§5. Произведение матриц
5.1 Свойства операции суммы
По определению, обозначим за
и
.
Справедливы следующие три свойства:
1)
(5.1)
Доказательство:
2)
(5.2)
Доказательство:
3)
(5.3)
Доказательство:
5.2 Определение произведения матриц и его некоммутативность
Положим:
;
А: m
.
Отметим, что число столбцов первого множителя А должно совпадать с числом строк второго множителя В (иначе произведение А В не определено).
Тогда произведением матриц А
и В является матрица С,
число строк которой совпадает с числом
строк первого множителя (матрицы
А), а число столбцов – с
числом столбцов второго множителя
(матрицы В): С=А
В;
С: m
n;
,
и элементы которой
определяются по формуле:
Пример: Пусть
тогда:
.
Заметим, что
.
Мы показали, что, вообще говоря,
,
т.е. произведение матриц не коммутативно.
5.3 Ассоциативность произведения матриц
Пусть матрица А=
имеет размер
;
пусть матрица В=
имеет размер
.
Тогда произведением матриц
,
где
(5.4) — матрица размера
.
Чтобы произведение
было определено, матрица
С=
должна быть размером
,
при этом матрица F имеет
размер
,
и
.
(5.5)
Тогда определено и произведение
,
и матрица G имеет размер
,
и
.
(5.6)
Поэтому определена и матрица
=
,
которая имеет размер
,
т.е. F и H –
матрицы одного порядка и
(5.7)
(5.5) (5.4) (5.3),(5.1) (5.3) (5.6) (5.7)
Итак,
произведение матриц ассоциативно:
.
5.4 Правая и Левая дистрибутивность умножения матриц относительно сложения
Пусть А=
– матрица размерности
;
В=
– матрица размерности
.
Тогда А+В=D=
– матрица размерами
и
.
(5.8)
Чтобы произведение
было определено, матрица С=
должна быть размерности
и
=
– матрица размера
и
.
(5.9)
В этом случае определены и произведения
=
– матрица размерности
и
.
(5.10)
=
– матрица размера
и
.
(5.11)
Из (5.10) и (5.11) следует, что матрицы F
и H одного размера, и тогда
определена матрица
=
,
являющаяся
матрицей размера
и
.
Тогда (5.10),(5.11)
, т.е. Q=G, или
,
т.е. справедлива левая дистрибутивность
умножения матриц относительно сложения.
Равенство
(правая дистрибутивность) будет показана
в п. 5.5.