Сам же логарифм мо-

синуса), поэтому ограничений на 4 2x нет, и тогда x – любое число.

По определению логарифма, 4

2x

–

это степень, в которую надо возвести

10, чтобы получить y. Таким образом, 104 2 x

y , или y

104

2 x .

Если x 3, то y

104

2 3

10 2

0,01.

Ответ: y

104

2 x ,

y0

0,01.

2

Пример 3.

Пусть

5

3x,

x0

1 .