Ермолаева Физика разделы Колебания и волны Оптика 2015

Максимальная энергия, которую могут иметь электроны прово- димости в кристалле при 0 К, называется энергией Ферми и обо- значается εF. Наивысший энергетический уровень, занятый элек- тронами, называется уровнем Ферми.

Распределение Ферми по энергиям для свободных электронов в металле:

где dn(ε) – концентрация электронов, энергия которых заключена в интервале значений от ε до ε + dε; m и ε – масса и энергия элек- трона; εF – уровень (или энергия) Ферми.

Уровень (или энергия) Ферми в металле при Т = 0

2.1.8. Строение атомных ядер, радиоактивность. Закон радиоактивного распада

Массовое число атомного ядра (число нуклонов в ядре) равно

где N0 – начальное число нераспавшихся ядер; N – число нерас- павшихся ядер в момент времени t; λ – постоянная радиоактивного распада.

Период полураспада (промежуток времени, за который число

Среднее время жизни радиоактивного ядра, т.е. время, за кото- рое число нераспавшихся ядер уменьшается в e раз, равно

91

Активность радиоактивного изотопа определяется по формуле

Удельная активность изотопа равна

m

где m – масса радиоактивного источника.

(2.64)

где J0 – плотность потока частиц, падающих на поверхность веще- ства; J – плотность потока частиц после прохождения слоя веще- ства толщиной х; µ – линейный коэффициент ослабления.

Слой половинного ослабления (при его прохождении интенсив-

ность γ-лучей уменьшается в два раза):

Доза излучения (поглощенная доза излучения):

где W – энергия ионизирующего излучения, переданная элементу облученного вещества; m – масса этого элемента.

Доза излучения выражается в греях (1 Гр = 1 Дж/кг).

Мощность дозы излучения (мощность поглощенной дозы излу- чения)

где ∆t – время, в течение которого была поглощена элементом об- лучения доза излучения ∆D.

Мощность дозы излучения выражается в греях в секунду (Гр/с). Экспозиционная доза фотонного излучения (экспозиционная до- за гамма- и рентгеновского излучения) – это величина, равная от-

92

ношению суммы электрических зарядов ∆Q всех ионов одного зна- ка, созданных электронами, освобожденными в облученном воз- духе при условии полного использования ионизирующей способ- ности электронов, к массе ∆m этого воздуха:

X = ∆Q/∆m. (2.68)

Единица экспозиционной дозы – кулон на килограмм (Кл/кг). Экспозиционная доза рентгеновского и γ-излучения, падающего

на объект, экранированный защитным слоем толщиной х:

где Х0 – экспозиционная доза при отсутствии защитного слоя.

Экспозиционная доза γ-излучения, падающего за время t на объ-

ект, находящийся в воздухе на расстоянии R от источника:

где X′ – мощность экспозиционной дозы на расстоянии, равном единице.

2.1.10. Дефект массы, энергия связи и удельная энергия связи ядра. Ядерные реакции, энергия ядерных реакций

При решении задач на ядерные реакции применяют законы со- хранения: 1) электрического заряда, 2) суммарного числа нуклонов, 3) энергии, 4) импульса. Первые два закона позволяют правильно записать ядерные реакции даже в тех случаях, когда одна из ча- стиц – участниц реакции или ее продуктов не дана. С помощью двух других законов находят кинетические энергии частиц – про- дуктов реакции, а также направление их разлета.

Дефект массы атомного ядра равен

где Z – зарядовое число, A – массовое число; (A – Z) – число нейтронов в ядре; тр – масса протона; тп – масса нейтрона; тя – масса ядра.

93

Энергия ядерной реакции (или тепловой эффект реакции)

где Σm, Σm′ – суммы масс покоя частиц до и после реакции.

2.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 2.1. Кинетическая энергия электрона равна 1,02 МэВ. Вычислить длину волны де Бройля этого электрона.

где λ – длина волны, соответствующая частице с импульсом р; h – постоянная Планка.

2. По условию задачи, кинетическая энергия электрона больше

следовательно, движущийся электрон является релятивистской ча- стицей.

Ответ: λ = 0,87 10–12 м.

Задача 2.2. Средняя кинетическая энергия электрона в невоз- бужденном атоме водорода равна 13,6 эВ. По соотношению не-

94

определенностей найти наименьшую неточность, с которой можно вычислить координату электрона в атоме.

