Раздел III. Колебания и волны. Глава 2. Затухающие гармонические
колебания.
1.Электрический колебательный контур с затуханием.
|
Uс +IR=εсамоинд |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Q |
+ |
|
dQ |
R=-L |
dI |
=-L |
d2Q |
|
|||||||||
|
|
C |
|
dt |
dt |
|
dt2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
+2 Q+ 0 Q=0 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
-коэффициент затухания |
|||||||||||
|
2L |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
- собственная частота |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
LC |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Дифференциальное уравнение и его решение, описывающее затухающие колебания.
В большинстве случаев колебательные системы с затуханием описываются уравнением
x 2 x 02 x 0
-коэффициент затухания
0 -собственная частота
x– отклонение системы от положения равновесия При 0 решение имеет вид:
x(t)=A0 e t cos( t 0 )
|
|
|
|
|
|
|
|
- частота затухающих |
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
колебаний |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
- амплитуда затухающих |
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
A(t)=A0 e t |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
колебаний |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(t) = t+ 0 |
фаза колебания |
|
|||||||
T= |
2 |
|
период (время, за которое фаза меняется на 2 ) |
||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Зависимость энергии колебательной системы от времени описывается формулой:
W(t)=W0 e 2 t
Такая зависимость от времени является следствием того,
что W(t) ~ A(t)2
Пример: электрический колебательный контур:
|
Q2 |
|
LI2 |
|
Q2 |
|
W=WC+WL= |
|
|
|
|
max |
0 |
2C |
|
|
||||
|
2 |
|
2C |
|||
т. к. при Qmax : I dQ 0 dt
т. е. W
Q2max
3.Некоторые характеристики затухающих колебаний.
а) Логарифмический декремент затухания.
ln |
A(t) |
|
|
|
Ae t |
T |
|
|
|
|
|
||
A(t T) |
|
ln Ae (t T) |
||||
|
|
|||||
|
|
|
|
T |
|
|
б) Добротность
2 W(t)
Q=
W(t) W(t T)
Связь между добротностью и логарифмическим коэффициентом затухания:
|
2 e 2 t |
1 |
|
|
2 |
||||
Q= |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
e 2 t e 2 (t T) |
|
|
|
|
|
||||
|
1 e 2 T |
1 e 2 |
|||||||
при малых δ: |
|
Q |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. Апериодический затухающий процесс.
При больших коэффициентах затухания
0
решение дифференциального уравнения имеет вид:
x(t)=C1e 1t C2e 2t
1,2 
2 02
Затухание имеет не колебательный характер. Возможны два варианта апериодического затухающего процесса 1 и 2.
В электрическом колебательном контуре апериодический процесс реализуется, если сопротивление контура больше
критического. |
|
|
|
|
|
R>Rкр |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Величина Rкр получается из условия: |
|
|
|||||||||||||
0 |
|
Rкр |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rкр |
2 |
L |
|
|
||||||||
2L |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
LC |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вопросы.
1.Дифференциальное уравнение и его решение для затухающего колебательного процесса.
2.График затухающих колебаний.
3.Что такое логарифмический декремент затухания.
4.Что такое добротность.
5.Что такое апериодический затухающий процесс.
6.Что такое Rкритическое .