Evdokimov_I.N._i_dr._Vynuzhdennye_kolebaniya_v_elektricheskom_konture

УДК 53(075) Е15

Рецензент:

И.Б. Есипов – д.ф.-м.н., профессор кафедры физики РГУ нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина

Евдокимов И.Н., Елисеев Н.Ю., Лосев А.П.

Е15 Вынужденные колебания в электрическом контуре:

Учебно-методическое пособие/ под редакцией профессора А.И. Черноуцана. — М.: Издательский центр РГУ нефти

игаза (НИУ) имени И.М. Губкина, 2020. — 35 с.

Впособии даются методические указания по выполнению лабораторной работы №274 из второй части практикума по курсу физики. Пособие знакомит с вынужденными электромагнитными колебаниями в колебательном контуре с резонансом напряжений.

Учебно-методическое пособие предназначено для бакалавров по направлениям подготовки 01.03.04, 05.03.01, 09.03.01, 10.03.01, 12.03.01, 13.03.02, 15.03.01, 15.03.02, 18.03.01, 18.03.02, 20.03.01, 21.03.01, 27.03.01, 27.03.04, для студентов специалитета по направлениям 10.05.03, 10.05.04, 21.05.02, 21.05.03, 21.05.05, 21.05.06, осваивающих дисциплину «Электромагнетизм и волны».

Евдокимов И.Н., Елисеев Н.Ю., Лосев А.П., 2020

РГУ нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина, 2020

Содержание

с.

3

Лабораторная работа № 274

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

ВЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ

I.Цель и содержание работы Работа знакомит с вынужденными электромагнитными

колебаниями в колебательном контуре и с резонансом напряжений. Содержание работы заключается в измерении индуктивности контура с несколькими последовательно соединенными катушками, определении резонансной частоты колебательного контура и в получении резонансной кривой.

II.Краткая теория работы

Обозначим R электрическое сопротивление, величину, характеризующую противодействие проводника или электрической цепи электрическому току. R участка цепи при постоянном напряжении – скалярная величина, коэффициент пропорциональности между током и напряжением (закон Ома).

Обозначим L индуктивность, или коэффициент самоиндукции контура, величину, характеризующую магнитные свойства электрической цепи. L является коэффициентом пропорциональности между током и магнитным потоком, пронизывающим контур (сцепленным с ним).

4

Обозначим С электрическую емкость конденсатора (взаимную электрическую емкость его обкладок), количественную меру способности элемента цепи удерживать электрический заряд. С

является коэффициентом пропорциональности между зарядом одной из обкладок конденсатора и разностью потенциалов между обкладками.

Рассмотрим вынужденные электрические колебания в цепи, где последовательно с элементами колебательного контура R, L и C включен источник переменной э.д.с.

=0 sinωt (рис. 1). Внутреннее сопротивление источника

Ri должно быть достаточно мало (обычно полагают Ri = 0).

Рисунок 1 – Цепь для получения вынужденных электрических колебаний.

По второму правилу Кирхгофа с учетом возникающей в

где q – величина заряда на обкладках конденсатора,

получим дифференциальное уравнение колебаний силы тока в рассматриваемой цепи

определяемая соотношением (5); φ – сдвиг фаз между током и внешней э.д.с., определяемый соотношением (6).

сопротивлениями. Величину R часто называют активным

1

сопротивлением цепи, а величину (ωL – ωC) – реактивным сопротивлением.

вободные электромагнитные колебания возникают в системе после выведения ее из положения равновесия. Поясним,

какие превращения энергии происходят в колебательном контуре на следующем примере. Представим идеальный колебательный контур, не имеющий сопротивления. Зарядим

конденсатор, присоединив его на некоторое время к батарее источников питания. В момент времени t = 0 напряженность электрического поля в конденсаторе (направленная снизу вверх на рис. В-1), а также напряжение U

на обкладках конденсатора максимальны, а тока в контуре еще нет,

следовательно, отсутствует и магнитное поле. При этом вся энергия W

колебательного контура заключена в электрическом поле конденсатора, то есть

В промежутке времени от 0 до T0/4 конденсатор, разряжаясь, создает

через контур ток i, идущий против часовой стрелки. При этом согласно правилу Ленца в катушке возникает э.д.с. самоиндукции, препятствующая нарастанию этого тока. При разряде конденсатора уменьшаются напряженность электрического поля (сохраняя прежнее направление) и напряжение U между его обкладками, следовательно, уменьшается энергия электрического поля в конденсаторе. Сила тока i и индукция магнитного поля, создаваемого этим током, увеличиваются, т.е. возрастает энергия магнитного поля в катушке индуктивности. Следовательно, энергия электростатического поля конденсатора превращается в энергию магнитного поля катушки.

