Волков Интеграл и преобразование Фуре Учебно-методическое 2012
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»
В.Е. Волков, Е.В. Сумин
Интеграл и преобразование Фурье
Учебно-методическое пособие
Москва 2012
УДК 517.443(076) ББК 22.161я7 И 92
Волков В.Е., Сумин Е.В. Интеграл и преобразование Фурье:
учебно-методическое пособие. М.: НИЯУ МИФИ, 2012. – 16 с.
Данная работа представляет собой учебно-методическое пособие к практическим занятиям по специальным разделам математического анализа.
В работе дано определение интеграла Фурье, преобразования Фурье, синус- и косинус-преобразований Фурье. Рассмотрено решение соответствующих примеров и приведены задачи для самостоятельного решения.
Предназначено для студентов НИЯУ МИФИ, изучающих в курсе математического анализа специальные разделы. Будет также полезно преподавателям, ведущим практические занятия.
Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, доц. НИЯУ МИФИ В.Б. Шерстюков;
канд. физ.-мат. наук, проф. МПГУ Г.Г. Брайчев
Рекомендовано к изданию редсоветом НИЯУ МИФИ
ISBN 978-5-7262-1707-9
©Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 2012
Редактор М.В. Макарова
Подписано в печать 20.06.2012. Формат 60х84 1/16 Уч.-изд. л. 1,0. Печ. л. 1,0. Тираж 940 экз.
Изд. № 003-1. Заказ № 109
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ». Типография НИЯУ МИФИ.
115409, Москва, Каширское ш., 31
§ 1. ИНТЕГРАЛ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. СИНУС- И КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
На вещественной прямой рассмотрим абсолютно интегрируемые функции:
+∞∫ |
|
f (x) |
|
dx <∞ . |
(1) |
|
|
||||
|
|
|
|||
−∞ |
|
Будем говорить, что функция f (x) принадлежит классу L1 (−∞; +∞) , если выполняется соотношение (1). В дальнейшем бу-
дем рассматривать кусочно-гладкие ограниченные функции из класса L1 (−∞; +∞) .
Определение 1. Преобразованием Фурье (или изображением)
функции f (x) L1 (−∞; +∞) называется функция
|
|
F (x) = |
1 |
|
|
+∞∫ f (t)e−itx dt . |
(2) |
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2π −∞ |
|
||||
Преобразуем правую часть равенства (2): |
|
|||||||||
F (x) = |
1 |
+∞∫ f (t)(costx −i sin tx)dt = a(x) −ib(x) , |
(3) |
|||||||
|
||||||||||
|
2π −∞ |
|
|
|
|
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a(x) = |
|
|
1 |
|
+∞∫ |
f (t) cos txdt , |
(4) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2π −∞ |
|
|
|||
|
|
b(x) = |
|
1 |
|
+∞∫ |
f (t)sin txdt . |
(5) |
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2π −∞ |
|
|
|||
Таким образом, |
a(x) и b(x) |
– аналоги коэффициентов Фурье |
при разложении функции в тригонометрический ряд Фурье.
Определение 2. Обратным преобразованием Фурье изображе-
ния F(x) называется следующий интеграл, понимаемый в смысле главного значения:
3
|
|
1 |
+∞∫ F (t)eitx dt = |
|
1 |
λ→+∞lim |
∫λ F (t)eitx dt . |
(6) |
||||
|
|
|
|
|
2π |
|||||||
|
|
2π −∞ |
|
|
|
|
|
−λ |
|
|||
Справедливо следующее утверждение: |
|
|||||||||||
|
f (x −0) + f (x +0) |
|
= |
|
1 |
|
λ→+∞lim ∫λ F (t)eitxdt , |
(7) |
||||
2 |
|
|
2π |
|||||||||
|
|
|
|
|
−λ |
|
||||||
т.е. обратное преобразование |
|
|
Фурье |
восстанавливает |
функцию |
f (x) (оригинал) в точках ее непрерывности. Формула (7) называ-
ется разложением функции f (x) в интеграле Фурье, или просто
интегралом Фурье.
