Калашников Руководство к решению задач по физике 2012
.pdfРадиус первой орбиты (боровский радиус) (n =1) в атоме водорода (Z =1)
r1 = a = 4πεme02 2 = 0,529 10−10 м.
Выражение для скорости:
v |
n |
= |
/ mr = |
Ze2 |
1 |
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
n |
4πε0 |
r |
|
||
|
|
|
|
|
|||
Произведя вычисления по этой формуле, для п = 1 найдем
v1 =2,18Мм/с.
Пример 2.3.5. Какой радиус имела бы 1s – оболочка воображаемого атома из нейтрона и электрона, связанных между собой силой только гравитационного взаимодействия?
Решение. |
Из |
условия |
равенства |
сил G |
Mm |
= m |
V 2 |
имеем |
||||||||||||
r2 |
|
r |
||||||||||||||||||
GM =V 2r . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Применяя квантовый |
|
постулат |
Н.Бора, |
|
|
находим |
||||||||||||||
V = |
n |
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
2 |
|
|
n2 |
2 |
|
|
|
|||
|
. |
Таким |
образом, |
GM =V |
|
r = |
|
|
|
r = |
|
|
|
|
. |
Отсюда |
||||
mr |
|
|
|
2 |
r |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
mr |
|
|
|
m |
|
|
|
|||||
при |
n =1 |
получаем r = а = |
n2 2 |
|
≈1, 2 1029 м = 0, 24 1040 r , |
|||||||||||||||
GMm2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|||
(где rБ = 5, 29 10−11 м).
Пример 2.3.6. Атом водорода поглощает фотон, вследствие чего электрон, находившийся на второй боровской орбите (п = 2),
вылетает из атома со скоростью ve =6 105 м/с. Чему равна
частота поглощенного фотона?
Решение. На основании закона сохранения энергии можно записать
εф = hν = E + |
m |
v2 |
, |
(2.3.21) |
e |
e |
|||
|
2 |
|
|
|
51
где E – максимальная энергия, при сообщении которой электрону последний покидают атом водорода. Эта энергия определяется из сериальной формулы для водорода:
|
1 |
|
1 |
|
, |
||
E = Ei |
|
|
− |
|
|
|
|
|
2 |
m |
2 |
||||
n |
|
|
|
|
|
||
где Ei =13,6 эВ – энергия ионизации атома водорода. Таким образом, выражение для частоты фотона имеет вид
hν = |
|
E |
1 |
− |
1 |
|
+ |
m v2 |
|
||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
e e |
. |
(2.3.22) |
|||
|
|
|
2 |
m |
2 |
2 |
|||||||
|
|
n n |
|
|
|
|
|
|
m → , |
||||
В конечном состоянии |
электрон |
– свободный, т.е. |
|||||||||||
поэтому ν =1,07 1015с−1 .
Пример 2.3.7. Напишите простейшую формулу для энергии связи электрона, находящегося на К - оболочке, с ядром атома, имеющим заряд Z. Рассмотрите, как изменится (увеличится или уменьшится) эта энергия связи, если учесть: а) релятивистскую поправку;
б) эффект экранировки центрального поля остальными электронами; в) конечный размер ядра.
Решение. Энергия связи дается выражением
ε = |
me e4 Z 2 |
2 . |
|
32π2 ε0 |
(2.3.23) |
а. При учете релятивистской поправки масса электрона увеличивается; следовательно, энергия связи увеличивается (а энергетический уровень – опускается).
б. Экранировка уменьшает заряд ядра или эффективное значение Z; следовательно, энергия связи уменьшается.
в. Если распределение заряда в ядре считать однородным и сферически симметричным, то потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром будет такая же, как и для электрона на определенной орбите в боровской модели.
Однако, согласно квантовомеханическим представлениям, имеется некоторая конечная вероятность попадания этого электрона внутрь ядра атома.
52
Отсюда следует, что учет конечного размера ядра атома приводит к уменьшению энергии связи.
Пример 2.3.8. Электрон в модели Н.Бора, двигаясь в атоме, испытывает кулоновскую силу притяжения со стороны ядра. Можно ли создать внешнее электрическое поле, чтобы ионизовать атом водорода? Практически осуществимые напряженности электрического поля лежат в пределах
107 −108 В/м.