где Т – средняя кинетическая энергия электрона.

3. В (2) мы рассмотрели электрон как нерелятивистскую частицу (так как Т << m0c2 ). Сравним величины рх и р. Так как импульс р

– вектор, то формула (2) позволяет вычислить лишь модуль этого вектора, тогда как его направление остается неизвестным. Поэтому проекция рх импульса на какую-либо фиксированную ось 0х оказы- вается неопределенной (ее величина лежит в интервале ±р). Это значит, что неопределенность проекции импульса на ось 0х равна

p2mT

5.Подставим числовые значения в (4) и учтем, что 1 эВ =

=1,6 10-19 Дж:

Следовательно, наименьшая допустимая соотношением неопре- деленностей неточность хmin, с которой можно определить коор- динату электрона в атоме водорода, есть величина порядка 10-10 м.

Ответ: х ≥ 10-10 м.

Задача 2.3. Электрон находится в бесконечно глубокой прямо- угольной потенциальной яме шириной l. Вычислить вероятность

95

x1

где Ψ(х) – нормированная волновая функция, отвечающая этому состоянию.

2. Для электрона в потенциальном ящике нормированная волно- вая функция имеет вид

4. Подставим в (3) пределы интегрирования (х1 = l/3, х2 = 2l/3),

Ответ: W = 0, 195.

96

Задача 2.4. Частица массой m = 10-19 кг, двигаясь в положитель- ном направлении оси 0х со скоростью υ = 30 м/с, встречает на сво- ем пути бесконечно широкий прямоугольный барьер высотой U = = 181,25 эВ. Определите коэффициент отражения R волн де Бройля на границе потенциального барьера и коэффициент пропускания D через барьер.

2. Так как энергия частицы Е больше высоты барьера U, то ба- рьер низкий. Определим волновые числа волн де Бройля в областях

1 и 2:

3. Найдем коэффициент отражения R волн де Бройля через низ- кий потенциальный барьер бесконечной ширины (Е > U):

=281,25 − 281,25 −181,25 2 = 16,77 −10 2 = 0,064 . 281,25 + 281,25 −181,25 16,77 +10

4. Найдем коэффициент пропускания D волн де Бройля через низкий потенциальный барьер бесконечной ширины (Е > U):

Ответ: R = 0,064; D = 0,936.

Задача 2.5. Атом водорода находится в основном состоянии. Определите вероятность пребывания электрона в атоме внутри

97

2. В основном состоянии волновая функция Ψ сферически сим- метрична, т.е. зависит только от r, и поэтому

где Ψ100 (r) – собственная нормированная волновая функция.

3. Поскольку волновая функция сферически симметрична, то вероятность обнаружить электрон на расстоянии r одинакова по всем направлениям. Представим элемент объема dV, отвечающий одинаковой плотности вероятности, в виде сферического слоя ра- диусом r и толщиной dr:

dV= 4πr2dr.

4. Запишем (1) в виде

98

8. Запишем интеграл (3), пренебрегая всеми членами, возводи- мыми в степень выше первой, в виде

= 1,13 10−3.

Ответ: W = 1,13 10-3.

Задача 2.6. Электрон в возбужденном атоме водорода находит- ся в 3р-состоянии. Определите изменение магнитного момента, обусловленного орбитальным движением электрона, при переходе атома в основное состояние.

Задача 2.7. Зная функцию распределения f(р) молекул по им- пульсам, определите среднее значение квадрата импульса <р2>.

< p2 >= ∫ p2 f ( p)dp /∫ f ( p)dp .

2. Функция распределения молекул по импульсам имеет вид

99

3. Так как функция распределения нормирована на единицу, т.е.

∞

∫ f ( p)dp = 1,

0

то получим

Задача 2.8. Для исследования короткоживущего радиоактивно- го изотопа был использован счетчик импульсов. За время ∆t = = 1 мин в начале наблюдения (t = 0) было насчитано ∆n1 = 320 им- пульсов, а через промежуток времени t = 30 мин число импульсов составило ∆n2 = 46. Определите постоянную радиоактивного рас- пада λ и период полураспада T1/2 данного изотопа.

где N1 – число радиоактивных атомов к моменту начала отсчета; k – коэффициент пропорциональности (постоянный для данного при- бора и данного расположения прибора относительно радиоактив- ного изотопа).

100