С учетом равенства (2) формулу (7) перепишем следующим образом:
f (x −0) |
+ f (x +0) |
|
1 |
|
λ +∞ |
it ( x−y) |
|
|
|
= |
|
λ→+∞lim |
∫ ∫e |
|
f ( y)dy dt = |
|
2 |
2π |
|
||||
|
|
|
−λ −∞ |
|
|
1+∞ λ
=lim ∫ ∫eit ( x−y)dt f ( y)dy =
2πλ→+∞ −∞ −λ
= |
1 |
λ→+∞lim |
+∞∫ |
sin λ(x − y) |
f ( y)dy . |
(8) |
|
π |
x − y |
||||||
|
|
−∞ |
|
|
Интеграл Фурье в правой части (8) называют модифицированной частичной суммой порядка λ тригонометрического ряда Фурье функции f (x) .
Принимая во внимание формулу (3), правую часть равенства (6) преобразуем следующим образом:
|
|
1 |
λ→+∞lim ∫λ F (t)eitx dt = |
||
|
|
|
2π |
||
|
|
|
−λ |
||
= |
1 |
λ→+∞lim ∫λ [a(t) −ib(t)][cos tx +i sin tx]dt = |
|||
2π |
|||||
|
|
−λ |
|
4
= |
1 |
|
|
λ→+∞lim |
∫λ [a(t) costx +b(t)sin tx]dt + |
|
|||||||
2π |
|
||||||||||||
|
|
|
−λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+i |
1 |
|
|
λ→+∞lim |
∫λ [a(t)sin tx −b(t) cos tx]dt = |
|
|||||||
2π |
|
|
|||||||||||
|
|
|
−λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
|
1 |
lim |
I |
1 |
+i |
1 |
lim I |
2 |
. |
(9) |
|
|
|
|
2π |
|
|||||||||
|
|
|
|
λ→+∞ |
|
|
2π λ→+∞ |
|
|
Учитывая (4), (5) и четность косинуса, будем иметь:
|
|
|
|
|
1 |
|
λ |
|
|
|
+∞ |
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|||||
|
I1 = |
|
|
|
|
∫ |
costx ∫ |
f ( y)cos ytdy +sin tx ∫ |
f ( y)sin ytdy |
dt |
= |
||||||||||||
|
|
2π |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−λ |
|
|
|
−∞ |
|
|
−∞ |
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
+∞ λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+∞ λ |
|
|
|
|
||||
= |
|
|
∫ ∫cost(x − y)dt |
f ( y)dy = |
|
∫ ∫cost(x − y)dt |
f ( y)dy = |
||||||||||||||||
|
|
π |
|||||||||||||||||||||
|
2π −∞ −λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ 0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
λ |
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|||
|
|
= |
|
|
|
∫ costx ∫ |
f ( y) costy dy +sin tx ∫ f ( y)sin tydy dt = |
|
|||||||||||||||
|
|
|
π |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 ∫λ[a(t)costx +b(t)sin tx] dt ; |
|
|
(10) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
λ |
|
|
+∞ |
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
||||
|
I2 |
= |
|
|
|
∫ |
sin tx |
∫ |
f ( y)cos yt dy −costx ∫ |
f ( y)sin yt dy dt = |
|||||||||||||
|
|
2π |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−λ |
|
−∞ |
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
+∞ |
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
∫ |
∫sin t(x − y) dt |
f ( y) dy = 0 |
|
|
(11) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
−λ |
|
|
|
|
|
|
|
в силу нечетности синуса.
Таким образом, в силу (10) и (11) из (7) и (9) вытекает, что в точках непрерывности функции f (x) справедливо представление:
f (x) = |
2 |
+∞∫[a(t) costx +b(t)sin tx] dt , |
(12) |
π |
|||
0 |
|
где a(t) и b(t) определяются равенствами (4) и (5) соответственно.
