Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Волков Интеграл и преобразование Фуре Учебно-методическое 2012

.pdf
Скачиваний:
5
Добавлен:
12.11.2022
Размер:
232.08 Кб
Скачать

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»

В.Е. Волков, Е.В. Сумин

Интеграл и преобразование Фурье

Учебно-методическое пособие

Москва 2012

УДК 517.443(076) ББК 22.161я7 И 92

Волков В.Е., Сумин Е.В. Интеграл и преобразование Фурье:

учебно-методическое пособие. М.: НИЯУ МИФИ, 2012. – 16 с.

Данная работа представляет собой учебно-методическое пособие к практическим занятиям по специальным разделам математического анализа.

В работе дано определение интеграла Фурье, преобразования Фурье, синус- и косинус-преобразований Фурье. Рассмотрено решение соответствующих примеров и приведены задачи для самостоятельного решения.

Предназначено для студентов НИЯУ МИФИ, изучающих в курсе математического анализа специальные разделы. Будет также полезно преподавателям, ведущим практические занятия.

Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, доц. НИЯУ МИФИ В.Б. Шерстюков;

канд. физ.-мат. наук, проф. МПГУ Г.Г. Брайчев

Рекомендовано к изданию редсоветом НИЯУ МИФИ

ISBN 978-5-7262-1707-9

©Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 2012

Редактор М.В. Макарова

Подписано в печать 20.06.2012. Формат 60х84 1/16 Уч.-изд. л. 1,0. Печ. л. 1,0. Тираж 940 экз.

Изд. № 003-1. Заказ № 109

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ». Типография НИЯУ МИФИ.

115409, Москва, Каширское ш., 31

§ 1. ИНТЕГРАЛ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. СИНУС- И КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

На вещественной прямой рассмотрим абсолютно интегрируемые функции:

+∞

 

f (x)

 

dx <∞ .

(1)

 

 

 

 

 

−∞

 

Будем говорить, что функция f (x) принадлежит классу L1 (−∞; +∞) , если выполняется соотношение (1). В дальнейшем бу-

дем рассматривать кусочно-гладкие ограниченные функции из класса L1 (−∞; +∞) .

Определение 1. Преобразованием Фурье (или изображением)

функции f (x) L1 (−∞; +∞) называется функция

 

 

F (x) =

1

 

 

+∞f (t)eitx dt .

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2π −∞

 

Преобразуем правую часть равенства (2):

 

F (x) =

1

+∞f (t)(costx i sin tx)dt = a(x) ib(x) ,

(3)

 

 

2π −∞

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a(x) =

 

 

1

 

+∞

f (t) cos txdt ,

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2π −∞

 

 

 

 

b(x) =

 

1

 

+∞

f (t)sin txdt .

(5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2π −∞

 

 

Таким образом,

a(x) и b(x)

– аналоги коэффициентов Фурье

при разложении функции в тригонометрический ряд Фурье.

Определение 2. Обратным преобразованием Фурье изображе-

ния F(x) называется следующий интеграл, понимаемый в смысле главного значения:

3

 

 

1

+∞F (t)eitx dt =

 

1

λ→+∞lim

λ F (t)eitx dt .

(6)

 

 

 

 

 

2π

 

 

2π −∞

 

 

 

 

 

−λ

 

Справедливо следующее утверждение:

 

 

f (x 0) + f (x +0)

 

=

 

1

 

λ→+∞lim λ F (t)eitxdt ,

(7)

2

 

 

2π

 

 

 

 

 

−λ

 

т.е. обратное преобразование

 

 

Фурье

восстанавливает

функцию

f (x) (оригинал) в точках ее непрерывности. Формула (7) называ-

ется разложением функции f (x) в интеграле Фурье, или просто

интегралом Фурье.

С учетом равенства (2) формулу (7) перепишем следующим образом:

f (x 0)

+ f (x +0)

 

1

 

λ +∞

it ( xy)

 

 

 

=

 

λ→+∞lim

∫ ∫e

 

f ( y)dy dt =

 

2

2π

 

 

 

 

−λ −∞

 

 

1+∞ λ

=lim ∫ ∫eit ( xy)dt f ( y)dy =

2πλ→+∞ −∞ −λ

=

1

λ→+∞lim

+∞

sin λ(x y)

f ( y)dy .

(8)

π

x y

 

 

−∞

 

 

Интеграл Фурье в правой части (8) называют модифицированной частичной суммой порядка λ тригонометрического ряда Фурье функции f (x) .

