Лекция 3

Лекция №3

Основные термодинамические процессы изменения состояния идеального газа

Первый закон термодинамики устанавливает связь между количеством теплоты участвующей в процессе q, изменением внутренней энергии газа du и работой l. Причем количество теплоты и работы можно оценить, если известен характер термодинамического процесса. Основными термодинамическими процессами изменения состояния газа являются:

1) изохорный, протекающий при v = const;

2) изобарный, протекающий при p = const;

3) изотермический, протекающий при Т = const;

4) адиабатный, протекающий при отсутствии теплообмена с окружающей средой;

5) политропный, являющийся при определенных условиях обобщающим для основных процессов и характеризующийся постоянством теплоемкости в процессе.

Рассмотрим эти процессы для идеального газа.

Изохорный процесс протекает при v = const (dv = 0). Линия процесса называется изохорой, которая в pv-диаграмме изображается прямой, параллельной оси ординат (рис. 2.9). Соотношение между параметрами в начале и в конце процесса:

или – закон Шарля.

Аналитическое выражение работы изменения объема: l = pdv.

В изохорном процессе dv = 0. Следовательно, lv = 0, то есть деформационная работа равна нулю: lv = 0

Из аналитического выражения первого закона термодинамики (2.5) следует, что при , то есть вся теплота процесса идет на изменение внутренней энергии. (2.44)

Для идеального газа du = c_v dt,

Следовательно

– см. уравнения (2.8) и (2.9), или (2.45)

Изменение внутренней энергии (2.46)

Проинтегрировав выражение dh = c_pdt.

по процессу 1–2, получим изменение энтальпии в этом процессе:

(2.47)

Изменение энтропии определяется из уравнений (2.41) и (2.43):

(2.48)

В Ts-диаграмме процесс изобразится в виде логарифмической кривой (рис. 2.10).

Изобарный процесс протекает при p = const (dp = 0). Линия процесса называется изобарой, в pv-диаграмме эта прямая параллельна оси абсцисс (рис. 2.11). Соотношение между параметрами в начале и в конце процесса

или – закон Гей-Люссака.

Из выражения l = pdv

после интегрирования получим удельную работу

. (2.49)

Согласно уравнения (2.17), q_p = h₂  h₁ (2.50)

Или . (2.51)

Изменение внутренней энергии и энтальпии описываются уравнениями (2.46) и (2.47), а изменение энтропии определяется из выражений (2.42) и (2.43):

. (2.52)

В Ts-диаграмме изобарный процесс, так же, как изохорный, изображается в виде логарифмической кривой (рис. 2.12). Но в одном и том же интервале температур (от T₁ до Т₂) энтропия изобарного процесса s_p изменяется больше, чем изохорного s_v, так как c_p >c_v на величину R (изохора круче изобары).

Чтобы определить физический смысл газовой постоянной, перепишем уравнение (2.49) как , (2.53)

так как .

Если принять Т₂  Т₁ = 1К = 1⁰С, п

Рис. 2.11. Изобарный процесс в координатах pv	Рис. 2.12. Изобарный процесс в координатах Ts

олучим

.

Газовая постоянная равна работе, совершаемой 1 кг идеального газа в изобарном процессе при изменении температуры на 1^оС.

В изобарном процессе ;

для идеального газа du = c_vdt.

Из характеристического уравнения pv=RT

после дифференцирования при p = const получаем pdv = RdT.

Тогда аналитическое выражение первого закона термодинамики в изобарном процессе можно записать в виде с_pdt = с_vdt + RdT.

После сокращения на dt = dT

получим уравнение Майера с_p  с_v=R,

из которого видно, что количество теплоты, которая тратится в изобарном процессе на повышение температуры газа на 1^оС, больше, чем в изохорном, на величину работы в этом процессе.

Изотермический процесс протекает при T = const (dT = 0).

Линия процесса называется изотермой. Соотношение между параметрами в начале и в конце процесса:

или p₁v₁=p₂v₂.

Рис. 2.13. Изотермический процесс в координатах pv

Отсюда уравнение изотермы

pv=const.

