Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Волков Функция Грина самосопряженной краевой задачи второго 2012

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2022

Размер:

251.11 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

Подберем такие функции y1 (x) и y2 (x) , что y1 (x) удовлетворяет уравнению (1) и краевому условию (11), а y2 (x) – уравнению (1) и краевому условию (12). Тогда

	c y	(x), a ≤ x				≤ξ;		(13)
G(x, ξ) = 1 1								(13)
	c2 y2 (x), ξ≤ x ≤b.
Из свойств 1 и 2 функции Грина имеем:
−c y (ξ) +c y			(ξ) = 0;
	1 1	2	2		1
					1
−c1 y1′(ξ) +c2 y2′(ξ) =							.
−c1 y1′(ξ) +c2 y2′(ξ) =				p0		(ξ)	.
				p0		(ξ)

Определитель этой системы

=−y1 (ξ) y2 (ξ) = −W (ξ) ≠ 0 . −y1′(ξ) y2′(ξ)

По формулам Крамера имеем:

y2 (ξ)

y2′

(ξ)

p0 (ξ)

y2 (ξ)

−W (ξ)

p0 (ξ)W (ξ)

−y1 (ξ)

−y1′(ξ)

p0 (ξ)

y1 (ξ)

−W (ξ)

p0 (ξ)W (ξ)

Подставляя (14) в (13), получим, что функция Грина имеет вид:

y1 (x) y2 (ξ)				,	a ≤ x ≤ξ;

	p	(ξ)W	(ξ)
	0
G(x, ξ) =	y	(ξ) y	(x)
	y	(ξ) y	(x)	,	ξ≤ x ≤b.
	1	2
	p	(ξ)W (ξ)
	0

(14)

(15)

Так как краевые условия (11), (12) всегда самосопряженные, то симметричность функции Грина (15) зависит от самосопряженности уравнения (1): для самосопряженного уравнения произведение p0 (ξ)W (ξ) не зависит от ξ и является константой, а числитель дро-

би, составляющей функцию Грина (15), симметричен относительно x и ξ. Для несамосопряженного уравнения (1) произведение p0 (ξ)W (ξ) зависит от ξ, и функция Грина не будет симметричной.

§ 3. ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИИ ГРИНА ДЛЯ САМОСОПРЯЖЕННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Пример 2. Построить функцию Грина для дифференциального уравнения

	xy′′+ y′= 0	(16)
при следующих условиях:
y(x)	ограничена при x →0;	(17)
	′	(18)
y(1)	= αy (1).	(18)

Решение. Сначала проверим,

что единственным решением зада-

чи (16) – (18) является функция

y(x) ≡0 ,

x [0, 1] . Действительно,

обозначая

′

получим

′

+ z =0 ,

откуда

y (x) = z(x) ,

=ln

−ln

, z = c1 / x , а значит,

y(x) = c1 ln x +c2 .

Ясно, что y(x) в этом случае удовлетворяет (17), (18) только при c1 = c2 = 0 , значит, функцию Грина для нашей задачи можно по-

строить и притом единственную.

Очевидно, что данная задача является самосопряженной, так как

p0 (x) = x , p1 (x) =1, т.е. p0 (x) ≡ p1 (x) , а краевые условия – распадающиеся. Поэтому функция Грина краевой задачи (16) – (18) будет симметричной.

Функция, удовлетворяющая (16), (17), есть y1 (x) =1 , а функция, удовлетворяющая (16), (18), будет y2 (x) = α+ln x . Тогда согласно (13) функция Грина имеет представление:

	c ,	0 < x ≤ξ;
G(x, ξ) = 1
	c2 (α+ln x), ξ≤ x ≤1.
Из свойств 1 и 2 функции Грина получим
−с +с (α+ln ξ) =0;
	1	2
c	1 = 1 .
2	ξ	ξ

Следовательно, c2 =1 , c1 =α+ln ξ, а функция Грина

α+ln ξ, 0 < x ≤ ξ;
G(x, ξ) =	ξ ≤ x ≤1.
α+ln x,

Пример 3. Найти функцию Грина краевой задачи

y′′=0;
	′	= hy(0),	h >0;
y (0)
	′	= −Hy(1),	H >0.
y (1)

Решение. Общее решение уравнения y′′= 0 – произвольная линейная функция y(x) = c1x +c2 , причем данным краевым условиям удовлетворяет лишь функция y(x) ≡0 , x [0, 1] .

Легко убедиться в том, что решение y1 (x) = hx +1 удовлетворяет

краевому условию	′	= hy(0) , а решение y2 (x) = H (x −1) −1	–
	y (0)

условию y(1) = −Hy(1) , причем они являются линейно независимыми.

Найдем определитель		Вронского для y1 (x) и y2 (x) в точке
x = ξ :
W (ξ) =	hξ+1 H (ξ−1) −1		= H +hH +h .

	h	H

Так как в нашем примере p0 (x) =1 , то согласно (15) получим

	(hx +1)(H (ξ−1) −1)	,	0 ≤ x ≤ ξ;
	H +hH +h
G(x, ξ) =	(hξ+1)(H (x −1) −1)
	(hξ+1)(H (x −1) −1)	,	ξ≤ x ≤1.
	H +hH +h	,	ξ≤ x ≤1.
	H +hH +h

Пример 4. Определить функцию Грина краевой задачи

′′	2	y(x) =0, k ≠ πn, n ];
y (x) +k
y(0) = y(1) = 0.

