34.2 Парабола

        Определение 34.4.   Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемой директрисой параболы.         

Чтобы получить уравнение кривой, соответствующей этому определению, введем подходящую систему координат. Для этого из фокуса F опустим перпендикуляр FD на директрису l. Начало координат O расположим на середине отрезка FD, ось Ox направим вдоль отрезка FD так, чтобы ее направление совпадало с направлением вектора . Ось Oy проведем перпендикулярно оси Ox (рис. 34.5).

Рис.34.5.

        Теорема 34.2.   Пусть расстояние между фокусом F и директрисой l параболы равно p. Тогда в выбранной системе координат парабола имеет уравнение

y2=2px

(34.3)

        Доказательство.     В выбранной системе координат фокусом параболы служит точка , а директриса имеет уравнение (рис. 34.5).

Пусть M(x; y) –– текущая точка параболы. Очевидно, что

Расстоянием от точки M до директрисы l служит длина перпендикуляра MK, опущенного на директрису из точки M. Из рисунка 34.5 очевидно, что MK = . Тогда по определению параболы MK=FM, то есть

Возведем обе части последнего уравнения в квадрат:

откуда

После приведения подобных членов получим уравнение (34.3).     

y²=2px

Определение 34.5.   Уравнение (34.3) называется каноническим уравнением параболы.

        Свойство 34.2.   Парабола обладает осью симметрии. Если парабола задана каноническим уравнением, то ось симметрии совпадает с осью Ox.

        Доказательство.     Проводится аналогично доказательству свойства 33.1 для эллипса.

Определение 34.6.   Точка пересечения оси симметрии с параболой называется вершиной параболы. Эксцентриситетом параболы (по определению) является число ε=1

Поменяв оси координат местами, уравнение (34.3) можно записать в виде

который совпадает с обычным уравнением параболы в школьном курсе математики. Парабола изображена на рисунке 34.6.

Рис.34.6.Парабола

34.3 Одно свойство фокусов и директрис

Имеет место

Теорема 34.3.   Отношение расстояния от любой точки кривой второго порядка до фокуса к расстоянию от той же точки этой кривой до соответствующей этому фокусу директрисы есть величина постоянная и равная ε- эксцентриситету данной кривой.

Доказательство:

Рассмотрим случай гиперболы:

(34.1)

Ее фокус F₁(c, 0), соответствующая ему директриса d₁: и b²=c²-a² (см. равенство (34.2) и определение эксцентриситета (34.3)) Для любой точки M(x, y), лежащей на на гиперболе (и тогда ее координаты x и y должны удовлетворять уравнению (34.1)) имеем

(34.4)

И , ибо прямая d₁ имеет уравнение , (34.5)

Тогда:

Теорема 34.3 для фокуса и директрисы d₁: доказана. Для фокуса и директрисы d₂: теорема доказывается аналогично.

В случае эллипса доказательство теоремы проводится аналогично гиперболе, а для параболы теорема 34.3 просто является ее определением.