Принимая во внимание формулу (3), правую часть равенства (6) преобразуем следующим образом:

 

 

1

λ→+∞lim λ F (t)eitx dt =

 

 

 

2π

 

 

 

−λ

=

1

λ→+∞lim λ [a(t) ib(t)][cos tx +i sin tx]dt =

2π

 

 

−λ

 

4

=

1

 

 

λ→+∞lim

λ [a(t) costx +b(t)sin tx]dt +

 

2π

 

 

 

 

−λ

 

 

 

 

 

 

 

 

+i

1

 

 

λ→+∞lim

λ [a(t)sin tx b(t) cos tx]dt =

 

2π

 

 

 

 

 

−λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

1

lim

I

1

+i

1

lim I

2

.

(9)

 

 

 

2π

 

 

 

 

 

λ→+∞

 

 

2π λ→+∞

 

 

Учитывая (4), (5) и четность косинуса, будем иметь:

 

 

 

 

 

1

 

λ

 

 

 

+∞

 

 

+∞

 

 

 

 

 

I1 =

 

 

 

 

costx

f ( y)cos ytdy +sin tx

f ( y)sin ytdy

dt

=

 

 

2π

 

 

 

 

 

 

−λ

 

 

 

−∞

 

 

−∞

 

 

 

 

 

1

 

+∞ λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

+∞ λ

 

 

 

 

=

 

 

∫ ∫cost(x y)dt

f ( y)dy =

 

∫ ∫cost(x y)dt

f ( y)dy =

 

 

π

 

2π −∞ −λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞ 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

λ

 

 

 

 

+∞

 

 

 

+∞

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

costx

f ( y) costy dy +sin tx f ( y)sin tydy dt =

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

−∞

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2 λ[a(t)costx +b(t)sin tx] dt ;

 

 

(10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

λ

 

 

+∞

 

 

 

+∞

 

 

 

 

 

I2

=

 

 

 

sin tx

f ( y)cos yt dy costx

f ( y)sin yt dy dt =

 

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

−λ

 

−∞

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

+∞

λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

sin t(x y) dt

f ( y) dy = 0

 

 

(11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

−λ

 

 

 

 

 

 

 

в силу нечетности синуса.

Таким образом, в силу (10) и (11) из (7) и (9) вытекает, что в точках непрерывности функции f (x) справедливо представление:

f (x) =

2

+∞[a(t) costx +b(t)sin tx] dt ,

(12)

π

0

 

где a(t) и b(t) определяются равенствами (4) и (5) соответственно.

5

Формула (12) (как и (7)) называется интегралом Фурье и является аналогом разложения функции f (x) в ряд Фурье по тригоно-

метрической системе.

 

 

 

 

 

 

 

Замечание 1.

Если

f (x) L1 (−∞; +∞) – четная функция (или

f (x) L1 (0; +)

четным образом

продолжена на всю

ось), то

b(x) = 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

F (x) a(x) =

1

 

+∞ f (t)costx dt =

 

 

 

 

 

C

 

 

 

2π −∞

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

2

+∞

f (t) costx dt

(13)

 

 

π

 

 

0

 

 

 

 

косинус-преобразование Фурье функции f (x) , а формула (12) при-

нимает вид

f (x) =

2

+∞ F

(t)costx dt

(14)

π

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

обратное косинус-преобразование Фурье.

Замечание 2. Если f (x) L1 (−∞; +∞) – нечетная функция (или f (x) L1 (0; +∞) нечетным образом продолжена на всю ось), то a(x) = 0 ,

F

(x) b(x) =

1

+∞ f (t)sin tx dt =

 

 

 

S

 

 

 

2π −∞

 

 

 

 

 

 

 

=

2

+∞

f (t)sin tx dt

(15)

 

π

 

0

 

 

 

синус-преобразование Фурье функции f (x) , а равенство (12) дает

f (x) =

2

+∞ F

(t)sin tx dt

(16)

π

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

обратное синус-преобразование Фурье.

Замечание 3. В формулах (2) и (7) константы перед интегралами можно задавать произвольно при условии, что их произведение

6

равно 1 / 2π. Так, если определить преобразование Фурье функции f (x) в виде

F (x) =

1

+∞f (t) eitx dt ,

(2)

π

 

 

−∞

 

то будем иметь:

a(x) = π1 +∞f (t)costx dt ,

 

 

 

−∞

 

 

b(x) =

1

 

+∞

f (t)sin tx dt ,

π

 

 

 

 

−∞

 

 

f (x 0) + f (x +0)

= 1 λ→+∞lim

λ F (t)eitx dt ,

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

−λ

f (x) = +∞[a(t)costx +b(t)sin tx] dt ,

0

 

 

 

 

 

 

 

F (x) =

2

+∞

f (t)costx dt ,

π

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

f (x) = +∞FC (t)costx dt ,

 

 

0

 

 

 

 

F (x) =

2

+∞

f (t)sin tx dt ,

π

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

f (x) = +∞FS (t)sin tx dt .