Решение. Напряженность поля, в котором движется электрон,
E = |
e |
|
, где |
r – радиус электронной орбиты по |
|
4πε |
|
r2 |
|||
|
0 |
|
Б |
||
|
|
Б |
|
|
|
«классической» теории Н.Бора. В основном состоянии атома
водорода радиус орбиты |
r =5,29 10−11 |
м. Таким образом |
|
Б |
|
напряженность поля, действующего на электрон со стороны ядра составляет E = 5,15 1011 В/м, что на несколько порядков
превышает практически достижимые напряженности поля. Однако, если электрон движется по круговой орбите, которой соответствует главное квантовое число, отличное от единицы, то радиус такой
орбиты определяется соотношением (см. пример 2.3.4) r = rБ n2 и
напряженность поля оказывается обратно пропорциональной n4 . Если, например n =10 , то напряженность поля оказывается в пределах достижимых значений. В экспериментах действительно удается наблюдать ионизацию электрическим полем высоковозбужденных атомов водорода.
Пример 2.3.9. Определить энергию фотона εф ,
соответствующего второй линии в первой инфракрасной серии (т= 3, серия Пашена) атома водорода.
Решение. Энергия фотона εф , излучаемого атомом водорода
при переходе электрона с одной орбита на другую (согласно постулату Бора), равна
|
1 |
|
1 |
|
|
||
εф = Ei |
|
|
− |
|
|
|
, |
|
2 |
m |
2 |
||||
n |
|
|
|
|
|
||
53
где Ei = 13,6 эВ – энергия ионизации атома водорода; п = 1, 2, 3, … –
номер |
орбиты, |
на |
которую |
переходит |
электрон; |
m=n+1, |
n+2,...n+k |
– номер орбиты, с которой |
переходит |
||
электрон; k – номер спектральной линии в данной серии. Для серии Пашена п = 3; для второй линии этой серии k = 2, т.е. m =n+k =5. Подставив численные значения, находим энергию фотона:
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
−19 |
|
|
ε |
|
= E |
|
|
− |
|
|
|
= 0,97 эВ=1,55 10 |
|
Дж. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ф |
i |
|
2 |
|
(n + k ) |
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 2.3.10. Определить скорость, которую приобретает атом водорода в результате излучения кванта света при переходе электрона со второго уровня на первый, насколько благодаря этому увеличится длина волны излучаемого кванта?
Решение. Применим законы сохранения энергии и импульса в системе координат, где атом водорода до излучения покоился. В результате имеем
|
|
E1 = E2 + |
m0v2 |
+ |
(ω− Δω); |
|
|||||
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
(2.3.24) |
|||
|
|
0 = M 0v − |
|
|
(ω− Δω), |
|
|||||
|
c |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где E1 и E2 – энергия стационарных состояний электрона, между |
|||||||||||
которыми совершается переход; M 0 – масса атома водорода; v |
– |
||||||||||
скорость его отдачи. Учитывая, что |
|
E1 −E2 = ω и ω |
ω, |
||||||||
находим |
ω |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
v = |
= 0, 0325 м/с; |
Δλ = |
|
|
= 6, 6 10−6 Å. |
|
|||||
|
|
M |
0c |
|
|||||||
|
M 0c |
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 2.3.11. Атомы, летящие со скоростью v , излучают в направлении движения фотоны с частотой ν . С какой частотой излучается фотоны в направлении: а) противоположном движению атомов; б) перпендикулярном движению атомов? Считать, что импульс фотона много меньше импульса атома.
54
Решение: а) При излучении фотона в направлении движения атома
|
Mv2 |
M (v − v)2 |
+hν+ E , Mv = M (v − |
v)+ |
hν |
|
|
|
|
= |
|
|
, (2.3.25) |
||
2 |
2 |
c |
|||||
где М – масса атома, |
v – изменение скорости, E – изменение |
||||||
внутренней энергии атома.
При получении фотона в направлении, противоположном движению атома,
Mv |
2 |
′ |
2 |
′ |
|
|
|
|
|
|
hν′ |
|
|
M (v + v ) |
|
|
|
Mv = M (v + |
v′)− |
|
|||||
|
= |
|
|
+hν +ΔE , |
|
, (2.3.26) |
||||||
2 |
2 |
|
||||||||||
|
c |
|||||||||||
где |
v′– изменение скорости атома, ν′ – искомая частота фотона. |
|||||||||||
При |
v, v′ << v из уравнений (2.3.25) и (2.3.26) следует |
|||||||||||
|
|
|
|
|
′ |
|
1−v / c |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ν |
= ν1+v / c ; |
|
|
(2.3.27) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) при излучении в направлении перпендикулярном движению атомов получаем
|
1 |
− |
v |
(2.3.28) |
ν′ = ν |
. |
|||
|
|
|
c |
|
2.3.3. Задачи для самостоятельной работы
Задача 2.3.1. Определить радиус атома в модели Томсона, чтобы атом излучал волну λ = 500 нм. Сколько спектральных
линий может излучать атом с одним электроном в модели
1/3
Томсона? (R = e2λ2 = 2,6 10−10 м; гармонически
4π2c2m
колеблющийся электрон излучает одну частоту)
Задача 2.3.2. Вычислить согласно модели Томсона радиус атома водорода и длину волны испускаемого им света, если известно, что энергия ионизации атома Е = 13,6 эВ.
