30.2 Случай общего уравнения прямых линий
N2
l1
N1
П
усть
прямые
и
заданы уравнениями:
Н
рис.30.3
Тогда (см. чертеж 30.3) угол между прямыми
и
можно определить как угол между их
нормалями
и
,
и из §24 имеем:
(30.12)
Координаты точки пересечения прямых и можно найти, решая систему из двух линейных уравнений (30.10) и (30.11). По формулам Крамера (см. §8) имеем:
x
(30.13)
y=
Для взаимного расположения прямых и рассмотрим матрицы:
и
(R - является матрицей системы линейных уравнений (30.10) и (30.11), а Q – её расширенной матрицей третий столбец которой, взят с противоположным знаком).
По теореме Кронекер-Капелли и критерию определенности системы (см. §13) имеем:
1.
=
и
имеют бесконечно много точек пересечения,
следовательно, система линейных уравнений
(30.10) и (30.11) не определена
(30.14).
2.
||
и
не
имеют общих точек, следовательно, система
линейных уравнений (30.10) и (30.11) не совместна
(30.15)
(ввиду условия (29.6)
,
а
-
ранг матрицы R).
3.
и
пересекаются в одной точке, следовательно,
система линейных уравнений (30.10) и (30.11)
определена
(30.16)
и координаты их точки пересечения можно
найти по формуле (30.13).
Условие перпендикулярности прямых и :
=
(30.14)
( – нормаль к прямой , а – нормаль к прямой (см. чертёж 30.3))
§31. Уравнение прямой на плоскости по двум точкам и «в отрезках»
31.1 Уравнение прямой
проходящей через точку
и коллинеарной заданному вектору
Данная прямая уже была получена в §29.
Её уравнение имеет вид
,
или
(см. уравнение (29.4))
Второе равенство (29.4), в отличие от
первого, допускает возможность
или
.
31.2 Уравнение прямой проходящей через заданную точку и ортогональной заданному вектору
Эта прямая также была получена в §29, и её уравнение имеет вид:
(см.
уравнение (29.8)).
31.3 Уравнение прямой
проходящей через две заданные точки
и
Это уравнение имеет вид:
(31.1)
В случае
в (31.1) у можно выразить через x:
(31.2)
А для
и
уравнение (31.1) можно записать следующим
образом:
Читателю предполагаем самостоятельно
получить уравнения (31.2) и (31.3) из (31.1), а
также непосредственно проверить, что
координаты точек
и
удовлетворяют
линейному уравнению (31.1), и поэтому прямая линия, задаётся уравнением (31.1), искомая (и единственная как прямая, проходящая через две заданные точки).
31.4 Уравнение прямой «в отрезках»
y
b
a
x
Рис31.1
В §29 было показано, что всякую прямую, не параллельную ни одной из координатных осей и не проходящую через начало координат, можно записать уравнением
(29.9)
Подставив в уравнение (29.9) x=0,
получим y=b,
а из y=0 имеем x=a,
то есть точки с координатами (a,0)
и (0,b) находятся
на прямой l (см. чертеж
31.1).Тогда
и
являются
длинами отрезков, отсекаемых прямой l
от координатного угла (числа a
и b могут быть и
отрицательными, из-за чего длины отрезков
-
и
).
Определение 31.1: Поэтому уравнение (29.9) называется уравнением прямой «в отрезках».