§ 11. Уравнения с разделяющимися переменными
Простейшие
дифференциальные уравнения. Уравнение
простым интегрированием
приводит к общему
решению
.
Если
дополнительно указано, что
,
находим
и в ответе указываем частное
решение
.
ДУ1. Найдите частное решение простейших ДУ с начальным условием
1) а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; е)
;
2) а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; е)
;
3) а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; е)
;
4) а)
; б)
; в)
;
г)
; б)
; е)
;
5) а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; е)
;
6) а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; е)
;
7) а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; е)
.
Пример
1. Чтобы
решить задачу
,
интегрируем:
,
а затем в полученное
общее решение
подставляем
и
:
,
откуда
.
Получаем частное
решение
.
Проверим выполнение условий задачи:
а)
– что и должно быть;
б)
– начальное условие выполнено.
Пример 2.
Пусть
.
Интегрируем:
,
подставляем
и
:
.
Но
,
поэтому
,
откуда
.
Итак, частное
решение:
.
Проверим выполнение условий:
а)
;
б)
.
Функция отвечает и уравнению, и начальному условию.
Пример 3.
Если
,
то общее решение:
,
а частное решение
получим, подставляя в общее
и
:
.
Зная, что
,
получаем уравнение
,
или
,
тем самым
.
Частное решение:
.
Дифференциальное
уравнение с разделёнными переменными
– это уравнение вида
.
Для его решения интегрируем обе части
равенства:
и получаем общий
интеграл
,
где
и
.
Если затем выразить
y
через x,
то найдём общее
решение
.
Иногда проще
выразить x
через y,
тогда
– также общее решение.
Когда дано начальное
условие
(поставлена Задача
Коши), можно
найти постоянную C
из равенства
,
т.е. найти
,
и тем самым – частное
решение (частный интеграл)
.
ДУ2. Найдите общий интеграл и частный интеграл для начального условия:
а)
; б)
;
в)
; г)
.
Пример 4.
Решим уравнение
с условием
.
Переменные
разделены, и остаётся проинтегрировать:
,
получив тем самым
общий интеграл
.
По условию, если
,
то
.
Подставим:
,
откуда
,
т.е.
,
и тогда
.
Частный интеграл имеет вид
,
или, что то же самое,
.
Выразив
,
получим частное решение.
Дифференциальное
уравнение с разделяющимися переменными
– это уравнение вида
или уравнение, приводимое к такому по
правилам арифметики, например,
или
.
Идея решения таких
уравнений – по свойствам пропорций
получить равносильное уравнение с
разделёнными переменными
,
где
– новые функции, и проинтегрировать
каждую часть.
В результате получится общий интеграл и все замечания относительно уравнений с разделёнными переменными остаются в силе.
ДУ3. Для уравнений с разделяющимися переменными найдите частное решение (в виде неявно заданной функции) при указанном начальном условии:
1) а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; е)
;
2) а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; е)
.
Пример 5.
Решим уравнение
с начальным условием
.
Запишем уравнение
как
.
Перегруппируем, чтобы переменная y
оказалась там же, где дифференциал
,
а переменная x
– там, где
.
Тем самым
.
Интегрируем:
,
откуда
(делим на новую степень и на коэффициент перед переменной).
Упростим:
,
где
.
Получен общий интеграл уравнения.
Условие
позволяет найти константу
.
Подставим
и
:
,
откуда
и потому
.
Частное решение
(в неявном виде)
.
Можно найти
интегралы и так:
,
тогда при
и
получили бы
и соответственно
.
Легко убедиться, раскрывая скобки, что равенства и равносильны.
ДУ4. Найдите общий интеграл и по возможности – общее решение уравнения
1) а)
; б)
; в)
г)
;
2) а)
; б)
; в)
;
г)
;
3) а)
; б)
; в)
; г)
;
4) а)
; б)
; в)
; г)
;
5) а)
; б)
; в)
; г)
.
Пример 6.
Пусть
.
Поскольку
,
запишем равносильное уравнение
.
Домножим на
,
тогда
.
Скобка
должна быть там же, где
,
поэтому
.
Переменные разделены.
Интегрируем:
,
получаем общий интеграл
.
Пример 7.
Пусть
,
или, что то же,
.
Умножим на
:
.
Не на своём месте числитель
– он должен быть рядом с
.
Тогда
,
и переменные разделены. Интегрируем:
,
получаем общий интеграл
.
Пример 8.
Решим уравнение
,
или
.
Разделяем переменные:
.
Интегрируем:
.
ДУ5. Найдите общее решение дифференциального уравнения, а также частное решение для указанного начального условия (решите Задачу Коши):
1) а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; е)
;
2) а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; е)
;
3) а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Пример 9.
Решим уравнение
в общем виде и при условии
.
Записываем
уравнение как
и переносим переменные:
.
Общий интеграл имеет вид
.
Выразив y,
получим общее решение
,
или просто
,
где буквой C
переобозначено 2C.
По условию,
при
.
Подставим:
,
откуда
и соответственно
.
Частное решение:
(без знака
).
Пример 10.
Решим уравнение
в общем виде и при условии
.
После записи
и переноса переменных приходим к
уравнению
,
общий интеграл которого имеет вид
.
Чтобы выразить y,
учтём, что
,
а вместо C
запишем
.
Тогда
,
или
.
Логарифм – монотонная функция, поэтому
.
Опуская модули,
получаем, что
,
а в силу произвольного характера
постоянной – просто
.
Это – общее решение.
Учтём, что при
должно быть
.
Подставим:
,
откуда
.
Частное решение:
.
Замечание. При появлении логарифма модуль обычно не пишут, поскольку произвольность знака переменных учтена в постоянной C, связывающей их. При любых действиях с постоянной её удобно заново обозначать той же буквой C.
ДУ6. Найдите общий интеграл, общее решение (*) и частное решение ДУ:
а)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
; е)
;
ж)
; з)
.
Примечание: (*) – задание повышенной сложности.
В § 12 показано, как решать важнейшие уравнения 1-го порядка с неразделёнными переменными – линейные, однородные, а также уравнения Бернулли. Все они сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными при помощи некоторой замены или предварительного упрощения.
Этим работа с дифференциальными уравнениями напоминает интегрирование, когда сложный интеграл сводят к табличному или при помощи замены, или интегрируя вначале часть основной функции.