§ 15. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
В пособии показано, как методом исключения решить простейшие системы
с постоянными
коэффициентами
.
Общее решение
таких систем – функции
и
,
где t
– аргумент, а
– произвольные постоянные.
Схема решения системы методом исключения
1) выразим из 1-го
уравнения
;
2) продифференцируем
1-е уравнение:
;
3) подставим
из 2-го уравнения:
;
4) в полученное
уравнение вместо y
подставим
.
В результате получим уравнение
относительно функции x:
,
после упрощений
приводимое к уравнению
,
где
определяются коэффициентами
.
Решив уравнение,
получим
,
затем найдём
(производную по параметру t)
и подставим в формулу для y,
найденную на 1-м шаге.
Общие формулы не приведены, поскольку проще применить идею для конкретного уравнения, чем подставлять коэффициенты.
Пример 1. Решим
систему
в общем виде и при условии
Продифференцировав
1-е уравнение, получим, что
.
Но
,
поэтому
.
Уравнение
,
или
– это уравнение 2-го порядка с постоянными
коэффициентами. Ему соответствует
характеристическое уравнение
,
корни которого
и
.
Согласно схеме решения уравнений с
постоянными коэффициентами,
.
Чтобы найти
,
заметим, что из 1-го уравнения
.
Производную
подставим в равенство :
.
Итак, общее
решение системы:
Чтобы найти частное
решение, соответствующее условию
,
подставим в общее решение значения
:
Поскольку
,
система принимает вид
Из 2-го уравнения,
очевидно, следует равенство
,
тогда из 1-го уравнения находим, что
и
.
Подставив эти значения в общее решение, получаем частное решение
или
.
Проверим
правильность решения. Если
,
будет
и
.
Кроме того,
Можно убедиться,
что
и
,
и оба уравнения системы выполнены.
Ответ:
общее решение
,
,
частное решение
,
.
Пример 2. Решим
систему
в общем виде и при условии
.
Дифференцируя
1-е уравнение, получаем, что
,
затем, с учётом
,
приходим к уравнению
,
т.е.
.
Характеристическое
уравнение
имеет мнимые корни
и
,
поэтому
.
Чтобы найти
,
из 1-го уравнения выразим
.
Поскольку
,
то
.
Итак, общее
решение системы:
Подставим в него значения из начального условия, тогда
Учитывая, что
и
,
приходим к системе
,
или
.
Поэтому частное решение
,
или
.
Проверим выполнение уравнений основной системы. Находим
и
.
Проверим условие
:
– выполнено как
тождество.
Проверим условие
:
– очевидное тождество.
Ответ:
общее решение
,
,
частное решение
,
.
Пример 3. Решим
систему
в общем виде и при условиях
а)
;
б)
.
Из 1-го уравнения
выразим
,
затем продифференцируем:
.
Подставим
из 2-го уравнения:
.
Раскрыв скобки, получим
.
Поскольку
,
то
.
Раскроем скобки:
.
У уравнения
два одинаковых корня
,
и
.
Чтобы найти , ищем
,
или
.
Подставим в
равенство
,
т.е. в
:
.
Упростим:
,
или
.
Итак, общее
решение системы:
а) Найдём частное решение, соответствующее условию :
,
или
,
откуда
Подставив эти значения в общее решение, получаем частное решение
,
или
При
будет
,
что отвечает начальному условию;
б) для условия составляем систему
Разделив на
,
получим, что
,
откуда
Подставив эти значения в общее решение, получаем новое частное решение
,
или
При
будет
и
– условие выполнено.
Пример 4. Решим
систему
при условии
.
Из 1-го уравнения
.
Дифференцируем:
,
и вместо
подставляем
из 2-го уравнения:
,
или
.
Но , поэтому
,
что равносильно
уравнению
.
Корни уравнения
– числа
,
и
.
Чтобы найти , берём производную:
,
подставляем в выражение для y:
,
и упрощаем:
.
Общее решение
системы:
Подставим значения
:
,
откуда
и
Тогда частное решение
запишем как
При
,
действительно, получим
и
.
ДС1. Решите системы ЛНДУПК
а)
б)
в)
г)
ДС2. Найдите общее решение системы, а затем частное решение при указанных начальных условиях. Сделайте проверку.
1) |
а) x(0)=1, y(0)=1; б) x(0)=–1, y(0)=1; |
в) x(0)=2, y(0)=0; г) x(0)=0, y(0)=2; |
2)
|
а) x(0)=1, y(0)=–1; б) x(0)=0, y(0)=2; |
в) x(0)=3, y(0)=–1; г) x(0)=3, y(0)=1; |
3)
|
а) x(0)=1, y(0)=0; б) x(0)=0, y(0)=1; |
в) x(0)=1, y(0)=1; г) x(0)=1, y(0)=–1; |
4)
|
а)
б)
|
в)
г)
|
;
;
;
.
ДС3. Найдите общее решение и частное решение при начальном условии:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
;
9)
; 10)
;
11)
; 12)
;
13)
; 14)
;
15)
.
ДС4. Найдите общее и частное решение:
1)
|
а) ; б)
|
в)
г)
|
2)
|
а) ; б)
|
в)
г)
|
3)
|
а)
б)
|
в)
г)
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.