Sedov_L.I._O_nauchnyh_metodah_v_mehanike_sploshnyh_sred

струмента, о стоимости различных товаров или художествен­

ных произведений и т. д., и т. п.

Значительная часть математических понятий и теорий связа­

на с абстрактным рафинированием точных определений, фор­

мулированием различного рода постулатов и установлением

свойств и закономерностей, существующих между универсаль­

ными понятиями, вытекающих из их определения или соответ­

ствующих фундаментальных аксиом.

Развитие научных теорий осуществляется с помощью введе­

ния и использования различных моделей, которые в закончен­

ных и ясных случаях точно определены и которые по своему

существу можно рассматривать как некоторые абстрактные ма­

тематические схемы, отражающие в достаточном и нужном виде

интересующую нас суть дела.

В естественных науках построение теоретических моделей свя­

занос достижением двух основных целей:

1. Для осмысления и объяснения результатов наблюдений

и различных измерений в опытах, экспериментах и в окружа­ ющей нас среде.

2. Для математической формулировки соответствующих задач, позволяющих получать в рассматриваемых проблемах требуемые

ответы теоретически путем исследования или разрешения этих

задач с помощью математических методов.

Примерами таких моделей могут служить Евклидава простран­ ство, абсолютное время, понятие о материальной точке, абсо­

лютно твердое тело, идеальная несжимаемая и сжимаемая жид­

кость, модель упругого тела с законом Гука для малых деформа­ ций, вязкая жидкость Нарье-Стокса, представление об элект­

ронах и протонах как о материальных точках с соответствующи­

ми отрицательными и положительными зарЯдами и т. д.

Каждая из названных выше идеально вводимых моделей пред­

ставляет собой точно определенный объект, введенный на ос­

нове схематизирования применительно к реальному простран­

ству - времени и реальным материальным телам, участвующим

в действительных событиях.

Во многих вопросах практики эти и другие модели с большим успехом использовались, используются и теперь и будут исполь­

зоваться в будущем для теоретического и экспериментального опи­

сания интересующих нас событий в природе и технике.

Однако самого поверхностного взгляда достаточно, чтобы по­

нять, что область применения этих и многих других моделей ог­

раничена. Применеине хороших моделей может удовлетворять нас

в довольно широких диапазонах проблем. Правильно построен-

11

ные и вышеупомянутые модели могут оказаться непригодными

для описания многих других явлений, в которых потребуются учет и взаимодействие электромагнитных полей, различного рода излучений.

Понятия Евклидава пространства и абсолютного времени -

это замечательные математические модели, на которых зиж­

дится вся классическая физика и многие важнейшие отрасли

современной техники, но теперь уже ясно, что эти геометри­

чески описываемые модели можно усложнять при изучении

физических явлений, связанных с электромагнетизмом, и в

теории гравитации.

Понятие о материальной точке - основное в небесной меха­

нике. Землю, планеты, Солнце и звезды во многих важнейших

задачах небесной механики можно считать материальными точ­

ками. Множество задач небесной механики и соответствующих математических задач - это просто формулируемые задачи ди­

намики о движении систем материальных точек под действием

сил взаимного притяжения, согласно ньютонавекому закону

всемирного тяготения в различных условиях.

Физический объект Земля схематизируется в небесной ме­

ханике с хорошим приближением как материальная точка с сохранением только суммарной массы и своего количества

движения.

Однако Земля имеет конечные размеры, покрыта волнующи­

миен и подвижными морями, океанами, с сушей, с горами,

окружена космической средой и подвижной атмосферой, ее на­

селяют различные живые существа, мыслящие люди, которые в

свою очередь строят и запускают в пространство космические

аппараты, представляющие собой новые небесные тела. В обо­

зримом будущем люди могут повлиять на орбиты малых планет

иизучать возможности столкновений, а это и многое другое

связано с устранением небесных катастроф.

Очевидно, что в ряде уже современных актуальных вопро­ сов некоторые из перечисленных свойств Земли, других пла­ нет и космической межпланетной Среды уже нельзя игнори­

ровать, и поэтому в известных задачах моделирование Земли

иразличных небесных тел без взаимных притяжений, как ма­

териальных точек, движущихся в пустых пространствах, со­

вершенно недопустимо.

По мере углубления знаний в небесной механике все новые

свойства Земли и окружающих ее тел приобретают значение, и

поэтому требуется все более и более подробное моделирование, однако на каждом этапе это моделирование будет обладать схе-

12

матичностью и в будущем будет нуждаться в уточнении для уче­

та следующих более тонких свойств взаимодействий.

