II Гиперболический параболоид

Определение 47.5

Гиперболический параболоидом называется поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению.

(47.25)

Гиперболический параболоид имеет вид «седла», и его общий вид показан на рис. 47.13. Его также можно представить следующим образом: пусть имеются две параболы во взаимно перпендикулярных плоскостях; ветви одной из них (неподвижной) направлены вверх, а ветви другой (подвижной) параболы – вниз. Будем двигать вторую параболу по первой так, чтобы её вершина (подвижной параболы) всегда находилась бы на неподвижной параболе. Тогда поверхность, которая будет образовываться при движении параболы, и будет гиперболическим параболоидом.

Рис. 47.13 Рис.47.14

В сечении гиперболического параболоида плоскостями могут быть:

-парабола (для поверхности, заданной уравнением (47.25),парабола получится в случае, если секущая плоскость параллельна оси аппликат OZ или проходит через неё, ибо, как видно из рис. 47.14 (на этом рисунке гиперболический параболоид и все секущие плоскости представлены как вид «сбоку»), в сечении поверхности такой плоскостью

должна получиться некоторая неограниченная непрерывная кривая второго порядка, т.е. парабола);

-гипербола (из рис. 47.14 читателю предлагается самостоятельно установить, что в сечении гиперболического параболоида плоскостью гипербола должна быть разрывная кривая второго порядка, т.е. гипербола);

-две пересекающихся прямые линии (получается, например, в сечении гиперболического параболоида, заданного уравнением (47.25), координатной плоскостью (z=0); читателю предлагается самостоятельно проверить, что при подстановке в уравнение (47.25) значения z=0 получится уравнение пересекающихся прямых линий).

Остальные линии в сечении гиперболического параболоида плоскостями (в том числе одну точку и пустое множество) получить нельзя.

Как и гиперболоиды, оба параболоида(эллиптический и гиперболический) – совсем разные поверхности, которые нельзя получить друг из друга никаким линейным преобразованием координат. Это вытекает, например, из того, что в сечении гиперболического параболоида плоскостью (некоторой) можно получить две пересекающихся прямых линии, что нельзя сделать для эллиптического параболоида.

47.5 Цилиндрические поверхности второго порядка

Определение 47.6 Цилиндрической будем называть поверхность, удовлетворяющей следующему условию:

Существует такая прямая линия , что для всякой точки , лежащей на заданной поверхности, вся прямая, параллельная и проходящая через точку , также лежит на данной поверхности.

Определение 47.7 Прямая в определении 47.6 называется образующей цилиндрической поверхности.

Подходящим образом подобрав систему координат, можно считать, что образующая цилиндрической поверхности параллельна оси OZ. Тогда, если точка лежит на цилиндрической поверхности (т.е. удовлетворяют уравнению цилиндрической поверхности), то и для любого z точка также должна находиться на этой поверхности (ибо тогда вектор совпадает с направляющим вектором прямой, параллельной оси OZ , т.е. прямая параллельна образующей цилиндрической поверхности). И, следовательно, должна удовлетворять уравнению цилиндрической поверхности. Тогда уравнение цилиндрической поверхности не должно зависеть от z ,т.е. не должно содержать переменную z

Поэтому, согласно п.47.1 и параграфу 35, цилиндрические поверхности второго порядка должны удовлетворять уравнениям (33.4), (34.1), (34.3), (35.21), (35.30), (35.32), (35.31), (35.23) и (35.20). Рассмотрим эти уравнения.