Решение. Сформулированная задача является самосопряженной, так как p0 (x) =1 , p1 (x) = 0 . Следовательно, выполнено условие

самосопряженности уравнения p0′(x) ≡ p1 (x) , x [0, 1] , а граничные условия являются распадающимися, т.е. самосопряженными. Заме-

тим, что	линейно независимые		решения			данного уравнения
y1 (x) =sin kx и y2 (x) =sin k(x −1)			удовлетворяют, соответственно,
условиям:	y1 (0) = 0 и y2 (1) = 0 .
Определитель Вронского в точке x = ξ
	W (ξ) =	sin kξ	sin k(ξ−1)			=
	W (ξ) =	sin kξ	sin k(ξ−1)			=
		k cos kξ k cos k(ξ−1)
	= k[sin kξcos k(ξ−1) −sin k(ξ−1)cos kξ] = k sin k .
Из формулы (15) получаем выражение для функции Грина:
	sin kxsin k(ξ−1)			,	0 ≤ x ≤ ξ;
		k sin k
	G(x, ξ) =
	sin kξsin k(x −1)			,	ξ≤ x ≤1.
		k sin k		,	ξ≤ x ≤1.
		k sin k

Пример 5. Установить, существует ли функция Грина для данной краевой задачи, и если существует, то построить ее

y′′− y =0;			(19)
	′		(20)
y(0)	= y (0);		(20)
	′	=0.	(21)
y(1)	+6 y (1)	=0.	(21)

Решение. Найдем сначала общее решение уравнения (19) и убедимся, что краевые условия (20), (21) выполняются лишь тогда, когда y(x) ≡0 . В самом деле, фундаментальная система решений

уравнения (19) состоит из функций ex и e−x , а значит, общее решение уравнения (19) имеет вид

y(x) = Aex +Be−x .

Ясно, что y(x) будет удовлетворять (20) и (21), если

A + B = A −B;

Ae + Be−1 +6( Ae −Be−1 ) =0.

Отсюда A = B = 0 и, следовательно, функцию Грина для данной задачи построить можно.

Решение y (x) =ex удовлетворяет граничному условию (20), а
1
решение y2 (x) =sh(x −1) −6ch(x −1)			удовлетворяет (21). Определи-
тель Вронского функций y1 (x) и y2 (x)				имеет вид
W (x) =	ex	sh(x −1)	−	6ch(x −1)	=

	ex	ch(x −1)	−	6sh(x −1)

=7ex (ch(x −1) −sh(x −1)) =7exe−( x−1) =7e .

Таким образом, функции y1 (x) и y2 (x) – линейно независимые,

а определитель Вронского для них является константой для всех значений x [0, 1] .

Согласно формуле (15) получим искомую симметричную функцию Грина:

	x	(sh(ξ−1) −6ch(ξ−1))	,	0 ≤ x ≤ ξ;
e
		7e
G(x, ξ) =
eξ(sh(x −1) −6ch(x −1))			,	ξ≤ x ≤1.
		7e

		15

§4. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Вследующих примерах установить, существует ли функция Грина для данной краевой задачи, и если существует, то построить ее.

1.	y′′+ y = 0;
1.
	y(0) = y(π) = 0.
	y′′= 0;
3.	y(0) = 0;
	′
	y (1) = −hy(1).

y′′+ π2 y = 0;

5.y(0) = y(1);y′(0) = y′(1).

7.	y′′−k2 y = 0, k ≠ 0;
	y(0) = y(1) =0.
	y′′− y =0;
9.		′
9.	y(0)	= y (0);
		′
	y(l) + y (l) = 0.
	y′′− y =0;
11.		′
11.	y(0)	= y (0);
		′	=0.
	y(2)	+7 y (2)	=0.

13.xy′′+ y′= 0;

y(1) = y(e) = 0.

xy′′+ y′− 1 y =0;

15.y(1) = y(2);

y′(1) = 2 y′(2).

	y′′=0;
2.		π	=	0.
	y(0)	= y	=	0.
		2
	y′′=	0;
4.		′
4.	y(0)	= y (0);
		′
	y(1) + y (1) =0.
	y′′+ y =0;
6.		π	=	0.
	y(0)	= y	=	0.
		2
	y′′− y =0;
8.	′
8.	y (0) =0;
	′	=0.
	y (1)	=0.
	y′′− y =0;
10.	′
10.	y (0) = 0;
	′
	y (2) + y(2) = 0.

12.xy′′− y′= 0;

y′(1) = y(2) = 0.

14.x2 y′′+2xy′= 0;

y(1) = y′(3) =0.

x2 y′′+ xy′− y =0;

16.y(0) <∞;y(1) =0.

xy′′+ y′=0;

x2 y′′

+2xy′= 0;

17.

y(0)

<∞;

18.

y(0)

< ∞;

′

y(l) =0.

y(1) =αy (1).

xy′′+ y′−

y = 0, n ≠ 0;

19.

y(0)

< ∞;

y(1) = 0.

