Калашников Руководство к решению задач по физике 2012

где , kБ – универсальные физические постоянные (Планка и Больцмана соответственно).

•Постоянной Планка называются две константы:

При дальнейшем изложении в данном пособии чаще будет

2.1.2. Методические рекомендации по решению задач

Пример 2.1.1. Оценить величину постоянной в первом законе смещения Вина.

Решение. Используя формулу Планка для излучательной способности абсолютно черного тела (2.1.10), определим λmax –

значение длины волны, на которую при данной температуре Т приходится максимум излучательной способности. Место положения максимума найдем из условия

Вводя вместо λmax новую безразмерную переменную хт

11

Решением трансцендентного уравнения является установление

Сначала обсудим приближенное решение уравнения (2.1.14).

Из (2.1.18) находим значение постоянной в первом законе

Пример 2.1.2. Изучение абсолютно черного тела может быть представлено распределением энергии либо по частотам (2.1.9), либо по длинам волн (2.1.10). В первом случае максимум

приходится на частоту ωmax , во втором – на длину волны λmax .

Определить связь ωmax с λmax при одной и той же температуре

абсолютно черного тела.

Решение. Испускательная способность абсолютно черного тела

F (ω,T )= ddRω – количество энергии, испускаемое единицей

поверхности тела в единицу времени в единичном интервале

12

частот, а f (λ,T )= ddRλ – количество энергии, испускаемое единицей поверхности тела в единицу времени в единичном

В максимуме функции f (λ,T ) второе слагаемое равно нулю, а

13

Приравнивая эту производную нулю, получаем трансцендентное

Приближенное решение этого трансцендентного уравнения

Пример 2.1.3. В модели абсолютно черного тела температура стенок полости поддерживается равной 2000 К. Площадь

отверстия S =1 мм2 . Определить мощность излучения через

это отверстие.

Решение. Воспользуемся законом Стефана–Больцмана, находим величину

где σ=5,6705 10−8 Вт/м2. К4. Производя вычисления, получаем

P = 0,91 Вт.

14

Пример 2.1.4. Исследование спектра излучения Солнца показывает, что максимум испускательной способности

соответствует длине волны λmax =500 нм. Принимая Солнце за абсолютно черное тело, определить: 1) энергетическую

Температура излучающей поверхности может быть определена из закона смещения Вина: λmaxT =b. Выразив отсюда температуру

Произведявычисленияпоформуле(2.1.25), найдем R = 64,2 МВт/м2. 2. Поток энергии Ф излучаемый Солнцем, равен произведению испускательной способности Солнца на площадь S

его поверхности:

Солнцем в единицу времени, определим, применив закон пропорциональности массы и энергии:

максимум энергии в спектре излучения абсолютно черного тела, равна 0,58 мкм. Определить максимальную испускательную

15

способность f (λmax , T ), рассчитанную на интервал длин волн

Δλ =1нм вблизи λmax.

Решение. Максимальная испускательная способность пропорциональна пятой степени температуры и выражается вторым законом Вина:

Температуру T выразим из закона смещения Вина: T =b / λmax . Подставив полученную температуру в формулу (2.1.29), найдем

Приведенное в разделе 2.1.1 значение b (2.1.6) дано в единицах СИ, в которых интервал длин волн равен 1 м. По условию же задачи требуется вычислить испускательную способность, рассчитанную на интервал длин волн 1 нм. Поэтому надо

пересчитать b2 на заданный интервал длин волн:

b2 = 1, 287 10−5 Вт/ (м3 К5 )= 1, 287 10−5 Вт/ (м2 109 нм К5 )=

Пример 2.1.6. При какой температуре с каждого квадратного сантиметра поверхности абсолютного черного тела вылетает ежесекундно в среднем по 10 фотонов в диапазоне длин волн от

λ1 =549 нм до λ2 =551нм?

Решение. Используя определение спектральной плоскости

16

находим энергию, испускаемую единицей поверхности абсолютно

где λ=550нм – средняя длина волны в заданном диапазоне. Тогда среднее число фотонов N0 , покидающих ежесекундно единицу поверхности абсолютно черного тела, определяется выражением

Пример 2.1.7. В замкнутом изолированном пространстве находится идеальный газ с концентрацией молекул п. При какой температуре объемная плотность кинетической энергии поступательного движения молекул газа равна объемной плотности энергии электромагнитного излучения абсолютно черного тела?

Решение. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы идеального газа равна

где kБ – постоянная Больцмана. При концентрации молекул n

объемная плотность кинетической энергии поступательного движения молекул газа определяется как

17

Согласно формуле Стефана–Больцмана, объемная плотность

Проиллюстрируем полученный результат числовым примером. Предположим, что концентрация молекул такая же, как при

Давлениегазаприэтихусловияхсоставляет p =nkБT =3,35 108 Па=

= 3300 атм.

Пример 2.1.8. Определить температуру абсолютно черного тела, спектральная яркость излучения которого равна яркости лазерного излучения светового диапазона с энергией в импульсе E =1 Дж. Считать, что расходимость лазерного пучка

определяется дифракцией на выходной апертуре а немонохроматичностью излучения длительностью импульса.

Решение. Предполагая, что эквивалентная температура абсолютно черного тела в световом диапазоне является высокой

ωkБТ , воспользуемся для оценки температуры классической

формулой Релея–Джинса. В этом приближении поток излучения абсолютно черного тела равен (количество энергии, испускаемое единицей поверхности тела в единицу времени в единичном интервале частот):

18

rω (T )= 4πω22c2 kБT .

Спектральная яркость лазерного излучения, как и любого источника, по определению есть плотность потока излучения qω

единицы поверхности в единичном интервале частот и в единичном телесном угле:

Спектральная яркость излучения связана с энергией излучения соотношением

лазерного пучка определяется дифракцией на выходной апертуре, то

Приравнивая поток излучения абсолютного черного тела и

В заключение следует отметить, что условие применимости

19

Пример 2.1.9. Предположим, что Земля и Солнце полностью поглощают падающее на них электромагнитное излучение и Земля находится в равновесном состоянии при температуре Т.

мощности излучения абсолютно черного тела, имеющего температуру Т, равна

E (T )= σT 4 ,

где σ = 5,67 10−8 Вт/м2·К4 – постоянная Стефана–Больцмана.

Применяя к излучению закон обратных квадратов, находим плотность мощности солнечной радиации на Земле:

которая предполагается равной мощности теплового излучения Земли:

Таким образом, приравнивая мощность теплового излучения Земли и поглощенную мощность Солнечного излучения, находим

Следовательно, полученное значение T ≈280 К не значительно

отличается от комнатной температуры.

Пример 2.1.10. Сферический спутник радиусом r , окрашенный в черный цвет, вращается по круговой орбите вокруг Солнца.

Расстояние между спутником и центром Солнца равно D .

20