0

(4)

(5)

(7)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

Отметим, что произведение констант перед интегралами в прямом и обратном косинус- (синус-) преобразовании Фурье также постоянно и равно 2 / π (см. (13) – (16) и (13) – (16)).

7

§ 2. ПРИМЕРЫ

Пример 1. Представить интегралом Фурье функцию

f (x) =sgn(x

Решение.

f (x) =

a) sgn(x b) , b > a .

2, x (a; b);1, x {a; b};0, x [a; b].

Согласно формулам (4), (5) и (12) будем иметь:

 

 

a(x) =

1

b 2costx dt =

2

sin tx

 

b

=

 

2 sin bx sin ax

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π a

 

 

 

π

 

 

x

 

 

a

 

 

 

π

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b(x) =

1

 

 

b 2sin tx dt =

 

2 costx

 

b

=

 

 

2

cos ax cosbx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π a

 

 

 

 

π

 

 

x

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

π

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞ 2 sin bt sin at

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 cos at cosbt

 

 

f (x) =

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

costx +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

sin tx dt =

π

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

2

+∞sin t(x a) sin t(x b) dt =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π 0

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

a

 

 

a +b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

+∞ sin t

 

 

 

cos t

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

dt

при x a , x b .

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При x = a и x = b получаем

 

f (x) =1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Представить интегралом Фурье функцию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Asin ωx,

 

 

x

 

 

 

2πn

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω

 

 

 

 

 

n `.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2πn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

Решение. В силу нечетности функции f (x) имеем (см. (15), (16)):

 

 

 

 

2πn

 

F

(x) b(x) =

2

 

ω

Asin ωt sin tx dt =

π

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

2πn

=A ω [cost(ω− x) cost(ω+ x)] dt =

π0

 

 

 

 

 

2πn

(ω− x)

sin

2πn

 

 

 

 

 

 

A sin

ω

ω

(ω+ x)

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

ω− x

 

 

 

 

ω+ x

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2πn

 

 

 

 

 

2πn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

sin

 

x

 

sin

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

ω

 

ω

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

π

 

ω− x

 

 

 

 

ω+ x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2πn

 

 

 

A

2πn

 

1

 

1

 

2Aωsin

x

 

 

 

 

 

 

ω

 

 

= −

 

sin

 

x

 

+

 

 

=

 

 

 

 

;

π

ω

ω− x

 

π(x

2

2

 

 

 

 

 

ω+ x

 

 

−ω )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞ sin

 

2πn

 

 

+∞

 

2Aω

 

ω

t

 

f (x)=

FS (t)sin tx dt =

 

 

 

sin tx dt .

 

 

π

t

2

2

 

0

 

 

 

0

 

−ω

 

 

Пример 3. Представить интегралом Фурье функцию

 

f (x) = e−α

 

x

 

,

α > 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. В силу четности функции f (x) имеем (см. (13), (14)):

FC (x) a(x) = 2 +∞e−αt costx dt = π 0

9

 

 

2

 

+∞

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

t (ix−α)

 

+∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t (ix−α)

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

Re

e

 

 

dt

=

 

 

Re

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

π

 

 

π

ix −α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

2

 

α+ix

 

 

 

2 α

 

 

=

 

Re

 

 

 

=

 

 

Re

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

π

 

 

 

π

 

 

 

+ x2

 

π α2

+ x2

 

 

 

 

α−ix

 

α2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2α +∞

costx

 

 

 

 

f (x) = FC

(t)costx dt =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt .

 

 

π

 

α

2

+t

2

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 4. Найти преобразование Фурье функции f (x) = ex2 /2 . Решение. Согласно (2) имеем:

 

1

 

 

+∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

+∞

 

 

t 2

t

2x

t

 

 

 

 

−∞

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (x) =

 

 

 

 

e t

/2

e

itx

dt =

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

2

 

 

 

2

 

d

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π −∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

1

 

 

 

+∞

 

 

p2 i 2 px

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= p

=

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

dp

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

+∞

 

 

 

2

 

 

2

 

x

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p+i

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

p

+i

 

 

 

 

x

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π −∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

x2 /2

+∞

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

y = p +i

 

 

 

x

=

 

 

 

 

 

e

 

 

 

e

dy

=

 

 

 

 

2

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

1

 

ex2 /2

 

π = ex2 /2 , т.е. F (x) = f (x) .

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отметим, что +∞ey2 dy = π

−∞

Пример 5. Найти косинусфункции

x, f (x) = 0,

интеграл Эйлера–Пуассона.

исинус-преобразования Фурье

x[0;1);

x[1; +∞).

10

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]