Это положение будет типично при моделировании реаль­

ных событий, в частности электрон и протон уже теперь во многих задачах физики нельзя моделировать заряженными ма­ териальными точками, требуется вводить новые модели, раз­ рабатываемые в квантовой механике, например, в одних воп­

росах - это пакеты волн, в других - это поле, занимающее

все пространство.

В математических исследованиях, обычно, механические мо­ дели фиксируются строго и точно, после этого в рамках введен­

ных моделей теоретически изучаются различные весьма тонкие механические эффекты, которые зачастую могут проявляться

только в течение очень больших промежутков времени (иногда,

однако, больших, чем оцененное в астрофизике время суще­

ствования Вселенной). Такое положение дела со спортивно-по­

знавательной - чисто математической точки зрения и создания

новых математических методов исследования вполне разумно,

однако с точки зрения изучения действительных явлений в при­

роде в таких случаях могут возникать пожелания об уточнении основного подхода в формулировке практических задач с при­ менением более точного моделирования.

Аналогичные ситуации возникают в науке в любых отраслях

и, конечно, в механике сruюшных сред.

Само введение механического объекта - сплошной среды -

представляет собой схематизацию реальных тел, состоящих из ато­

мов и молекул, в которых сконцентрированы очень плотные мас­

сы, и которые, с одной стороны, распределены повсеместно в

объеме, занятом телом, а с друтой сторонызанимают ничтож­ но малую часть полного объема тела, который в основном пред­

ставляет собой пустоту, в которой, кроме вкрапленных матери­

альных частиц, присутствуют местные электромагнитные поля,

индуцируемые находящимиен в тепловом движении отдельными

частицами - атомами и молекулами. Во многих примерах модель­ ные точки зрения по Маху и по Больцману равноценны.

Опыт и специальные исследования показывают, что моде­

лирование реальных тел сплошными средами вполне допусти­

мо во многих важных приложениях, в частности в подавляю­

щем числе технических задач. Однако имеются и такие приме­

ры, когда моделирование изучаемых объектов, как сплошных

сред, недопустимо.

Часто приходится слышать, что использование уравнения

Больцмана для описания движений разреженных газов или плаз-

13

мы - это метод, в котором в противоположность многим фено­

менологическим-макроскопическим подходам учитывается и

фактически рассматривается дискретная структура этих сред,

однако это неверно! Несмотря на употребление при рассужде­

ниях и выводах эвристических подсчетов с использованием атом­

но-молекулярной терминологии окончательные виды уравне­

ния Больцмана применительно к различным средам содержат

непрерывные функции и определяют собой примеры построе­

ния усложненных моделей сплошных сред - континуумов, за­

полняющих непрерывно некоторые конечные объемы или все

пространство.

Теоретическое моделирование связано в основном с двумя

этапами абстракций:

во-первых, это построение идеальных объектов вещества или

полей. Например, материальная точка, как математическая иде­

альная точка, идеальная жидкость или газ, вязкая жидкость или

газ, упругое тело по Гуку, пластическое тело, электромагнитное

поле и т. п., как математические континуумы;

во-вторых, это упрощенное моделирование конкретных за­

дач в рамках уже выбранных моделей для рассматриваемых объек­

тов. Например, система небесных тел заменяется материальны­

ми точками или однородными шарами, а в аэродинамике при­

нимается, что газовый поток занимает все пространство вне дан­ ного изолированного тела, что обтекаемое крыло абсолютно глад­

кое; при изучении деформированного состояния упругих тел

принимается, что деформация плоская, во многих случаях счи­

тается, что движения сплошных сред или процессы в рассмат­

риваемых полях можно считать одномерными с плоскими, сфе­

рическими или цилиндрическими волнами и т. д.

Очевидно, что дальнейшие уточнения могут требоваться и

вводиться на каждом из указанных двух этапов, отдельно или

одновременно.

Во второй половине XIX и начале ХХ столетия научное раз­

витие происходило в разделенных и сравнительно обособленных

дисциплинах, таких как математика, механика, термодинами­

ка, химия, электродинамика, биология и т. п.

Дальнейшее развитие и особенно современный научный про­ rресс характеризуются, наряду с углублением отдельных специ­

альных разделов науки, почти полным стиранием разделяющих rраней в основных законах, подходах и методах между перечис­

ленными выше науками.