5
Формула (12) (как и (7)) называется интегралом Фурье и является аналогом разложения функции f (x) в ряд Фурье по тригоно-
метрической системе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 1. |
Если |
f (x) L1 (−∞; +∞) – четная функция (или |
||||||
f (x) L1 (0; +∞) |
четным образом |
продолжена на всю |
ось), то |
|||||
b(x) = 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
F (x) ≡ a(x) = |
1 |
|
+∞ f (t)costx dt = |
|
||||
|
|
|
||||||
|
C |
|
|
|
2π −∞∫ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
= |
|
2 |
+∞∫ |
f (t) costx dt − |
(13) |
||
|
|
π |
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
косинус-преобразование Фурье функции f (x) , а формула (12) при-
нимает вид
f (x) = |
2 |
+∞ F |
(t)costx dt − |
(14) |
||
π |
||||||
|
∫ |
C |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
обратное косинус-преобразование Фурье.
Замечание 2. Если f (x) L1 (−∞; +∞) – нечетная функция (или f (x) L1 (0; +∞) нечетным образом продолжена на всю ось), то a(x) = 0 ,
F |
(x) ≡ b(x) = |
1 |
+∞ f (t)sin tx dt = |
|
||
|
|
|||||
S |
|
|
|
2π −∞∫ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
2 |
+∞∫ |
f (t)sin tx dt − |
(15) |
|
|
π |
|||||
|
0 |
|
|
|
синус-преобразование Фурье функции f (x) , а равенство (12) дает
f (x) = |
2 |
+∞ F |
(t)sin tx dt − |
(16) |
||
π |
||||||
|
∫ |
S |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
обратное синус-преобразование Фурье.
Замечание 3. В формулах (2) и (7) константы перед интегралами можно задавать произвольно при условии, что их произведение
6
равно 1 / 2π. Так, если определить преобразование Фурье функции f (x) в виде
F (x) = |
1 |
+∞∫ f (t) e−itx dt , |
(2′) |
π |
|||
|
|
−∞ |
|
то будем иметь:
a(x) = π1 +∞∫ f (t)costx dt , |
||||||||
|
|
|
−∞ |
|
|
|||
b(x) = |
1 |
|
+∞∫ |
f (t)sin tx dt , |
||||
π |
||||||||
|
|
|
|
−∞ |
|
|
||
f (x −0) + f (x +0) |
= 1 λ→+∞lim |
∫λ F (t)eitx dt , |
||||||
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
−λ |
|
f (x) = +∞∫[a(t)costx +b(t)sin tx] dt , |
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
F (x) = |
2 |
+∞ |
f (t)costx dt , |
|||||
π |
∫ |
|||||||
C |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
||
f (x) = +∞∫ FC (t)costx dt , |
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
||
F (x) = |
2 |
+∞ |
f (t)sin tx dt , |
|||||
π |
∫ |
|||||||
S |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
f (x) = +∞∫ FS (t)sin tx dt .
0
(4′)
(5′)
(7′)
(12′)
(13′)
(14′)
(15′)
(16′)
Отметим, что произведение констант перед интегралами в прямом и обратном косинус- (синус-) преобразовании Фурье также постоянно и равно 2 / π (см. (13) – (16) и (13′) – (16′)).
7
§ 2. ПРИМЕРЫ
Пример 1. Представить интегралом Фурье функцию
f (x) =sgn(x −
Решение.
f (x) =
a) −sgn(x −b) , b > a .
2, x (a; b);1, x {a; b};0, x [a; b].
