47.8 Классификация поверхностей второго порядка.
Подведём итог всем выводам из параграфа 47.
Итак, мы показали, что всякое уравнение второго порядка от трёх переменных (47.1) (с условием на коэффициенты (47.2)) может задавать в пространстве лишь одно из следующих 15 множеств:
-
эллипсоид
-однополостной гиперболоид Основные
-двуполостной гиперболоид поверхности
-эллиптический параболоид второго
-гиперболический параболоид порядка
-
эллиптический
цилиндр цилиндрические
поверхности
-гиперболический цилиндр второго порядка
-
параболический
цилиндр
-
конус
второго порядка
-
две
пересекающиеся плоскости
распадающаяся
-две параллельные плоскости поверхность
-
одна
плоскость
второго порядка
-
одна
прямая линия
-одна точка вырожденные
-пустое множества (мнимый эллипсоид поверхности
мнимый эллиптический цилиндр,
мнимые параллельные плоскости)
Читателю предлагается самостоятельно установить, что все выше перечисленные 15 множеств являются уникальными, т.е. для любой пары из вышеперечисленных множеств никакую поверхность из заданной пары нельзя перевести в другую поверхность из той же пары никаким линейным преобразованием координат. Для этого для заданной пары поверхностей (легко видеть, что только из основных поверхностей второго порядка можно составить 36 пар) надо найти линию второго порядка, которую можно получить в сечении плоскостями одной из поверхностей заданной пары, но нельзя получить в сечении плоскостью другой из поверхностей из этой пары. Впрочем, для распадающихся и вырожденных поверхностей второго порядка это достаточно очевидно, ибо всякое невырожденное линейное преобразование координат плоскость может перевести только
в плоскость, линии их пересечения – в линию их пересечения, прямую линию – в прямую линию, одну точку – в одну точку, а пустое множество – в пустое множество.