К моменту времени t = T0/4 конденсатор полностью разряжается,

напряжение U между его обкладками становится равным нулю, и электрическое поле в нем отсутствует. К этому времени ток i в контуре и индукция магнитного поля этого тока достигают максимальных значений. Следовательно, вся энергия

контура заключена в этот момент в его магнитном поле, то есть

В промежутке времени от 1/4 T0 до 1/2 T0 при уменьшении тока в катушке возникает э.д.с. самоиндукции и индукционный ток, направление которого, согласно правилу Ленца, совпадает с направлением убывающего разрядного тока. В результате конденсатор перезаряжается: верхняя обкладка конденсатора получает избыточный положительный заряд, а нижняя —

7

отрицательный. Следовательно, в конденсаторе появляется электрическое поле,

напряженность которого направлена сверху вниз. В указанном интервале времени сила тока i в контуре и индукция магнитного поля этого тока убывают,

а напряженность электрического поля и напряжение U между обкладками конденсатора возрастают. Значит, энергия магнитного поля катушки превращается в энергию электрического поля конденсатора.

Рисунок В-1 – Превращения энергии в колебательном контуре.

К моменту времени t = 1/2 T0 ток в контуре прекращается,

следовательно, исчезает магнитное поле. Напряженность электрического поля и напряжение U конденсатора максимальны. Таким образом, вся энергия колебательного контура заключена теперь в его электрическом поле (В.1).

В промежутке времени от 1/2 T0 до 3/4 T0 конденсатор вновь разряжается и создает в контуре ток. Однако теперь положительно заряжена верхняя обкладка конденсатора, поэтому направление тока i в контуре меняется на противоположное. Меняется и направление индукции создаваемого им магнитного поля. Этот ток не может сразу достигнуть максимального значения,

так как в катушке возникает э.д.с. самоиндукции, препятствующая быстрому нарастанию тока. В указанном промежутке времени сила тока i и индукция магнитного поля этого тока увеличиваются, а напряженность электрического поля и напряжение U между обкладками конденсатора уменьшаются.

Следовательно, электрическая энергия переходит в магнитную.

8

К моменту времени t = 3/4 T0 конденсатор полностью разряжается,

напряжение U между его обкладками падает до нуля, электрическое поле исчезает, а ток i в контуре и индукция магнитного поля в этот момент максимальны. Вся электрическая энергия контура превратилась в энергию магнитного поля (В.2).

В промежутке времени от 3/4 T0 до T0 сила тока уменьшается, а

возникшая в катушке э.д.с. самоиндукции препятствует этому. На нижней пластине появляются избыточные положительные заряды, а на верхней — отрицательные. В конденсаторе появляется электрическое поле, напряженность которого направлена теперь снизу вверх. В указанном промежутке времени сила тока i в контуре и индукция магнитного поля убывают, а напряженность электрического поля в конденсаторе и напряжение U между его обкладками возрастают. Следовательно, магнитная энергия превращается в электрическую.

К моменту времени t = T ток в контуре прекращается, исчезает магнитное поле, а напряженность электрического поля конденсатора и напряжение U между его обкладками максимальны.

Вторая перезарядка возвращает контур в исходное состояние. Таким образом, завершилось полное колебание. В дальнейшем процесс повторяется в уже описанном порядке. В идеальном колебательном контуре в любой момент энергия электромагнитного поля равна сумме энергий магнитного и электрических полей:

Частота ω0 собственных незатухающих (свободных)

электромагнитных колебаний в контуре, сопротивлением R

которого можно пренебречь, определяется его

индуктивностью L и ёмкостью С :

ω0=√1 , (7)

LC

где ω0 – частота собственных колебаний, рад/с; L –

индуктивность контура, Гн; С – ёмкость контура, Ф.

В действительности потери энергии неизбежны, так как катушка и соединительные провода обладают сопротивлением, что ведет к постепенному превращению энергии электромагнитного поля во внутреннюю энергию

9

проводника (джоулево тепло). Затухание характеризуется коэффициентом β =R⁄2L (8). Незатухающими могут быть только вынужденные колебания.

Рассмотрим явление резонанса, т.е. резкого возрастания амплитуды колебаний в цепи, изображенной на рис. 1. Как следует из формулы (5), амплитуда силы тока зависит от частоты колебаний внешней э.д.с. Она достигает

максимального значения

тока совпадает с частотой собственных незатухающих колебаний в контуре с теми же L и С :

В этом случае полное сопротивление цепи становится

полностью активным и имеет наименьшее значение, равное

R, а сила тока изменяется в фазе с приложенной э.д.с.

(tgφ=0).

Из формулы (2) и первообразной по времени от выражения для тока (4) можно получить формулу

конденсаторе.

Разделив (5) на ωC и учитывая формулы (7) и (8),

получим выражение амплитуды напряжения на

конденсаторе:

10