Вопросы к экзамену по аналитической геометрии
Геометрические векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов.
Скалярное произведение и его свойства. Необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов.
Компланарные векторы. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости трех векторов. Линейная зависимость любых четырех векторов в пространстве.
Базис в пространстве. Ортонормированный базис. Правые и левые тройки некомпланарных векторов. Декартова прямоугольная система координат. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей.
Векторное произведение, его свойства и геометрический смуысл. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей в правой декартовой системе.
Смешанное произведение, его свойства и геометрический смысл. Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов. Выражение смешанного произведения трех векторов через координаты сомножителей.
Общее уравнение плоскости в декартовой системе координат. Нормальный вектор плоскости. Угол между плоскостями, условия параллельности и перпендикульрности двух плоскостей.
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
Расстояние от точки до плоскости.
Прямая линия в пространстве. Неправляющий вектор прямой. Канонические и параметрические уравнения прямой. Угол между двумя прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, прямой и плоскости.
Уравнение прямой , проходящей через две длинные точки. Уравнения прямой, определенной пересечением двух данных плоскостей, и переход к кононическим и параметрическим уравнениям.
Пучок плоскостей. Уравнения пучка плоскостей.
Расстояние от точки до прямой в пространстве.
Расстояние между скрещивающими прямыми.
Общее уравнение поверхности второго порядка и его упрощение методом выделения полных квадратов. Классификация и исследование формы поверхностей второго порядка: эллипсоида, однополсного и двуполостного гиперболоидов, эллиптического и геперболического параболоидов.
Линейные пространства. Аксиомы линейного пространства.
Базис и размерность линейного пространства. Примеры конечномерных и бесконечномерных линейных пространств. Теорема о выражении любого элемента линейного пространства через базисные векторы.
Евклидовы пространства. Аксиомы скалярного произведения.
Матрица. Минор.
Миноры и алгебраическое дополнение.
Матрица. Сложение матриц. Умножение матрицы на число. Траспонирование матрицы. Свойства этих операций.
Совместимость, несовместимость, определённость и неопределённость системы линейных уравнений. Матричная форма записи.
Обратная матрица и ее своейства. Условия существования обратной матрицы.
Формулы Крамера.
Решение произвольной системы линейных уравнений методом Гаусса.
Ступенчатые матрицы и их ранг.
Теорема Кронеккер-Капелли.
Матрицы. Сложение матриц. Умножение матриц на число. Транспонирование матрицы. Свойство этих операций.
Обратная матрицы и ее свойства. Условия существования обратной матрицы.
Системы из n линейных уравнений с n неизветстными и их решения с помощью обратной матрицы.
Однородные системы линейных уравнений.
Системы их n линейных уравнений с n неизвестными и их решением с помощью обратной матрицы.
Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки или столбца.