Современные актуальные проблемы научного познания при­ роды и задачи техники носят комплексный характер. Различные

14

взаимодействия: механические, физические, химические и др. проявляются одновременно неразделимым способом. В типич­

ных примерах мы сталкиваемся с теоретическими, математи­

ческими и экспериментальными исслt:дованиями явлений и про­

цессов, в которых механические, тепловые, химиче!i:кие и элек­

тродинамические взаимодействия и эффекты настолько тесно

переплетаются между собой, что невозможно проводить их опи­ сание в рамках отдельных уже сложившихся отделов наук. В на­

стоящее время требуется строить новые макроскопические и микроскопические физические модели материальных сред и по­

лей, в которых, наряду с механическими характеристиками свойств и явлений, необходимо вводить в рассмотрение и дру­

гие переменные и постоянные существенные характеристичес­

кие величины скалярной и тензорной природы, такие как тем­ пература, внутренняя энергия механической, тепловой и хими­ ческой сущности, энтропия, концентрации разных компонент в

смесях или сплавах, характеристики электромагнитного напря­ жения и электризации, магнитного напряжения и намагничен­

ности, электрические токи, различные постоянные типа моду­

лей упругости, коэффициентов вязкости и теплопроводности, диэлектрических постоянных и магнитных проницаемостей, элек­

трического сопротивления и т. д.

Такого рода характеристические величины входят существен­ ным образом совместно в одни и те же определяющие уравнения и условия, и поэтому разделение их эффектов, вообще говоря, невозможно. Таким образом, в современной механике, наряду с

координатами, скоростями, ускорениями и силами, в качестве

существенных внутренних параметров фигурируют такие величи­

ны, как температура, энергия и энтропия, и поэтому нужно к

уравнениям механики присоединять уравнения, выражающие со­

бой первый и второй законы термодинамики, или надо присоеди­

нять электромагнитные характеристики и уравнения Максвема

или концентрации химических реагентов и соответственно урав­

нения химических балансов и кинетики химических реакций, воз­

никающих и протекающих в движущихся смесях.

В рамках общей теории относительности в качестве «внут­

ренних» параметров, подлежащих определению, в уравнени­

ях движения присутствуют компоненты метрического тензо­

ра, определяющие собой в соответствии с разработанными в

математике методами геометрические свойства четырехмер­

ного пространства - времени.

Наряду с проблемами разрешения многих важных и инте­

ресных задач в рамках известных классических моделей для изот-

15

рапных и анизотропных тел, в настоящее время можно пере­

числить большое количество проблем, в которых научное ис­

следование состоит и связано с построением новых моделей

сплошных сред.

Вот некоторые примеры.

В настоящее время большое значение приобретает проблема

учета пластических свойств различных материалов, проявляю­

щихся в том, что при некоторых достаточно больших внутрен­

них напряжениях или температурах в телах возникают остаточ­

ные деформации, иначе говоря, при возвращении к первона­

чальным условиям тела не восстанавливают свою форму. При учете пластических свойств требуется вводить новые <(внутрен­

ние>> параметры деформированного состояния, связанные с внут­

ренней структурой частиц тела, - параметры, которые могут

иметь различное значение для частиц, находящихся в естествен­

ном ненапряженном состоянии, они характеризуют изменения

в структуре малых частиц (явление гистерезиса), которые могут

возникать в теле, претерпевшем или претерпевающем действие различных внешних влияний - подогрев, действие больших на­

грузок, образование и распространение трещин и, возможно,

другие явления.

Если возникающие внутренние характерные параметры сво­ дятся к компонентам тензора остаточных деформаций и измене­

ниям пределов упругости, то по определению возникает задача

о построении модели твердого деформируемого упруго-пласти­ ческого тела. При учете более сложных характеристик в наруше­ ниях структуры частиц тела необходимо вводить еще добавочно к компонентам тензора остаточных деформаций дополнитель­ ные параметры, улавливающие более тонкие изменяемые визу­

чаемых явлениях структурные свойства частиц материала. Таким

путем можно прийти к континуальной теории дислокаций.

В теории пластичности существуют довольно простые моде­

ли, позволяющие ставить и решать современными математи­

ческими методами и средствами различные практические за­

дачи. В числе таких моделей можно назвать модели идеально упруго-пластических тел с упрочнением по Треска или по Мизесу. В этих моделях вводятся и употребляются новые спе­

циальные физико-механические уравнения для остаточных

деформаций, которые имеют термодинамическую природу и

называются ассоциированным законом. Ассоциированный за­

кон в важных частных случаях совпадает точно с обобщенным

нелинейным законом Онзагера или, во всяком случае, имеет

ту же самую природу.

