§37. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей, угол между ними

37.1 Взаимное расположение двух плоскостей

Даны плоскости: : (37.1)

: (37.2)

Рассмотрим матрицы:

; ;

Из условия (36.1) и леммы 2 § 11 (см.11.2), а также вывода в п.13.3 (§13)

следует что:

1 (r(α) – ранг матрицы α)

Возможные случаи взаимного расположения двух плоскостей:

r(α)=r(β)=1 = , ибо в этом случае строки матрицы β пропорциональны, те

и тогда уравнение (37.2) принимает вид

, которое эквивалентно уравнению (37.1) , т.е. плоскости и совпадают

r(α)=1, r(β)=2 ||

Ибо по теореме Кронеккера-Капелли (см.параграф 13), система уравнений (37.1) и (37.2) не совместна, т.е. плоскости и не имеют общих точек.

r(α)=r(β)=2 - прямая линия

(37.3)

37.2 Угол между двумя плоскостями

: ; ={A₁,B₁,C₁} ­– её вектор нормали;

: ; ={A₂,B₂,C₂} – её вектор нормали.

Угол между двумя плоскостями совпадает с углом между их нормалями (см.рис 37.1), т.е = (37.4)

Формула (37.4) вытекает из равенства (24.11) (см. § 24)

37.3 Условие перпендикулярности

Рис37.1

Условие перпендикулярности: (37.5)

§38. Уравнение плоскости

38.1 Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и ортогональной заданному вектору

Пусть дана плоскость :

; , ­– её вектор нормали

Тогда уравнение такой плоскости было получено в §36, и оно имеет вид: (36.3)

38.2 Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и коллинеарной двум заданным неколлинеарным векторам

, и

вектора , , и компланарные, т.е

. Тогда из §28 (формулы(28.1))имеем:

рис.38.1

(38.2)

38.3 Уравнение плоскости, проходящей через две заданные точки и коллинеарной заданному ненулевому вектору

Дано:

Тогда векторы (М (x,y,z)- произвольная точка на плоскости ) компланарны,

т.е.

, и

(см.параграф 28) (38.3)

38.4Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

. Это уравнение имеет вид:

(38.4)

Читателю непосредственно предлагаем проверить, что координаты точек удовлетворяют линейному уравнению (38.4), и поэтому плоскость, заданная уравнением (38.4), искомая(и единственная как плоскость, проходящая через три заданные точки).

38.5 Уравнение плоскости в отрезках

В §36 (36.2) было показано, что уравнение плоскости, не параллельной ни одной из координатных осей и не проходящей через начало координат, можно свести к виду:

z

c

(36.6)

y

b

a

x рис.38.2

Положим что y=z=0, получим :

x=a, т.е. точка оси ОХ с координатами (a,0,0) лежит на плоскости. Аналогично

получим , что точки с координатами (0,b,0) и (0,0,c) так же находятся на плоскости( см. рис.38.2). Тогда a,b и с (точнее ) это длины отрезков, отсекаемых нашей плокостью от координатного тетраэдра.(см. рис 38.2).

Определение 38.1. Поэтому равенство (36.6) называется уравнением плоскости « в отрезках»