§ 3. Аналитическое задание функций
Функция
задана аналитически,
если предложена некоторая формула, по
которой для каждого конкретного аргумента
x
можно найти соответствующее значение
y.
В общем случае это зависимость
,
но если её можно свести к виду
,
то говорят, что функция задана в
явном виде.
Например,
– неявно
заданная функция
.
В то же время
– функция в явном виде. С другой стороны,
можно вести речь о двузначной
функции
,
определённой при
,
поскольку для любого
возможны 2 значения x
(при
функция
не определена, при
получим
).
Задача о поиске
зависимости
на основе известной неявно заданной
функции возникает, например, при решении
дифференциальных
уравнений
или при построении графиков. Кроме того,
необходимость выразить переменную x
через переменную t,
когда дана зависимость
,
появляется при интегрировании
функций.
АЗ1.
Выразите y
как функцию
.
Найдите значение
.
Укажите область определения функции:
1) а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; е)
;
2) а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
;
е)
;
3) а)
; б)
; в)
;
4) а)
; б)
; в)
;
5) а)
; б)
;
в)
;
6) а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; е)
.
Пример 1.
Пусть
.
Если
и
,
то обратные величины также равны:
,
и
.
Функция определена при
.
В точке
условие превращается в невозможное
равенство
,
а при вычислении
получаем деление на 0. Если же
,
то
.
Ответ:
.
Пример 2.
Пусть
.
Очевидно,
.
Сам же логарифм может принимать любое
значение (в отличие, например, от
квадратного корня или синуса), поэтому
ограничений на
нет, и тогда x
– любое число.
По определению
логарифма,
– это степень, в которую надо возвести
10, чтобы получить y.
Таким образом,
,
или
.
Если
,
то
.
Ответ:
,
.
Пример 3.
Пусть
.
Если
существует, то
.
Из условия видно, что
.
Значит,
,
и тогда
(поскольку числитель
).
Поэтому
.
Отсюда
.
По свойству
пропорций можно поменять местами
и
:
.
Возведём в квадрат
.
Функция определена при
,
что не отражается на уже установленном
ограничении
.
В точке
находим
.
Ответ:
.
Пример 4.
В случае
замечаем, что в левой части условия есть
,
но
,
и тогда дробь
.
Значит, в правой части
,
откуда
.
Равенство
,
равносильное начальному, возводим в
квадрат:
,
тогда
и
.
То, что
,
т.е.
,
учитывается формулой функции. В самом
деле, дробь
,
и при вычитании её из
это число можно только уменьшить.
В точке
будет
.
Ответ:
.
Пример 5.
Пусть
.
Возведём в квадрат
,
но учтём, что
и
,
т.е. что
и
.
Из уравнения
выразим
,
тогда
и тем самым
.
Также находим
.
Ответ:
.
Пример 6.
Пусть
.
Из условия видно, что
и
.
Обратные величины также равны:
или
.
Переносим:
,
выражаем
,
где
.
Итак,
при
.
Кроме того,
.
Ответ:
.