Важным свойством эллиптической кривой является возможность представления множества точек кривой в виде группы.
11.2. Группа точек эллиптической кривой
Рассмотрим эллиптическую кривую Е (рис. 11.1), определенную над множеством вещественных чисел и соответствующую
уравнению
y2 + y = x3 – x2.
На этой кривой лежат только четыре точки, координаты которых (рис. 11.1) целые числа. Это точки
А(0, 0), В(1, –1), С(1, 0) и D(0, –1).
Покажем, что эти четыре точки в совокупности с бесконечно удалённой точкой О образуют группу. Для этого введем для них операцию сложения. Для определения операции сложения на группе точек эллиптической кривой будем считать, что:
на плоскости существует бесконечно удаленная точка О E, в которой сходятся все вертикальные прямые; касательная к кривой пересекает точку касания Р два раза (это допущение становится понятным, если вспомнить, что касательная PR суть предельное положение секущей PM (рис. 11.2) при стремлении точки М к точке Р).
Теперь можно сформулировать правила сложения точек
P, Q E:
проведем прямую линию через точки P и Q, найдем третью точку S пересечения этой прямой с кривой Е;
проведем через точку S вертикальную прямую до пересечения с кривой E в точке T;
искомая сумма равна P + Q = T (рис. 11.3).
Применив это правило к группе точек G = {A, B, C, D, O}, получим
A + A = B, A + B = C, A + C = D, A + D = O,
т.е. определенная нами операция сложения удовлетворяет условию замкнутости. Кроме того,
2А = В, 3А = С, 4А = D, 5А = О, 6А = А (рис. 11.4),
иначе говоря, группа является циклической. Аналогично можно проверить и остальные свойства группы. Для любых точек P, Q G справедливо P + Q = Q + P. Для любой точки P G
