коэ / коэ экз / Методичка для задач

запрещено индуцированное излучение (коэффициент Эйнштейна В21 = 0), то

Fизл1 0, а следовательно, А21 = 0, т. е. запрещено и спонтанное излучение.

Выразив В21 через А21 и поставив выражение в Fизл1 , получим аналогичный результат: если запрещено спонтанное излучение, то запрещено и индуцированное излучение. Эти выводы подтверждают неразрывную связь всех видов оптических переходов.

1.4. Ширина и форма линий излучения

Все изложенное в 1.3 относилось к оптическим переходам, происходящим на фиксированной длине волны (частоте). Практика показывает, что реальные линии излучения и поглощения имеют конечную ширину. Рассмотрим причины этих явлений.

1.4.1. Естественная ширина и форма линий излучения

При естественных условиях частицы изолированы друг от друга, отсутствуют взаимодействия с другими частицами ансамбля. В основе получения выражения для естественной ширины спектральной линии лежит соотношение Гейзенберга или принцип неопределенности, который можно сформулировать следующим образом. Импульс p = mυ движущейся со скоростью υ частицы и ее координата х = υt не могут быть определены одновременно с точностью, превышающей некую малую постоянную величину – приведен-

ную постоянную Планка 2h . Соотношение Гейзенберга записывается в

виде: dpdx . Дифференциалы (неопределенности) импульса и координаты, соответственно, равны dp = mdυ и dx = υdt. Учтем эти выражения и перепишем соотношение Гейзенберга в другой форме:

Первые три сомножителя в (1.6) представляют собой дифференциал энергии W = 0,5mυ2, следовательно, dW = mυdυ. Тогда (1.6) запишем в виде dWdt .

Для излучающих оптических систем dW – это неопределенность энергетического состояния возбужденной частицы, т. е. разброс, или степень раз-

21

мытия, верхнего энергетического уровня dW2 (рис. 1.19). Неопределенность времени dt для излучающей частицы принимается равной времени жизни t2 частицы в возбужденном, верхнем, состоянии, которое в абсолютном исчислении мало. В итоге для излучающей частицы имеем:

Сопоставив (1.8) и (1.9), для ширины спектральной линии излучения

В естественных условиях частицы изолированы, на них не воздействуют внешние факторы и они находятся в возбужденном состоянии в течение времени жизни, которое определяется только спонтанными переходами и по-

тому называется излучательным или радиационным (tp). Ширина спектральной линии, определяемая радиационным временем, называется естественной

где gЛ – форм-фактор Лоренца; ν0 – центральная частота линии (рис. 1.20).

При ν = ν0 форм-фактор достигает максимума: gmax 2

Л

22

собой или внешними силами приводит к уширению линии излучения так, что Δν > или >>Δνе. Характер уширения спектральной линии может быть однородным или неоднородным.

1.4.2. Однородное уширение линии излучения

Однородным называется уширение линии, когда ширина и форма линии излучения одной частицы и ансамбля частиц совпадают. Иными словами, при внешних воздействиях все частицы изменяют свои спектральные характеристики одинаковым образом. При неизменном характере и степени взаимодействий изменение числа излучающих частиц вызовет изменение ампли-

туды спектральных линий: I0' I0'' I0''' и, соответственно, вида функций плотности мощности Iν g( )одн I0 , но ширина однородно уширенной линии

(Δνодн) и ее форм-фактор (g(ν)одн) останутся неизменными (рис. 1.21).

Рис. 1.21. Однородное уширение спектральной линии

23

Форма однородно уширенной линии совпадает с формой естественной линии и описывается функцией Лоренца при замене Δνе на Δνодн:

К однородному уширению приводят факторы, которые одинаково воздействуют на весь ансамбль частиц. Внешние воздействия увеличивают количество переходов сверху вниз, т. е. сокращают время жизни частицы по сравнению с радиационным временем. К таким факторам относятся:

– индуцированное излучение с частотой переходов В21w 1 ;

tизл

– столкновительные процессы между частицами в газах или в жидкостях, усиливающиеся, например, с ростом температуры и давления газа, и

Аодн >Ае, а tодн < tе. Однородные процессы сокращают время жизни частиц и увеличивают ширину линии излучения так, что Δνодн > Δνе.

