ЛР2
.pdfФГБОУ ВО
Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет
Кафедра АСУ
Отчет по
лабораторной работе №2
«Решение задач линейного программирования графическим способом»
по дисциплине «Методы оптимизации»
Вариант 6
Выполнила: ст. гр. ПИ-226 Гареева Диана Радиковна
Проверила: Кондратьева Ольга Владимировна
Уфа 2022
Цель работы: Решить задачу линейного программирования графическим способом
Ход работы:
Условие задачи:
При откорме каждое животное должно получать не менее 9 ед. белков, 7 ед. углеводов и 13 ед. протеина. Для составления рациона используют два вида корма, представленных в следующей таблице:
Питательные |
Количество единиц питательных веществ на 1 кг |
|
вещества |
корма 1 вида |
корма 2 вида |
Белки |
3 |
2 |
Углеводы |
1 |
4 |
Протеин |
1 |
6 |
Стоимость 1 кг корма первого вида – 4 д.е., второго – 8 д.е. Составьте дневной рацион питательности, имеющий минимальную стоимость.
Решение задачи:
Пусть х1 – количество кг 1 корма, х2 - количество кг 2 корма.
Чтобы добиться минимальных затрат на дневной рацион, нужно общую стоимость рациона можно выразить в виде линейной функции:
= 4 1 + 8 2 →
Дневной рацион удовлетворяет требуемой питательности только в случае, если количество единиц питательных веществ не меньше предусмотренного, получаем систему ограничений:
3 1 + 2 2 ≥ 9,1 + 4 2 ≥ 7,1 + 6 2 ≥ 13,1 ≥ 0,
{2 ≥ 0.
Заменим х1 на х, х2 на у, а «неравенство» на «равенство» и получим 6 уравнений прямых.
3 + 2 = 9,
+ 4 = 7,
+ 6 = 13,= 0,
{= 0.
Решим уравнения:
1 = 9 − 3 , 2
7 −2 = 4
3 = 13 − 6
= 0,
{= 0.
Найдем координаты точек каждой из уравнений и построим по данным точкам 3 прямые: y1, y2, y3 (рис.1).
Рисунок 1. График прямых в Excel
Теперь определим ОДЗ и построим вектор целевой функции (рис.2).
Рисунок 2. График прямых с ОДЗ и вектором целевой функции в Excel
ОДЗ – многоугольник решений ABC.
Построим перпендикуляры к вектору с и будем передвигать эту прямую по направлению вектора, пока она не коснется крайней точки многоугольника решений (рис. 3).
Рисунок 3. График прямых с ОДЗ и вектором целевой функции в Excel
Крайняя точка многоугольника решений – точка В.
Найдем его координаты, взяв с систему 1 и 3 уравнения прямых.
3 + 2 = 9 { + 6 = 13
3 + 2 = 9 { = 13 − 6
3(13-6y)+2y=9
39-18y+2y=9
39-9=18y-2y
30=16y
y= 3016
y=1,875
x= 13-6y=13-6*1,875=1,75
(1,75 ; 1,875) – координата точки В.
Подставляем координаты в линейную функцию:
= 4 1 + 8 2 →
Z=4*1,75+8*1,875=22
Ответ: чтобы обеспечить минимум затрат (22 ед. в день), необходимо дневной рацион составить из 1,75 кг корма 1 и 1,875 кг корма 2.
Вывод: была решена задача линейного программирования графическим способом
1. В чем экономический смысл найденных координат точки оптимальности?
Экономический смысл найденных координат, заключается в минимизации стоимости рациона с учетом ограничений белков, углеводов и протеина – 36 е.д.
2. Как найти область допустимых решений?
Для этого необходимо найти последовательно множества решений каждого неравенства и рассмотреть их пересечение.
3. Какова методика построения направляющего вектора и область его использования?
Направляющий вектор указывает направление улучшение целевой функции F(x) и строится по точкам (0;0) и (с1;с2), где с1, с2 – коэффициенты ЦФ
F(x)=с1*х1+с2*х2.
4. Какие ограничения накладываются на вводимые переменные и почему?
≥ 0,
≥ 0.
Они вводятся, так как колчисетво корма не может быть отрицательным.
5. В чем различия в решении задач в случае максимизации и в случае минимизации целевой функции?
В случае минимизации вектор ЦФ стремится к координате (0;0) в левый нижний угол, а в случае максимизации направление вектора направлено в правый верхний угол.