16

Что касается континуальной теории дислокации, то уже име­

ются построенные модели сред с учетом непрерывно распреде­

ленных дислокаций, они сравнительно сложны, еще не приме­

няются для решения практических задач, и для них еще во мно­

гих примерах нет необходимой опытной апробации.

В последнее время известные модели теории пластичности

были обобщены и расширены для учета тепловых эффектов, в

которых температура не является просто заданным постоянным параметром, а определяется в процессе решения задач в зависи­

мости от теплопроводности и диссипации механической энер­ гии, происходящей при возникновении пластических деформа­

ций. Такое обобщение существенным образом связано с учетом

первого и второго законов термодинамики.

Для модели пластических тел с учетом тепловых эффектов

требуется в соответствии с опытом вводить такие термодинами­ ческие функции, как внутренняя энергия и энтропия - поня­

тия, которые игнорировались теорией упругости и теорией пла­

стичности в начальных этапах своего развития благодаря суще­ ственному предположению об изотермичности изучаемых явле­ ний. Однако во многих динамических вопросах предположение об изотермичности неприемлемо.

Учет на термодинамической основе необратимости в теории

пластичности еще не является достоянием широких кругов на­

учных работников. Имеющиеся данные в этом направлении мно­ гими еще не поняты. Свидетельством этому могут служить при­ меры публикаций физически неверных работ.

Ряд работ с приложениями посвящен моделям твердых де­

формируемых тел, в которых в процессах движения учитыва­

ется, помимо упругости и пластичности, свойство вязкости или рассматриваются твердые деформируемые среды, в кото­

рых проявляется свойство ползучести с учетом наследствен­ ных эффектов.

Вэтих свойствах термодинамические основы и связи микро­

скопических структурных свойств тел с их макроскопическими

свойствами разработаны еще мало.

Вэтом кратком докладе совершенно невозможно системати­ зировать и охарактеризовать большое число предложенных мо­

делей, многие из которых построены на формальной основе

математическим путем. В частности, распространены работы, в

которых вводятся внутренние вращения и деформации по типу

моделей Коссера или путем введения в качестве аргументов в

термодинамические функции производных высших порядков по

координатам или по времени от перемещений и от других ска-

17

лярных тензорных определяющих параметров. Здесь теория явно обгоняет опытные проверки и запросы.

В настоящее время, помимо классических моделей идеальной

несжимаемой или сжимаемой жидкости и газов или вязких жид­

костей и газов, имеется очень много конкретных примеров но­

вых моделей для описания явлений в жидкостях и газах приме­ нительно к движению различных суспензий, жидкостей с газо­ выми или пароными пузырьками, крови, клейких жидкостей,

всевозможных движений газов, сильно сжатых или, наоборот,

сильно разреженных, и многого другого.

Особенное значение имеют модели газовых смесей, в кото­

рых возникают явления диффузии и химических реакций. Моде­

ли газовых смесей широко используются при постановке и ре­ шении многочисленных практических задач в химической тех­

нологии, в природных явлениях, в частности астрофизике, при изучении явлений обтекания тел газом с большими сверхзвуко­

выми скоростями и во многих других вопросах. В метеорологии и

при высоких температурах в газах используются модели, в кото­

рых учитывается явление объемного излучения и логлощения

электромагнитных волн.

В настоящее время сформировались обширные разделы меха­

ники жидких, газообразных и твердых тел, в которых учитыва­ ется взаимодействие вещества и электромагнитного поля при наличии электрических токов и явлений поляризации и намаг­

ничивания тел. Описания соответствующих явлений механики и

электродинамики теперь уже составляют единую науку.

Дальнейший научный и технический прогресс будет в значи­

тельной мере связан с развитием этой единой науки, как для исследования неживой природы, так и для многообразных био­ логических задач, для проблем познания о функционировании

живых организмов.

В связи с огромным потоком предлагаемых моделей сiШош­ ных сред возникает задача разработки общих методов построе­ ния этих моделей с привлечением богатого теоретического и

экспериментального опыта, накоiШенного в математике, меха­

нике, физике, химии и биологии. В результате возник общий

метод, позволяющий строить модели сплошных сред и полей на

общих универсальных основаниях с помощью последовательных естественных усложнений с использованием успешно зареко­

мендовавших себя на практике приемов и минимально необхо­

димых допущений.