( r =3e2 / 2E =0,16 нм; λ=(2πc / e) mr3 =0,24мкм).
55
Задача 2.3.3. В одном из экспериментов Резерфорда α-частицы (с массой 6,68·10-27 кг) имели кинетическую энергию 4,8 МэВ. На какое расстояние они могли приблизиться к ядру атома золота (с зарядом +79е)? Отдачей ядра можно пренебречь. (4,7·10-14 м)
Задача 2.3.4. Энергия ионизации (связи) внешнего электрона атома бора (105 B)= 8,26 эВ. Используя модель Бора, определить
эффективный заряд ядра Zэф для этого электрона. (Zэф =1,56 )
Задача 2.3.5. Возбужденный атом водорода в принципе мог бы иметь радиус 1,0 мм. Какое квантовое число п соответствует боровской орбите таких размеров? Какой была ее энергия? (~4300;
En = −7 10−7 эВ)
Задача. 2.3.6. Сложить массы свободного протона и свободного электрона. Как изменится полученная сумма, если обе частицы образуют атом водорода в основном состоянии?
( m/ m =1,45 10−8 ; изменение составляет ~1 10−8 )
Задача 2.3.7. Между электроном и нейроном на расстояниях
больше 10−15 м действует только гравитационная сила. Постройте модель, аналогичную модели Бора для атома водорода, и получите радиус наименьшей дозволенной орбиты. Могут ли такие «атомы» играть сколько-нибудь важную роль в природе? (Магнитными
эффектами пренебрегите.) ( R = |
2n2 / GM m2 |
R = 1, 22 1029 м; нет, |
|
n e |
|
потому что их размер превосходит размеры Вселенной)
Задача 2.3.8. Согласно классической электродинамике электрон, движущийся с ускорением an , теряет энергию на излучение по закону
dE |
|
2e2 |
2 |
|
|
|
= − |
|
an |
, |
(2.3.29) |
dt |
3(4πε0 )c3 |
где e – заряд электрона, с – скорость света. Оценить время, в течение которого электрон, движущийся в атоме водорода по
круговой орбите радиуса rв =52,9 пм, упал бы на ядро.
56
(τ≈ |
3 |
|
(4πε0 )2 |
2c2mln |
Rв |
=13 пс) |
(2.3.30) |
2 |
|
e6 |
|
||||
|
|
|
r |
|
|||
|
|
|
|
|
яд |
|
|
Задача 2.3.9. Водородный ион, пролетая через кристалл, подвергается периодическому воздействию поля кристаллографической решетки кристалла, в результате чего возможно резонансное возбуждение его уровней (эффект Окорокова). Какова должна быть скорость двукратно ионизированного атома лития, чтобы при пролете его через кристалл золота (период решетки вдоль направления движения иона лития a = 4, 07 Å) возбуждался уровень с квантовым числом
т = 2? ( v = |
3 Z 2a |
Ei = 9 Мм/с) |
|
4 |
|
Задача 2.3.10. Во сколько раз изменился период Т вращения электрона в атоме водорода, если при переходе в невозбужденное состояние атом излучил фотоны с длиной волны λ = 97,5 нм?
Задача 2.3.11. Используя теорию Бора, определить орбитальный магнитный момент электрона, движущегося по второй орбите атома водорода. ( pm = en / (2m) =1,8 10−23 A м2 )
Задача 2.3.12. Какова напряженность электрического поля ядра на первой и четвертой боровских орбитах атома водорода.
(E1 =5,13 1011 В/м; E4 =2 109 В/м)
Задача 2.3.13. Пользуясь теорией Бора, определить радиус атома водорода, когда электрон находится на стационарной орбите с квантовым числом п = 4. Найти также скорость движения
электрона на этой орбите. ( v = |
e2 |
|
1 |
; |
r = |
4πε0 |
2 |
n |
2 |
) |
4πε0 |
n |
|
|
|
||||||
me2 |
|
|
Задача 2.3.14. Определить кинетическую, потенциальную и полную энергии электрона в атоме водорода на второй боровской (п = 2) орбите.
Задача 2.3.15. Вычислить частоты вращения электрона в атоме водорода на второй и третьей стационарных орбитах. Сравнить эти частоты с частотами излучения при переходе электрона с третьей орбиты на вторую.
57
Задача 2.3.16. Определить период обращения электрона в атоме водорода на первый боровской орбите.