В pv-диаграмме изотерма представляет собой равнобокую гиперболу (рис. 2.13). Из уравнения первого закона термодинамики

q = с_vdT + pdv

при следует δq = pdv = l

или

(2.54)

Таким образом, в изотермическом процессе вся подведенная теплота затрачивается на совершение работы: q_T = l_T; Q_T = L_T.

И

Рис. 2.14. Изотермический

процесс в координатах Ts

зменения энтропии определяется из уравнений (2.41) и (2.42):

.

В Ts-диаграмме изотерма  это прямая 1-2 (рис. 2.14), а заштрихованная площадь 12s₂s₁1 пропорциональна теплоте процесса. Поэтому, кроме выражения (2.54), теплоту в изотермическом процессе можно рассчитать также по формуле

q_T = T(s₂s₁). (2.55)

Изменение внутренней энергии и энтальпии при T = const определяется соответственно из формул (2.46) и (2.47):

;

.

Процесс, при котором рабочее тело не обменивается теплотой с окружающей средой, называется адиабатным (q = 0; δq= 0), а линия процесса  адиабатой.

Уравнение первого закона термодинамики в адиабатном процессе имеет вид

или .

После дифференцирования получим

Разделив каждое слагаемое на , получим дифференциаль-

ное уравнение адиабаты

или кpdv+vdp = 0, где  показатель адиабаты.

Теперь каждое слагаемое полученного выражения делим на pυ и интегрируем при к = const:

;

.

Полученный результат потенцируем: (2.56)

или .

Отсюда уравнение адиабаты в переменных pv: pv^к = const. (2.57)

Чтобы получить уравнение адиабаты в переменных Tv и pT, подставим в выражение

(2.58)

вместо его значение из уравнения (2.56):

или , Tv^к-1 = const. (2.59)

Затем в это же уравнение (2.58) вместо подставим его значение в виде

или p^1-кT^к = const. (2.60)

В pv-диаграмме кривая адиабаты круче изотермы, так как к > 1 (рис. 2.15). Работа в адиабатном процессе определяется из уравнения q= u + l. При q = 0 .

В адиабатном процессе работа совершается только за счет убыли внутренней энергии газа. Преобразуем полученное выражение, считая теплоемкость не зависящей от температуры:

Разделив числитель и знаменатель на с_v, получим

Вместо подставим его значение из формулы (2.60) и получим окончательное выражение в виде

(2.61)

И

Рис. 2.15. Адиабатный процесс в координатах pv	Рис. 2.16. Адиабатный процесс в координатах Ts

зменения внутренней энергии и энтальпии описываются уравнениями (2.46) и (2.47). Изменение энтропии s=const.

В Ts-диаграмме адиабата – это прямая 1–2, параллельная оси ординат (рис. 2.16).

На рассмотренные ранее процессы накладывались особые ограничения (p = const, v = const, T = const, q = 0). В каждом из них подведенная теплота распределялась между u и l таким образом, что отношение u/q принимало вполне определенное значение для каждого процесса. Обозначим

– характеристика политропного процесса

и определим его для каждого из рассмотренных процессов:

v = const; q = u; ;

p = const; ; q=c_pT; ;

T= const; =0;

s = const; q =0; .

Процессы, в которых  (доля теплоты, затраченной на изменение внутренней энергии) будет принимать какое угодно значение, оставаясь постоянной в данном процессе, называются политропными. Очевидно, что все рассмотренные ранее процессы являются частными случаями политропного процесса. Политропные процессы характеризуются постоянным значением теплоемкости в процессе, которая называется политропной теплоемкостью.

Найдем уравнение политропного процесса. Для этого запишем аналитическое выражение первого закона термодинамики: ,

или, учитывая, что , где с_п – теплоемкость политропного процесса. Вместо Т подставим ее значение из уравнения pv = RT:

;

Произведем преобразование:

,

.

Разделив каждое слагаемое на , получим

.

Обозначим  показатель политропы.

Подставим n в уравнение (2.62) и разделим каждое слагаемое на pv:

.

Интегрирование при n = const в пределах от начала до конца процесса дает

После потенцирования получим

или .

