§39. Расстояние от точки до плоскости

Пусть дана плоскость : и точка .

Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле (эта формула доказывается в параграфе 44)

(39.1)

Пусть , , , тогда нормальное уравнение плоскости: , (39.2)

г

де .

П

усть вектор , тогда

Отклонение точки от плоскости находится как: , где и – начало координат.

Если и находятся по разные стороны от плоскости, то отклонение равно « »,

если и находятся по одну сторону от плоскости, то отклонение равно « ».

§40. Прямая как пересечение двух плоскостей.

Общее уравнение прямой в пространстве

40.1 Общее уравнение прямой в пространстве

Как уже сообщалось в параграфе 37, система уравнений (37.3) с условием r(β)=2 задаёт в пространстве прямую линию поэтому система

– общее уравнение прямой в пространстве, где

(40.1)

: , : , .

40.2 Каноническое уравнение прямой как уравнение прямой в пространстве проходящей через заданную точку и коллинеарной заданному вектору

Дано:

р ис 40.1

, Пусть M(x,y,z) – точка прямой L

Тогда , т.е. имеет место

уравнение:

(40.2)

При этом даже может и быть, например,  ( =0, =0).  означает в (40.2), что . Исключено лишь , ибо

Определение 40.1 . Уравнение (40.2) называется каноническим уравнением прямой в пространстве.

40.3 Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Обозначим величину, стоящую в равенстве (40.2), за t. Получим уравнение

(40.3)

Выразим x, y, z в (40.3) через t

t – параметр. (40.4)

Если параметр t принять за время, то уравнение (40.4) будет задавать равномерное движение точки M(x,y,z) по прямой со скоростью

Определение 40.2. Уравнение (40.4) называется параметрическим уравнением прямой в пространстве.

§41. Приведение общего уравнения прямой к каноническому виду

Пусть задано общее уравнение прямой

:

Условие (40.1) легко можно переписать в виде

(41.1)

При этом прямая = , а плоскость и имеют нормали

,

Чтобы общее уравнение прямой привести к каноническому, нужно:

1. Найти одну из точек на прямой

Для этого надо выбрать в левой части неравенства (41.1) ненулевой определитель (например, ) и положить в (37.3) переменную, которая не соответствует выбранному определителю (в нашем случае – z) нулю или какому-либо иному числу. Тогда система (37.3) станет системой с ненулевым определителем (в нашем случае ), и, следовательно, она будет иметь решение. Присоединив к этому решению ранее выбранную величину (z), получим координаты одной из точек на прямой линии .