Задача 2.3.17. Рассмотрим воображаемый элемент Z , атомы которого являются одновалентными. Энергия связи внешнего
электрона в этом атоме равна Eсв =3,2 эВ. Известно также, что
энергии трех возбужденных уровней этого электрона составляют
–1,0; –1,4 и 2,0 эВ.
а) Какова энергия основного состояния (в эВ)?
б) Перечислить все линии в спектре излучения этого элемента. Определить энергии соответствующих фотонов в эВ?
в) Изобразите графически систему уровней валентного электрона в этом атоме.
(а – E1 =−3,2 эВ; б – трем переходам в основное состояние соответствуют h ν = 1,2; 1,8 и 2,2 эВ; двум переходам в первое возбужденное состояние отвечают hv = 0,6 и 1,0 эВ; одному
переходу |
во второе возбужденное состояние соответствует |
hν = 0, 4 |
эВ) |
Задача 2.3.18. При переходе электрона в атоме водорода с третьей стационарной орбиты на вторую излучаются фотоны, соответствующие длине волны λ = 0,652 мкм (красная линия
водородного спектра). Какую энергию теряет при этом атом водорода? ( E = hcλ = 3 10−19 Дж = 1,875 эВ)
Задача 2.3.19. Определить длину волны, соответствующую переходу в атоме водорода с четвертой орбиты на вторую.
( λ = 0, 488 мкм)
Задача 2.3.20. Атом водорода в основном состоянии поглотил квант света с длиной волны λ = 121,5 нм. Определить радиус r
электронной орбиты возбужденного атома водорода. (212 пм) Задача 2.3.21. Вычислить длину волны λ, которую испускает
ион гелия He+ при переходе со второго энергетического уровня на первый. Определить длину волны λ при таком же переходе для иона лития Li++. (30,3 нм; 13,5 нм)
58
Задача 2.3.22. Определить первый и полный потенциал Uион
однократно ионизованного гелия (Z = 2). (54 эВ)
Задача 2.3.23. Определить наибольшую λmax и наименьшую
λmin длины волны в сериях Пашена (т = 3) и Лаймана (т = 1).
Задача 2.3.24. Определить наименьшую εmin и наибольшую
εmax энергии фотона в серии Бальмера спектра водорода.
Задача 2.3.25. Фотон с энергией εγ =16,5 эВ выбил электрон из
невозбужденного атома водорода. Какую скорость v будет иметь электрон вдали от ядра атома? (1 Мм/с)
Задача 2.3.26. Фотон выбивает электрон из покоящегося атома водорода. При каком условии пренебрежение связью электрона с ядром и его движением не вызывает грубых ошибок при анализе
этого процесса? (При hν |
me4 |
|
|
; hν энергия связи |
|
32π2ε02 2 |
||
электрона) |
|
|
Задача 2.3.27. Резерфорд наблюдал, что при лобовом соударении с ядрами меди (6329 Cu ) α-частицы (42 He), обладающие
до удара энергией 5 МэВ, отлетают назад с энергией 3,9 МэВ. Определите отношение масс ядер меди и α-частиц.
Задача 2.3.28. Оценить магнитное поле, действующее на протон в атоме водорода со стороны электрона, находящегося на второй
стационарной орбите. ( B = |
μ0e(Ze2 )3 me2 |
) |
||
4π(4πε0 )3 |
5n5 |
|||
|
|
|||
Задача 2.3.29. Протон, летящий со скоростью V0 =4,6 104 м/с,
сталкивается с неподвижным свободным атомом гелия. После столкновения протон двигается в обратном направлении со
скоростью v =v0 / 2 , а атом переходит в возбужденное состояние.
59
Найти длину волны света, излучаемого атомом гелия при возвращении в
первоначальноесостояние. (λ = 32hc2 = 0,54 мкм) 3mpv0
2.4. Волновые свойства микрочастиц. Соотношения неопределенностей Гейзенберга
2.4.1.Основные понятия, законы и формулы
•Дебройлевская длина волны частицы с импульсом p:
λ = |
h |
= |
2π . |
(2.4.1) |
|
p |
|||||
|
|
p |
|
В нерелятивистском случае (v c):
p = mv = 2mEk , |
(2.4.2) |
где — масса, скорость и кинетическая энергия частицы.
В релятивистском случае
p = |
mv |
= |
1 |
Ek (Ek +2mc2 ). |
(2.4.3) |
|
1−v2 / c2 |
c |
|||||
|
|
|
|
•Из приведенных формул следует связь длины волны де Бройля
скинетической энергией частицы. В нерелятивистском случае:
λ = |
2π |
; |
(2.4.4) |
2mEk |
в релятивистском случае:
λ = |
2π c |
|
Ek (Ek + 2mc2 ) . |
(2.4.5) |
60