Уравнение политропного процесса в переменных pv:

. (2.62a)

Далее по аналогии с адиабатным процессом записываем:

– уравнение политропного процесса в переменных Тv: Тv^n-1= const; (2.62b)

– уравнение политропного процесса в переменных pT:

p^1-n Тⁿ = const. (2.62c)

Найдем значение теплоемкости политропного процесса:

Отсюда (2.63)

В формуле

заменим с_п на с_v / и разделим числитель и знаменатель на с_v:

Решаем полученное выражение относительно : . (2.64)

Подставив выражение (2.64) в уравнение (2.63), получим теплоемкость политропного процесса

.

Количество теплоты, участвующей в политропном процессе: ,

или .

Работу в политропном процессе можно определить из уравнения первого закона термодинамики: q = u + l или .

Отсюда

Подставив в полученное выражение соотношение ,

окончательно получим работу в политропном процессе:

.

Изменение внутренней энергии и энтальпии:

Изменение энтропии определяется из выражения

.

После интегрирования получим

.

Обобщающее значение политропного процесса

Уравнение политропы pvⁿ = const.

Из этого уравнения получим:

- при n = 0, p = const – изобарный процесс;

- при n = 1, pv = const – изотермический процесс;

- при n = к, pv^к = const – адиабатный процесс.

Запишем уравнение политропы как p₁v₁ⁿ = p₂v₂ⁿ.

Извлечем корень n-й степени и получим p₁^1/nv₁ = p₂^1/nv₂.

Отсюда при n =  v₁ = v₂, то есть v = сonst – изохорный процесс. Таким образом, все перечисленные процессы являются частными случаями политропного процесса.

Изобразим их на единой pv-диаграмме (рис. 2.17). В адиабатном процессе q=0 все процессы, расположенные правее адиабаты, протекают с подводом теплоты (q > 0), процессы, расположенные левее адиабаты,  с отводом теплоты (q < 0). При n =1 T = const, u = 0. Правее изотермы u > 0, левее изотермы u < 0.

Процессы, расположенные между адиабатой и изотермой, имеют отрицательную теплоемкость, так как знаки q и du в этих процессах различные. Знак du соответствует знаку dT (du>0, dT>0 и du<0, dT<0). Тогда из выражения c = q/dT видно, что, если q и dT имеют противоположные знаки, теплоемкость действительно отрицательная.

Практически это означает, что при подводе теплоты в этих процессах температура уменьшается, а при отводе теплоты – увеличивается. К такому же результату приводит и выражение теплоемкости в политропном процессе:

Практически это означает, что при подводе теплоты в этих процессах температура уменьшается, а при отводе теплоты – увеличивается. К такому же результату приводит и выражение теплоемкости в политропном процессе:

.

В этом выражении, если к>n>1, теплоемкость получается отрицательной: с_n<0. В заштрихованной области к>n>1. Такие процессы наблюдаются при сжатии газа в компрессоре.

Аналитическое выражение первого закона термодинамики:

q = du + l.

Допустим, теплота подводится (q > 0). Если газ совершает работу и при этом l больше, чем q, то часть работы может совершаться за счёт уменьшения внутренней энергии u, а ее уменьшение приводит к понижению температуры газа.

Если q <0 (теплота отводится), и над газом совершается

работа l>q, то часть работы пойдет на увеличение внутренней энергии газа, а это приводит к повышению его температуры.

Изобразим рассмотренные ранее процессы на единой Ts-диаграмме (рис. 2.18).

Ts-диаграмма более наглядно показывает, как изменяется внутренняя энергия в любом процессе, а также подводится или отводится теплота. В изотермическом процессе (n=1) u=с_vm(T₂-Т₁)=0. Поэтому выше изотермы, где dТ>0, u>0, ниже изотермы, где dТ<0, u<0.

В адиабатном процессе (n=к) q=Tds=0, так как s2=s1. Поэтому для всех процессов, расположенных правее адиабаты ds>0, q>0 (теплота подводится), левее адиабаты  ds<0, q<0 (теплота отводится).

Из формулы видно, что в квадрантах I и III с>0, так как ds и dT имеют одинаковые знаки; в квадрантах II и IV с<0, так как ds и dT имеют разные знаки. Для процесса T=const – c=, а для s=const – c=0.