1.4.3. Неоднородное уширение линии излучения

При неоднородном характере уширения форма и ширина спектральных линий отдельных частиц и ансамбля частиц не совпадают. Типичный для неоднородного уширения фактор – эффект Доплера. Для наблюдателя частота излучающих частиц будет зависеть от их скорости υ и направления движе-

ния: ν = ν0(1 + υ/с), причем скорость может быть больше или меньше нуля, а

частоты больше или меньше ν0 (рис. 1.22).

24

С учетом допущений и введения обозначения Т (ν0υ0 )/с получим: g(ν)нд = с(ν0υ0 )–1 exp {– [с(ν – ν0)/(ν0υ0)]2} =

щая спаду g(ν)нд в е раз. Удобнее пользоваться шириной спектральной ли-

нии, измеренной на половинном уровне gmax. Поэтому вводят понятие до-

плеровской ширины линии Δνд (рис. 1.24).

g(ν)нд = gmax /2, а значит экспонента в (1.11) должна равняться 0,5 и тогда

факторы, приводящие к однородному или неоднородному уширению, действуют на частицы одновременно. В конкретных условиях итоговый результат зависит от превалирования того или иного типа уширения. Так, например, в газовой среде гелий-неонового лазера для перехода с длиной волны

633 нм доплеровская ширина линии намного превышает Δνодн, и уширение в целом носит неоднородный характер. Для инфракрасного перехода с λ = 3391 нм значения Δνд и Δνодн близки, что соответствует однородному уширению спектральной линии.

26

1.4.4. Дифференциальные и интегральные коэффициенты Эйнштейна

Функция спектральной плотности мощности любой однородно или неоднородно уширенной линии излучения полностью описывается соответ-

ствующим форм-фактором и амплитудой I0 линии I g( )I0 . Система, содержащая множество частиц, по-разному излучает на разных частотах, следовательно, количество переходов (вероятности излучения по Эйнштейну) на этих частотах различны. Тогда коэффициент, характеризующий спонтанное излучение частицы, должен быть различным для отличающихся частот, т. е.

частотно-зависимым: А ( ) f ( ) F ( ) . Коэффициент А21( ) называют

21 сп

дифференциальным коэффициентом Эйнштейна для спонтанного излучения частицы. Но если спонтанное излучение – частотно-зависимый процесс, а спектральная линия описывается форм-фактором g(ν), то должно выполняться соотношение А21( ) g A21. Общее количество спонтанных пере-

ходов частицы известно: Fсп1 А21 t1 , и оно должно равняться суммарно-

2

му, интегральному количеству переходов на всех частотах в пределах спектральной линии:

где А21(ν), А21 – дифференциальный и интегральный коэффициенты Эйнштейна для спонтанного излучения.

Из (1.12) вытекает так называемое условие нормировки: g( )d 1.

Итак, спонтанное излучение – частотно-зависимый процесс. Но спонтанные и индуцированные процессы взаимно обусловлены. И если А21( ) f ( ) , то и коэффициенты Эйнштейна для индуцированного излучения и вынужденного поглощения должны быть функциями частоты. Для произвольной фиксированной частоты количество излучательных индуцированных переходов частицы в единицу времени может быть найдено как B21( ) f ( ) g B21, где В21(ν), В21 – дифференциальный и интегральный коэффициенты Эйнштейна для индуцированного излучения. Аналогично для вынужденного поглощения можно записать: B12 ( ) g B12 . Из изложенного следует важный вывод: формы спектральных линий излучения и поглощения одинаковы.

27

2.УСИЛЕНИЕ ОПТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

2.1.Прохождение оптического излучения через вещество

Рассмотрим однородную оптическую среду, параметры которой неизменны во времени и пространстве. Предположим, что среда идеально про-

зрачная, и ее показатель поглощения χп = 0 [м–1]. Пусть эта среда протяженностью L и сечением dS пронизывается вдоль оси z потоком квантов с частотой ν и спектральной плотностью мощности Iν (рис. 2.1). При z = 0 падающий начальный поток P0 = IνdS = I0dS, при z = L выходной поток определяется ве-

личиной PL = IL dS.