Ответы.

1. Функции Грина не существует.

ξ−1 x, 0 ≤ x ≤ ξ;

G(x, ξ) =

x −1 ξ,

ξ ≤ x ≤

ξ−

, 0 ≤ x ≤ ξ;

+ h

G(x, ξ) =

x −

ξ ≤ x ≤1.

+ h

(x +1)(ξ−2),

0 ≤ x ≤ ξ;

G(x, ξ) =

(ξ+1)(x −2),

ξ≤ x ≤1.

sin π(ξ− x),

0 ≤ x ≤ ξ;

2π

G(x, ξ) =

sin π(x −ξ),

ξ≤ x ≤1.

2π

−sin x cos ξ,

0 ≤ x ≤ ξ;

6. G(x, ξ) =

ξ≤ x ≤

−sin ξcos x,

shkx shk(ξ−1)

0 ≤ x ≤ ξ;

k shk

G(x, ξ) =

shkξshk(x −1)

ξ≤ x ≤1.

k shk

−

chx ch(ξ−1)

0 ≤ x ≤ ξ;

sh1

G(x, ξ) =

chξch(x −1)

ξ≤ x ≤1.

−

sh1

−1 ex−ξ, 0 ≤ x ≤ ξ;

G(x, ξ) =

ξ−x

ξ≤ x ≤l,

−

или G(x, ξ) = −1 e−

x−ξ

, 0

≤ x, ξ≤l.

−ξ

, 0

≤ x ≤ ξ;

10.

G(x, ξ) =

−chx e

−chξ e−x , ξ ≤ x ≤ 2.

ex (sh(ξ−2) −7ch(ξ−2))

0 ≤ x ≤ ξ;

11.

G(x, ξ) =

eξ (sh(x −2) −7ch(x −2))

ξ≤ x ≤ 2.

ξ2 −4

, 1 ≤ x ≤ ξ;

12.G(x, ξ) = 2ξ2

x2 −4 , ξ≤ x ≤ 2.

2ξ2

13.	ln x(ln ξ−1),	1 ≤ x ≤ ξ;
13.	G(x, ξ) =	ξ≤ x ≤ e.
	ln ξ(ln x −1),	ξ≤ x ≤ e.

−1, 1 ≤ x ≤ ξ;

14.G(x, ξ) = 1x

−1, ξ ≤ x ≤3.

1 ≤ x ≤ ξ;

−

15. G(x, ξ) =

ξ −

−

, ξ≤ x ≤ 2.

2ξ

ξ−

0 < x ≤ξ;

2ξ

16. G(x, ξ) =

x −

ξ≤ x ≤1.

2ξ

ln ξ,

0 ≤ x ≤ξ;

17.

G(x, ξ) =

ξ≤ x ≤l.

+α−

, 0 < x ≤ξ;

18.

G(x, ξ) =

+α−

, ξ≤ x ≤1.

(xξ)

−

0 < x ≤ξ;

19. G(x, ξ) =

(xξ)

−

ξ≤ x ≤1.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1976.

2.Сансоне Д. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Т. 1. М.: Иностр. лит., 1954.

3.Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения: Задачи и примеры с подробными решениями. М.: Едиториал УРСС, 2003.

4.Васильева А.Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. М.:

Наука, 2004.

СОДЕРЖАНИЕ

§ 1. Построение функции Грина для уравнений второго порядка
с однородными краевыми условиями..................................................		3
§ 2.	Понятие самосопряженной краевой задачи..................................	9
§ 3.	Примеры построения функции Грина
для самосопряженных краевых задач................................................		12
§ 4.	Задачи для самостоятельного решения.......................................	16
Список рекомендуемой литературы...................................................		20

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.11.2022754.43 Кб1Введение в кхристианство Лектсии профессора МИФИ митрополита Илариона 2014.pdf
#
12.11.20222 Mб8Весна Сборник тестовых заданий по екологии 2012.pdf
#
12.11.20221.7 Mб3Викторов Основы медико-екологической безопасности 2011.pdf
#
12.11.20225.66 Mб6Вовченко Лабораторный практикум курса обсчей физики 2011.pdf
#
12.11.2022232.08 Кб5Волков Интеграл и преобразование Фуре Учебно-методическое 2012.pdf
#
12.11.2022251.11 Кб6Волков Функция Грина самосопряженной краевой задачи второго 2012.pdf
#
12.11.20224.14 Mб11Волченков Логическое программирование язык пролог 2015.pdf
#
12.11.20222.37 Mб5Волченков Проектирование WИНДОWС-приложениы на языке ВИСУАЛ БАСИЦ 2015.pdf
#
12.11.20225.43 Mб6Воронов Лабораторный практикум по курсу Електротехн 2012.pdf
#
12.11.20225.04 Mб14Воронов Лабораторныы практикум Мекханика 2015.pdf
#
12.11.20224.5 Mб17Воронов Лабораторныы практикум Основные законы мекханики 2015.pdf