Калашников, Н.П. Руководство к решению задач по физике Основы квантовой физики. Строение вещества. Атомная и ядерная физика

где ω – собственная частота колебаний молекулы, v = 0, 1, 2, … – квантовое число.

•Средняя энергия квантового гармонического осциллятора при температуреT :

где ω – круговая частота колебаний осциллятора, kБ – постоянная Больцмана, T – термодинамическая температура.

• Внутренняя молярная энергия кристалла (энергия тепловых колебаний кристаллической решетки) в квантовой теории теплоемкости Эйнштейна:

• Молярная теплоемкость кристалла в квантовой теории теплоемкости Эйнштейна:

В пределе бесконечно высоких температур cp →3R (закон Дюлонга и Пти).

132

собственных колебаний кристаллической решетки, приходящихся на интервал частот от ω до ω+ dω, определяется выражением:

где N — число атомов, ωmax — максимальная частота, ограничивающая спектр колебаний (т.н. дебаевская частота):

Здесь n = N /V – концентрация атомов, v – средняя скорость волны колебаний в кристалле.

•Скорости продольных (v ) и поперечных (v ) звуковых волн

вкристалле определяются по формулам

где d – расстояние между соседними атомами в решетке.

• Молярная внутренняя энергия кристалла по Дебаю:

133

Здесь U0 = 98 RθD — молярная нулевая энергия кристалла по

Дебаю; θD = ωmax / kБ — характеристическая температура Дебая.

• Молярная теплоемкость кристаллической решетки по Дебаю:

(закон Дюлонга и Пти). Сравнение приближенных формул с точными показано на рис. 9.

• Результаты для тепловых свойств кристалла выписаны в предположении, что его молекулы состоят из одного атома. Если в

молекулу входят na атомов, то всерезультаты надо умножить на na .

• Энергия ε и квазиимпульс p фонона связаны с круговой частотой ω колебаний обычными соотношениями

134

значения теплоемкости неплохо описываются законом Дюлонга и Пти.

Поэтому мы приравняем первые два члена высокотемпературных разложений (3.1.4) и (3.1.14) в обеих теориях:

необходимое для нагревания кристалла NaCl массой m = 20 г на T = 2 К, если нагревание происходит от температуры:

теплоемкость, которая в общем случае есть функция температуры, поэтому за знак интеграла ее выносить нельзя. Однако в первом случае изменение температуры мало по сравнению с ее начальным значением, так что теплоемкость можно считать постоянной:

136

cp (T )≈ cp (θD ). Для вычисления последней можно применить приближенную формулу (3.1.14), откуда находим

Подставляя это значение в формулу (3.1.19), получим Подставляя это значение в формулу (3.1.19), получим

воспользоваться предельным законом Дебая (3.1.13), в согласии с которым теплоемкость пропорциональна кубу абсолютной температуры. В этом случае теплоемкость сильно изменяется в пределах заданного интервала температур и ее нельзя выносить за знак интеграла в формуле (3.1.19). Получаем в этом случае

Пример 3.1.3. Вычислить дебаевскую частоту и дебаевскую температуру для железа, если скорости распространения продольных и поперечных колебаний равны 5,85 и 3,23 км/с соответственно.

Решение. Во-первых, найдем концентрацию атомов железа, используя таблицы в последнем разделе. Плотность железа

молярный объем: Vm = μ / ρ = 7,10 10−6 м3/моль.

137

Теперь вычисляем концентрацию атомов в кристалле железа: n = NA /Vm =8, 48 1028 м-3.

Во-вторых, определим среднюю скорость звука в железе, используя соотношение (3.1.9): 3 / v2 = 2 / 32302 +1/ 58502 , откуда v = 3685 м/с.

Дебаевскую частоту находим теперь по формуле (3.1.7):

ωmax = 36853 6π2 ×8, 48 1028 = 6,31 1013 Гц.

И, наконец, вычисляем дебаевскую температуру:

θD = ωmax / kБ = 482 К.

Пример 3.1.4. Оценить давление фононов в меди при температуре T = θD , если θD = 320 К. Фононы рассматривать

как идеальный газ.

Решение. Для определения давления фононов воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона, записанным в форме

системе объемом V . Мы заменили скалярное произведение на обычное, так как импульс фонона параллелен его скорости. В качестве v мы выбираем усредненную скорость звука, а импульс

где W — полная кинетическая энергия фононов. Рассмотрим моль меди. Ее молярный объем находим с

использованием таблиц в последнем разделе, разделив молярную массу μ на плотность ρ :

138

Полную кинетическую энергию W фононов можно найти: 1) вычитая из молярной энергии U кристалла энергию U0

нулевых колебаний и 2) уменьшая результат в два раза (так как на кинетическую энергию фононов приходится ровно половина

полной энергии): W = (U −U0 )/ 2 . Получаем тогда

(интеграл в правой части взят численно). Находим окончательно

Пример 3.1.5. Определить среднее число фононов в моде упругих колебаний кристаллической решетки, для которой спектральная плотность числа фононов максимальна. Считать

выполненным условие T < 0,5θD .

Решение. Определим частоту моды, соответствующей максимальной спектральной плотности числа фононов. Функцию

спектральной плотности числа фононов f (ω) получим, перемножая спектральную плотность фононных мод D (ω) на среднее число фононов в моде < n >:

Для упрощения последующих преобразований произведем замену k ωT = x . После этого имеем

Б

139

Решая полученное трансцендентное уравнение методом последовательных приближений, находим xmax =1,59 , т.е. частота моды, соответствующей максимуму функции спектральной

Тогда искомое среднее число фононов в этой моде вычисляется согласно соотношению

Пример 3.1.6. Атом может находиться в любом из двух квантовых состояний с разностью энергий Е. Построить качественную зависимость удельной теплоемкости С ансамбля таких атомов от абсолютной температуры Т. Рассмотреть поведение теплоемкости в предельных случаях T → 0 и T →∞.

140