33.2 Исследование формы эллипса. Его эксцентриситет, фокусы и директрисы.

Прежде, чем нарисовать эллипс, выясним некоторые его свойства.

        Свойство 33.1.   Эллипс обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых находятся его фокусы, и центром симметрии. Если эллипс задан каноническим уравнением (33.4), то его осями симметрии служат оси Ox и Oy, начало координат –– центр симметрии.

        Доказательство.    Проведем доказательство на основе уравнения (33.4).

Пусть эллипс задан уравнением (33.4) и M₁(x₁ ;y₁) –– какая-то точка эллипса. Тогда

(33.6)

Точка M₂(-x₁ ; y₁) является точкой, симметричной точке M₁ относительно оси Oy (рис. 33.2).

Рис. 33.2.Симметрия точек

Вычисляем значение левой части уравнения (33.4) в точке M₂

В силу равенства (33.6) получаем

следовательно, точка M₂ лежит на эллипсе. Точка M₃ (x₁ ; -y₁)  является точкой симметричной точке M₁ относительно оси Ox (рис. 33.2). Для нее аналогичным путем убеждаемся, что

то есть M₃ является точкой эллипса. Наконец точка M₄ (-x₁ ; -y₁)  является симметричной точке M₁ относительно начала координат (рис. 33.2). Повторяя предыдущие рассуждения, получим, что и эта точка тоже лежит на эллипсе. Итак, утверждение доказано, если эллипс имеет уравнение (33.4). А так как по теореме 1 любой эллипс в некоторой системе координат имеет такое уравнение, то лемма полностью доказана.     

Проведем построение эллипса, заданного уравнением (33.4). Заметим, что из-за симметрии достаточно нарисовать часть эллипса, лежащую в верхней полуплоскости. Уравнение этой линии мы получим, выразив y из уравнения (33.4) и взяв перед корнем знак "+",

Построим график этой функции. Область определения – отрезок [-a; a], y(0)=b, при увеличении переменного x от 0 до a функция монотонно убывает. В силу симметрии графика относительно оси Oy функция y монотонно растет при изменении от –a до 0. Производная определена во всех точках интервала (0; a) и, следовательно, график является гладким (не содержит изломов, касательная есть в любой точке). Вторая производная отрицательна во всех точках интервала (a; b), следовательно, график –– выпуклый вверх.

Осталось не исследованным поведение кривой вблизи концов отрезка [-α; α ]. Выразим из уравнения (33.4) переменную x через y: . Очевидно, что в точке y = 0 эта функция имеет производную, то есть касательная к этому графику в точке (a, 0) существует. Легко проверить, что она параллельна оси Oy. Из симметрии эллипса делаем вывод, что это гладкая кривая и строим ее с учетом полученных данных (рис. 33.3).

Рис. 33.3.Эллипс

        Определение 33.4.   Точки пересечения эллипса с его осями симметрии называются вершинами эллипса, центр симметрии –– центром эллипса, отрезок между двумя вершинами, содержащий фокусы, называется большой осью эллипса, половина его длины –– большой полуосью эллипса. Отрезок между вершинами на оси симметрии, не содержащей фокусов, называется малой осью эллипса, половина его длины –– малой полуосью. Величина называется эксцентриситетом эллипса.   

Прямые и        называются директрисами эллипса

Если эллипс задан каноническими уравнениями, то его вершины имеют координаты (-a; 0), (a; 0), (0; -b), (0; b), большая полуось равна a, малая полуось равна b . Величина c, являющаяся половиной расстояния между фокусами, определяется из формулы (33.5) для величины b, а именно, .