Другие способы решения систем лдупк
Пусть по-прежнему
дана система
,
где
– известные числа.
Составим матрицу
и найдем её собственные
числа k,
при которых определитель
равен 0. Как известно, для этого надо
решить уравнение
,
сводящееся к квадратному. Получим корни
.
В зависимости от знака дискриминанта возможны 3 тех же случая, что при решении обычного линейного ДУ с постоянными коэффициентами (см. § 14). Соответственно, по этим корням составляем общие решения:
с постоянными
;
с постоянными
,
после чего остаётся выяснить, как зависят от (или наоборот).
Очевидно, все 4 постоянные надо подобрать так, чтобы выполнялись уравнения системы. Для этого находим производные от и и вместе с функциями подставляем в условие задачи.
Пример
5. Решим
систему
.
Её матрица
,
а характеристическое
уравнение
имеет вид
.
Раскрыв
определитель, видим, что
,
или
.
Корни уравнения
– числа
и
.
Значит,
.
Посмотрим, как связаны между собой постоянные C. Найдём производные
и подставим их, а также и , в условие задачи. Получим систему
,
и в ней соберём
слева слагаемые с
,
а справа – слагаемые с
:
,
или, что то же самое,
.
Но и – разные функции, а равенство должно выполняться при всех t. Это возможно, только когда коэффициенты перед и обращаются в 0:
.
Заметим, что 2-я строка дублирует 1-ю – это говорит о том, что все действия до сих пор выполнялись верно. При внимательном решении достаточно подставить производные в одно уравнение. Итак,
(как обычно, выразили через ).
Ответ:
Пример
6. Решим
систему
.
Матрица
приводит к характеристическому уравнению
,
т.е.
,
откуда
и соответственно
и
.
Поэтому
.
Теперь находим
и подставляем в 1-е уравнение:
,
откуда
или
.
По той же причине, что и в примере 5, приравниваем к 0:
.
Ответ:
.
Замечание. В примере 6 столбец коэффициентов перед – это собственный вектор для числа 0. Столбец перед – собственный вектор для числа 11. Подобное свойство выполнено и в примере 5.
Пример
7. Система
приводит к уравнению
,
поэтому
.
Тогда
и
.
Для таких корней
.
Найдём
и подставим в 1-е уравнение:
.
Группируем:
,
что равносильно равенству
.
Снова должно выполняться условие
Нас интересует, как выразить через , поэтому находим, что
.
Ответ:
,
где
.
Замечание. Решение системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами фактически распадается на 2 независимые задачи:
а) поиск функций и ;
б) поиск зависимости между постоянными.
В пособии даны 2 способа решения каждой из этих задач. Тем самым получается (без учёта других способов) 4 пути решения. Например, можно:
а) найти функции через собственные числа и выразить из 1-го уравнения;
б) найти , методом подстановки избавившись от , а зависимость констант – как в примерах 5 – 7, и т.д.
Более того, можно методом подстановки искать не , а ; можно выражать не через , а наоборот. Тем самым система ЛДУПК даже 2-го порядка допускает множество способов решения. Для систем же 3-го порядка и выше возможны самые разнообразные пути решения.
Поиск частного решения при каких-либо условиях никак не зависит от того, каким образом найдено общее решение.
ДС5 – ДС8. Решите какие-либо системы (по собственному выбору), предложенные в заданиях ДС1 – ДС4, так, как в примерах 5 – 7. Сравните ответы. Затем
примените для решения разные комбинации способов, сравните их трудоёмкость и простоту.