Согласно формулам (4′), (5′) и (12′) будем иметь:
|
|
a(x) = |
1 |
∫b 2costx dt = |
2 |
sin tx |
|
b |
= |
|
2 sin bx −sin ax |
; |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
π a |
|
|
|
π |
|
|
x |
|
|
a |
|
|
|
π |
x |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
b(x) = |
1 |
|
|
∫b 2sin tx dt = |
|
2 −costx |
|
b |
= |
|
|
2 |
cos ax −cosbx ; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
π a |
|
|
|
|
π |
|
|
x |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
π |
x |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
+∞ 2 sin bt −sin at |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 cos at −cosbt |
|
|
||||||||||||||||||||||
f (x) = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
costx + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
sin tx dt = |
|||||||||||||
π |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 |
+∞∫ sin t(x −a) −sin t(x −b) dt = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 0 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
−a |
|
|
a +b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
4 |
+∞ sin t |
|
|
|
cos t |
x − |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
при x ≠ a , x ≠ b . |
||||||||||||||||||||
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При x = a и x = b получаем |
|
f (x) =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Пример 2. Представить интегралом Фурье функцию |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Asin ωx, |
|
|
x |
|
|
|
≤ |
2πn |
, |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
n `. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πn |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
Решение. В силу нечетности функции f (x) имеем (см. (15′), (16′)):
|
|
|
|
2πn |
|
F |
(x) ≡b(x) = |
2 |
|
ω |
Asin ωt sin tx dt = |
π |
|
∫ |
|||
S |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2πn
=A ∫ω [cost(ω− x) −cost(ω+ x)] dt =
π0
|
|
|
|
|
2πn |
(ω− x) |
sin |
2πn |
|
|
|
|
|
||||||||
|
A sin |
ω |
ω |
(ω+ x) |
|
|
|||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||
|
|
|
ω− x |
|
|
|
|
ω+ x |
|
|
|
||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πn |
|
|
|
|
|
2πn |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
A |
sin |
− |
|
x |
|
sin |
|
|
x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
ω |
|
ω |
|
|
|
||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||
|
|
π |
|
ω− x |
|
|
|
|
ω+ x |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πn |
|
|
|
A |
2πn |
|
1 |
|
1 |
|
2Aωsin |
x |
|
||||
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|||||||
= − |
|
sin |
|
x |
|
+ |
|
|
= |
|
|
|
|
; |
π |
ω |
ω− x |
|
π(x |
2 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
ω+ x |
|
|
−ω ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ sin |
|
2πn |
|
|
|
+∞ |
|
2Aω |
|
ω |
t |
|
||||||
f (x)= ∫ |
FS (t)sin tx dt = |
∫ |
|
|
|
sin tx dt . |
||||||
|
|
π |
t |
2 |
2 |
|
||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
−ω |
|
|
||||
Пример 3. Представить интегралом Фурье функцию |
||||||||||||
|
f (x) = e−α |
|
x |
|
, |
α > 0 . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Решение. В силу четности функции f (x) имеем (см. (13′), (14′)):
FC (x) ≡ a(x) = 2 +∞∫e−αt costx dt = π 0
9
|
|
2 |
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
t (ix−α) |
|
+∞ |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
∫ |
|
t (ix−α) |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= |
|
|
Re |
e |
|
|
dt |
= |
|
|
Re |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
||||
|
|
π |
|
|
π |
ix −α |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
α+ix |
|
|
|
2 α |
|
|
||||||||||||||||
= |
|
Re |
|
|
|
= |
|
|
Re |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||
π |
|
|
|
π |
|
|
|
+ x2 |
|
π α2 |
+ x2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
α−ix |
|
α2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2α +∞ |
costx |
|
|
|
||||||||||||
|
f (x) = ∫ FC |
(t)costx dt = |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt . |
|
|||||||||||||||
|
π |
|
α |
2 |
+t |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4. Найти преобразование Фурье функции f (x) = e−x2 /2 . Решение. Согласно (2) имеем:
|
1 |
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
+∞ |
|
|
t 2 |
t |
2x |
t |
|
|||||||||||
|
|
|
−∞∫ |
|
− |
2 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
−i |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
F (x) = |
|
|
|
|
e t |
/2 |
e |
itx |
dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
d |
|
|
= |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π −∞∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
1 |
|
|
|
+∞ |
|
|
− p2 −i 2 px |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
= p |
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫e |
|
|
|
|
|
|
dp |
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
+∞ |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− p+i |
x |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫e |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
p |
+i |
|
|
|
|
x |
|
= |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
π −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
−x2 /2 |
+∞ |
|
−y2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
= |
y = p +i |
|
|
|
x |
= |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
∫e |
dy |
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
= |
|
1 |
|
e−x2 /2 |
|
π = e−x2 /2 , т.е. F (x) = f (x) . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
π |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что +∞∫e−y2 dy = π –
−∞
Пример 5. Найти косинусфункции
x, f (x) = 0,
интеграл Эйлера–Пуассона.
исинус-преобразования Фурье
x[0;1);
x[1; +∞).
10