§35. Классификация линий второго порядка.

35.1 Преобразование координат при повороте осей.

Пусть система координат X₁Y₁ получается из осей XY их поворотом на угол α против часовой стрелки. Найдем взаимосвязь между переменными X₁ и Y₁ и переменными X и Y. Для этого используем полярную систему координат (см. рис.35.1, где ρ – расстояние от мочки M(x,y) до начала координат, а φ – угол между осью OX и вектором ).

(35.1)

соответственно (35.2)

Раскрывая в (35.2) косинусы и синусы разности и используя (35.1) получим:

(35.3)

Делая обратное преобразование (или заменяя в равенстве (35.3) “α” на “–α”) получим

(35.4)

35.2 Приведение квадратичной формы второго порядка от двух переменных к каноническому виду.

Определение 35.1 Квадратичной формой второго порядка от двух переменных называется величина

(35.5)

(A,B,C – действительные числа с условием )

Определение35.2 Каноническим видом квадратичной формы Q(x,y) называется величина (35.6)

Имеет место теорема 35.1: существует такой поворот осей (на некоторый угол α) при котором в новой системе координат квадратичная форма Q(x,y) в (35.5) имеет канонический вид. (35.6).

Доказательство: Подставим в уравнение (35.5) вместо (x,y) новые координаты (x₁,y₁) полученные из прежних поворотом осей на угол α. Используя формулу (35.4) имеем:

(35.7)

Найдем в (35.7) коэффициент при x₁y₁:

(35.8)

Чтобы квадратичная форма приняла канонический вид, нужно подобрать такой угол α, при котором коэффициент при x₁y₁ обратился бы в ноль. Т.е., учитывая (35.8) надо решить уравнение или

(35.9).

Можно считать, что B≠0 (при B=0 формула (35.5) уже будет иметь канонический вид (35.6)).

Тогда поделив обе части уравнения (35.9) на ( , ибо в противном случае из (35.9) получилось бы: , что противоречит основному тригонометрическому тождеству), получим

, или (35.10).

Мы показали, что при повороте осей координат на угол α, определяемой формулой (35.10), коэффициент при произведении переменных x₁y₁ обратится в ноль, т.е квадратичная форма (35.5) в новой системе координат примет вид (35.6). Теорема 35.1 доказана.

35.3 Упрощение уравнения второго порядка от двух переменных.

Рассмотрим произвольные уравнения второго порядка от двух переменных

(35.11)

с условием (35.12).

Сделав поворот осей координат на угол α, определяемого формулой (35.10), по теореме 35.1 получим, что в новой системе координат уравнение (35.11) примет вид

(35.13)

с условием (35.14).

Поменяв, в случае необходимости переменные местами, из условия (35.14) можно получить, что C≠0 (35.15)

(ибо если C=0, то тогда из (35.14) следует, что A≠0, и поменяв местами переменные, x и y получим, что коэффициент при y², будет отличен от нуля).

Рассмотрим следующие случаи:

I: AC≠0 (т.е A≠0 при условии (35.15);

II: A=0, D≠0 при этом выполнено условие (35.15)

III: A=D=0

I: AC≠0

Тогда выделим в левой части уравнении (35.13) полный квадрат

(35.16)

Введем новые переменные

(35.17)

Обозначим такие за , уравнение (35.16) приведем к виду или (35.18).

Продолжим исследование:

I.1 F₁=0. Тогда уравнение (35.18) примет вид (35.19).

Рассмотрим далее знаки при x² и y² (попутно мы также вводим новые величины a и b)

I.1 A: ,

Тогда уравнение (35.19) примет вид

(35.20)

I.1.Б

В этом случае уравнение (35.19) выглядит следующим образом

(35.21)

I.1.В A<0; C>0

Тогда, поменяв знаки в обеих частях уравнения (35.19) получим случай I.1.Б.

I.1.Г A<0; C<0

Поменяв в этом случаи знаки в обеих частях уравнения (35.19), мы придем к условию I.1.А.

I.2 F₁≠0

Поделив тогда обе части уравнения (35.18) на F₁, мы получим равенство:

(35.22)

Снова рассмотрим знаки при x² и y² (определяя также коэффициенты a и b).

I.2.А

Тогда уравнение (35.22) примет вид

(33.4) (это уравнение нам встречалось раннее в §33)

I.2.Б ; (т.е коэффициент при x² положительный, а при y² отрицательный).

Тогда уравнение (35.22) примет вид

(34.1) (а это уравнение нам встречалось в §34)

I.2.В ;

(т.е коэффициент при x² – отрицательный, а при y² – положительный). Тогда, поменяв переменные x и y местами, мы получим случай I.2.Б

I.2.Г ;

В этом случае уравнение (35.22) принимает вид

, или поменяв в обоих частях последнего уравнения знаки, получим равенство (35.23)

II: A=0; D≠0 (также выполнено условие (35.15))

Тогда уравнение (35.13) принимает вид

(35.24)

В равенстве (35.24) при y₁ выделим полный квадрат

(35.25)

Введем новые переменные

- это соответствует параллельному переносу осей координат.

Тогда уравнение (35.25) примет вид:

, или (35.26)

Обозначив за , из уравнения (35.26) получим:

(34.3) (это уравнение нами уже рассматривалось в §34)

III: A=D=0

Тогда равенство (35.13) примет вид:

(35.27)

Используя такое условие (35.15) или (35.14), выделим в уравнении (35.27) полный квадрат

(35.28)

Введем новые переменные

Обозначив далее за , из (35.28) получим

, или (35.29)

Рассмотрим далее следующие случаи:

III.1

Тогда уравнение (35.29) принимает вид:

(35.30)

III.2 В этом случае равенство (35.29) выглядит следующим образом:

(35.31)

III.3

Тогда уравнение (35.29) будет иметь вид:

(35.32)

Все случаи рассмотрены