Калашников Руководство к решению задач по физике 2012

μБ = 2eme = 5,788 10−5 эВ/Тл =0,927 10−23 Дж/Тл,

где μБ – магнетон Бора.

• Гиромагнитное отношение для орбитальных магнитного и механического моментов:

где s – спиновое квантовое число (для электрона s =1/ 2 ), а ms –

• Гиромагнитное отношение для спиновых магнитного и механического моментов:

т.е. спиновый момент обладает двойным магнетизмом по сравнению с орбитальным.

• Принцип Паули: в атоме не может находиться два (и более) электрона, характеризуемых одинаковым набором четырех квантовых чисел: n, l, ml , ms .

• Кратность вырождения энергетических уровней атома равна 2n2 (2 — за счет двух возможных направлений проекции спина электрона, n2 — число состояний с различными l, ml при

101

фиксированном n).

• Распределение электронов по состояниям в атоме записывается с помощью спектроскопических символов

Электронная конфигурация записывается следующим образом: перед спектроскопическим символом ставится значение главного квантового числа n , а справа вверху – количество электронов в

данном состоянии (единица обычно опускается). Например: 1s –

• Оболочкой называется совокупность уровней с одинаковым значением главного квантового числа n . Традиционные обозначения: K, L, M , N, O, P, Q,... для n =1, 2 ,3, 4, 5, 6, 7,...

соответственно.

Подоболочка — совокупность состояний с данными значениями n и l .

Максимальное число электронов, помещающихся на данной оболочке, равно 2n2 ; максимальное число электронов, помещающихся на данной подоболочке, – 2 (2l +1):

K-оболочка– однаподоболочка, дваэлектрона, конфигурация 1s2. L -оболочка – две подоболочки, всего восемь электронов,

конфигурация 2s2 , 2 p6 .

M-оболочка – три подоболочки, всего 18 электронов, конфигурация 3s2 , 3 p6 , 3d10 .

• Порядок заполнения уровней в атомах:

1s 2s, 2 p 3s, 3p 4s, 3d, 4 p 5s, 4d, 5p 6s, 4 f , 5d, 6 p ,....

Знаком отделены периоды таблицы Д. И. Менделеева.

102

● Проекция магнитного момента атома на направление внешнего магнитного поля (совпадающего с осью Z)

где mJ – полноемагнитное квантовоечисло ( mJ = J, J −1, ...,−J ).

103

● Спектр щелочных металлов определяется соотношением

где R – постоянная Ридберга, α – ридберговская поправка. ● Закон Мозли:

104

где β – коэффициент квазиупругой силы.

● Нулевая собственная волновая функция одномерного

принимать любые целочисленные значения.

● Разность энергий двух соседних колебательных уровней

105

● Максимальное значение квантового числаυ

● Момент инерции двухатомной молекулы относительно оси, проходящей через ее центр инерции перпендикулярно прямой, соединяющей ядра атомов,

где μ – приведенная масса молекулы; d – межъядерное

расстояние.

● Энергия вращательного движения двухатомной молекулы

2.6.2. Методические рекомендации по решению задач

Типичными для этого раздела являются задачи на использование волновых функций электрона в водородоподобном атоме. При решении таких задач часто встречается интеграл от произведения экспоненциальной функции на произвольную степень переменной интегрирования. Поэтому мы включаем ряд чисто математических упражнений, результаты которых используются при решении физических задач на данную тему.

Пример 2.6.1. Вычислить интеграл In = ∞∫dr rne−λr , где

0

параметр λ > 0 ,а n – произвольное натуральное число.

106

Решение. Рассмотрим интеграл при n = k , где k ≥1 – произвольное целое число, и применим к нему формулу интегрирования по частям:

Сокращая слева и справа I1 ,..., In−1 , получаем

С помощью формулы (2.6.36) вычисляются и аналогичные интегралы с конечными пределами интегрирования.

107

Пример. 2.6.2. Вычислить интеграл I2 (R)= ∫R dr r2e−λr .

0

Решение. Нам надо свести этот интеграл к интегралу по бесконечной полуоси. Для этого прибавим и отнимем этот же интеграл, взятый в пределах от R до ∞.. Получаем

I2 (R)= ∞∫dr r2e−λr − ∞∫dr r2e−λr .

предыдущей задаче. Во втором интеграле делаем замену переменных r = x + R :

I2 (R)= I2 −e−λR ∞∫dx (x + R)2e−λx .

0

Если теперь раскрыть (x + R)2 в подынтегральном выражении

и вынести степени R , не зависящие от переменной интегрирования x то получится сумма интегралов вида In (n = 0,1, 2):

I2 (R)= I2 −e−λR (I2 + 2RI1 + R2 I0 ),

что после подстановки выражений (2.6.36) для I0 , I1, I2 принимает вид

Пример 2.6.3. Атом водорода находится в состоянии 1s . Определить вероятность W пребывания электрона в атоме внутри сферы радиусом r = 0,1aБ ( aБ – радиус Бора).

Решение. Искомая вероятность равна интегралу от плотности вероятности (2.6.6). С учетом выражения (2.6.5) для волновой функции в 1s -состоянии Z =1, получаем

108

где мы сделали замену переменных r = aБ x , чтобы перейти к

безразмерной величине x .

Мы могли бы далее воспользоваться результатом примера 2.6.2 для интеграла I2 (R) при и λ = 2 и R = 0,1. Однако, с учетом

малости R , мы можем заменить экспоненту под знаком интеграла на первые члены ее разложения в ряд:

=1,333 10−3 − 2, 000 10−4 +1, 6 10−5... =1,149 10−3 .

Отброшенные члены разложения имеют порядок, (0,1)6 , т.е. мы можем быть уверены в нашем ответе с точностью до последнего показанного знака: W = (1,149 ± 0,001) 10−3 . И действительно, точный расчет дает для W значение W = 0,1485 10−3 .

В общем случае радиального возбуждения вероятность Wn (R ) найти электрон внутри сферы радиусом R дается выражением

0

Поведение Wn (R ) для n =1, 2 показано на рис. 4.

109