Раздел III. Колебания и волны. Глава 1. Свободные гармонические
колебания.
1. Колебательные системы.
а) Грузик на пружинке
ox: mx= -kxx+ 0 2 x = 0
|
= |
k |
|
m |
|||
0 |
|
б) Физический маятник
|
|
|
|
|
|
|
I = -mglsin =-mgl |
||||||
|
2 |
=0 |
<<1 рад |
|||
+ 0 |
|
|
||||
0 = |
|
|
mgl |
|
|
|
|
|
I |
|
|||
|
|
|
|
|||
в) Математический маятник
+ 0 2 =0
|
= |
|
mgl |
|
= |
|
g |
|||
0 |
|
|
ml2 |
|
|
|
l |
|||
|
|
= |
|
g |
|
|
|
|
||
|
l |
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 0 |
2 |
x=0 |
|||
x |
|
|||||
|
|
= |
2g |
|
L-длина водяной «колбаски» |
|
0 |
|
|||||
|
|
|
L |
|||
д) Электрический колебательный контур
Uс = εсамоинд |
|
|||||
|
Q |
=-L |
dI |
=-L |
d2Q |
|
|
C |
dt |
dt |
2 |
||
|
|
|
||||
|
|
2 |
Q=0 |
|
||
Q |
+ 0 |
|
||||
1
0 = 
LC
2.Свободные гармонические колебания.
а) Общие закономерности.
-Колебания происходят вблизи положения устойчивого равновесия;
-Отсутствие затухания;
-Энергия колебательных систем состоит из двух видов. Кинетическая и потенциальная для механических систем. Например, в случае грузика на пружинке
W= mV2 + kx2 2 2
Электрическая и магнитная в случае электрического колебательного контура
W= CU2 + LI2
22
Входе колебаний происходит превращение одного вида энергии в другой и обратно. В отсутствие затухания энергия сохраняется.
- С точки зрения математики все системы описываются одним и тем же дифференциальным уравнением:
x+ 02 x=0
x- отклонение колебательной системы от положения устойчивого равновесия.
ω0 -собственная частота колебательной системы.
б) Решение дифференциального уравнения x(t)=Acos( 0t+ 0 )
A-амплитуда колебаний
(t)= ω0 t+ 0 -фаза колебания
0 -начальная фаза
Период колебаний – время, за которое фаза колебаний меняется на 2 :
(t+T)= (t)+2
T0 |
= |
2 |
|
с |
|
0 |
|||||
|
|
|
|
Частота колебаний – количество колебаний за единицу времени:
|
1 |
|
|
[ |
1 |
|
= Гц] |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 =T0 |
|
с |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
[ |
рад |
] |
|
0 |
= 2 0 |
|
|||||||
|
|
||||||||
|
|
|
с |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Задача на начальные условия.
Амплитуда колебаний А и начальная фаза 0 определяются начальными условиями:
x(0) = x0 |
|
Acos 0 = x0 |
|||
V(0) = V0 |
|
-A 0 sin 0 = V0 |
|||
Acos 0 |
= x0 |
|
(1) |
||
Asin |
0 |
= - |
V0 |
(2) |
|
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A= x02 V0 20
(1)2 +(2)2
|
|
|
V |
0 |
|
0 =arctg |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 x0 |
|
|||
|
|
|
|
||
(2)
(1)
Вопросы.
1.Рассмотреть один из примеров колебательных систем (по выбору экзаменатора).
2.Общие закономерности свободных гармонических колебаний.
3.Дифференциальное уравнение и его решение для свободных гармонических колебаний в общем виде. 4.Что такое амплитуда, фаза, период и частота колебаний?