В науке хорошо известно, что все существенные новые пере­ довые идеи, изобретения и открытия подготавливаются и созре-

18

вают как результат многочисленных предварительных исследо­

ваний и обсуждений.

На практике часто говорят о случайных ситуациях, сопро­

вождающих рождение новых теорий или открытий, однако аналогичные случайности могли многократно наблюдаться или

даже высказываться бездоказательно гениальными учеными или просто фантазерами и раньше, но явные деловые формули­

ровки соответствующих идей и выводов становятся возмож­

ными только после нужной исторической подготовки. В связи с этим целесообразно иметь в своем распоряжении базисную опору, в которой естественным образом в сравнительной фор­

ме в явном виде концентрируются подготовленные к данному

времени методы, опыты и идеи об известных и о разрабатыва­

емых схематизированных механизмах физических взаимодей­ ствий в окружающей природе.

В свою очередь подобные базисные соотношения и общие

методы также являются плодом исторического развития науки;

они также постоянно совершенствуются и обогащаются новыми

методами и концепциями.

Уже много лет в механике и как соответствующее обобщение в физике известны и употребляются закон сохранения энергии, содержащий баланс всех видов трансформирующихся энергий,

исоответственно уравнение принципа возможных перемещений,

идля конечных объемовинтегральное уравнение вариацион­

ного принципа Лагранжа.

Известно, например, что во многих случаях каждое из этих

универсальных уравнений дЛЯ непрерывных явлений в простран­

стве и во времени полностью эквивалентно дифференциальным

уравнениям движения механики, а при соответствующей трак­

товке- и дифференциальным уравнениям теории поля. Уравнение принципа возможных перемещений обычно фор­

мулируется или выводится из уравнений механики для чисто

механических и электродинамических явлений. При обобщении

этих соотношений на случай присутствия внутренних степеней

свободы эти соотношения можно принять в качестве соответ­

ствующих постулатов путем задания коэффициентов при вариа­

циях искомых функций.

Подобно заданию силы в уравнении второго закона Ньютона

задание указанных коэффициентов представляет собой, в сово­ купности, задание выбираемой модели среды или поля.

Следует отметить и подчеркнуть, что если бесконечно малые

возможные вариации искомых функций совпадают с малыми

приращениями этих функций в соответствующих действитель-

19

ных процессах, то можно показать, что для малой частицы и

для тела в целом уравнение энергии, уравнение принципа воз­

можных перемещений и интегральное вариационное уравнение

Лагранжа совпадают между собой.

В частных случаях, когда действительные бесконечно малые

приращения искомых функций могут быть произвольными (до­ статочно линейной независимости) для различных процессов, в которых коэффициенты при приращениях этих функций всякий раз независимы от этих приращений, следует, что из уравнения

энергии, так же как из уравнений принципа возможных переме­ щений и вариационного уравнения, можно вывести непосред­

ственно (при отсутствии дополнительных связей) уравнения

движения, уравнения состояния и другие уравнения физико­

химических процессов для внутренних переменных характерных

параметров.

Однако в общем случае уравнение принципа возможных пе­

ремещений и вариационное уравнение имеют более общую при­

роду, чем уравнение энергии, из которого выпадают <(гироско­

пические члены», присутствующие в уравнении принцила воз­

можных перемещений и в вариационном уравнении.

Наличие <(гироскопических членов» связано с существенной

завис·имостью коэффициентов при приращениях искомых фун­ кций от самих приращений (от действительных скоростей изме­ нения характеристических параметров). Примерам такого члена

для движущейся заряженной материальной точки может слу­

жить работа силы Лоренца. Эrа работа отлична от нуля для вир­

туальных перемещений и равна нулю для действительных пере­

мещений, направленных по скорости движения точки. Можно

показать, что уравнение Лагранжа с учетом дополнительных

членов, характеризующих внешние воздействия на частицы сре­

ды и диссипативные процессы, отличается от уравнения энер­

гии на члены вида o.Q, которые для действительных процессов тождественно обращаются в ноль.

В работе [4] развита теория построения моделей сплош­

ных сред и полей с помощью базисного уравнения в следу­ ющей форме:

где d~ - инвариантный элемент произвольнаго четырехмерно­ го объема ~ среды или поля.

20