Рис. 2.1. Распространение излучения в слое вещества

Оценим изменение мощности Рν падающего излучения при прохождении слоя вещества толщиной dz. Спонтанное и индуцированное излучения увеличивают поток квантов, вынужденное поглощение – уменьшает. С уче-

том этого Рν = Рсп(ν) + Ринд(ν) – Рп(ν) = n2dVg(ν)A21hν + n2dVg(ν)B21 wν hν –

– n1dVg(ν)B12wνhν, где объем dV = dS dz. В направлении оси z превалирует индуцированное излучение, поскольку спонтанное излучение – разнонаправленное – излучается равновероятно во все стороны и им можно пренебречь. Поделив обе части выражения для Рν на dS, перейдем к приращению плот-

ности мощности и учтем, что B12 = B21, а плотность мощности для направ-

ленного излучения в вакууме Iν = c wν:

С учетом единиц измерения dz [м] и (n2 – n1) [м–3] – разности концентраций частиц на верхнем и нижнем уровнях получим, что произведение первых пяти сомножителей в (2.1) должно выражаться в единицах площади [м2]. Это произведение называют сечением индуцированных переходов:

28

2.2. Инверсия населенностей и активные среды

Рассмотрим три случая возможного соотношения концентраций частиц на верхнем n2 и нижнем n1 энергетических уровнях.

1. Пусть n1 > n2. Тогда n2 – n1 < 0 и в соответствии с (2.3) dIν < 0, т. е. поток квантов в слое вещества ослабляется. Происходит поглощение излучения. Такие условия реализуются при термодинамическом равновесии, когда распределение частиц по энергетическим уровням подчиняется функции Больцмана: ni = gi n0 exp(– Wi/kT) (рис. 2.2). При ТДР концентрация n1 ча-

стиц на нижнем энергетическом уровне всегда больше, чем концентрация n2

dIν > 0 – происходит усиление опти- 1 – равновесное; 2 – неравновесное ческого излучения.

Формально условие n2 > n1 реализуется, если в функцию Больцмана подставить отрицательную абсолютную температуру (рис. 2.2, кривая 2), что является физическим абсурдом. Нарушение ТДР для всей системы осуществлено быть не может, но может быть реализовано выборочно для какой-то па-

29

ры энергетических уровней. В этом случае говорят о создании инверсной (перевернутой) населенности уровней. Оптические среды, в которых возможно образование инверсной населенности, называют активными, усиливающими или инверсными средами. Активные среды (АС) могут быть созданы на основе газов, жидкостей, оптических кристаллов и диэлектриков или полупроводников.

Произведение сомножителей перед Iν в (2.3) называется показателем

усиления активной среды χус = σинд (n2 – n1) [см–1]. Если χус > 0, поток на выходе среды больше, чем на входе.

В выражение (2.2) для σинд входит дифференциальный коэффициент Эйнштейна B21(ν) = g(ν)B21, содержащий форм-фактор однородно или неод-

нородно уширенной спектральной линии. При расчете χус конкретное значение g(ν) выбирается исходя из длины волны (частоты) усиливаемого излучения. Для частного случая ν = ν0, который называют центральной настройкой, g(ν) = gmax . Для однородного уширения gодн max = 0,65/ Δνодн, для неоднородного gнд max = 0,9/Δνнд. Поскольку числители в обоих случаях близки к единице, их часто опускают, полагая B21(ν) = B21/Δν0,5.

2.3. Коэффициент усиления активной среды

Рассмотрим однородную прозрачную (χп = 0) оптическую среду протяженностью L, на которую падает поток квантов со спектральной плотностью мощности I0. На выходе среды плотность мощности достигает значения

IL, определяемого посредством интегрирования (2.3) после разделения переменных:

где G1 = IL /I0 = exp (χусL) – коэффициент усиления среды за один проход.

Поведение G1 будет зависеть от соотношения между концентрациями частиц на нижнем n1 и верхнем n2 энергетических уровнях (рис. 2.3).

30