Экзамен тест
.pdf6.25. Направляющим вектором прямой
…{2, 2, −1} .
…{2, −2,1}.
…{2, −2, −1}.
…{−2, 2,1}.
…{2, 2,1}.
x − y + 1 = 0, |
|
|
служит вектор… |
y + 2z − 3 |
= 0 |
VI-а. Прямая в пространстве
6-а.1. Направляющим вектором прямой
координатами …
…{−2,5,3}.
…{2, −3,1} .
…{−2,3, −1}.
# … {2, −5,3} .
…{−2, −5,3}.
6-а.2. Направляющим вектором прямой
координатами …
x + 2 |
= |
y − 3 |
= |
z −1 |
|
является вектор с |
−2 |
|
−3 |
||||
5 |
|
|
||||
2x − y + z − 2 = 0, |
||
|
x + y − z = |
является вектор с |
|
0. |
|
…{0, −3,3}.
# ... {0,1,1} .
…{1,3,3} .
…{0, −1,1} .
…{1, −1,1}.
−2 y + 3z −1 = 0,
6-а.3. Направляющим вектором прямой является вектор с
2x + y − 5z = 0.
координатами …
…{7, −6, 4} .
... {−7,6, 4} .
…{7, −6, −4}.
# … {7,6, 4}.
…{7,6, −4}.
6-а.4. Направляющим вектором прямой координатами …
…{−1,11, −3}.
... {−1,11,3}.
…{1, −11,3}.
…{1, −11, −3}.
# … {1,11, −3}.
6-а.5. Направляющим вектором прямой
координатами …
3x + z − 2 = 0,− − =2x y 3z 0.
−4 y + z − 5 = 0,x + y − 4 = 0.
является вектор с
является вектор с
…{−1, −1,4}.
... {1,1,4} .
# … {1, −1, −4} .
…{−1,1, −4} .
…{−1, −1, −4}.
6-а.6. Направляющим вектором прямой
с координатами …
… {1,7, −7}.
... {−1, −7,7}.
# … {−1,7,7} .
7x − 2 y + 3z − 2 = 0, |
|
|
является вектор |
|
y − z + 5 = 0. |
…{1,7,7}.
…{−1, −7, −7}.
5x + z − 3 = 0,
6-а.7. Направляющим вектором прямой является вектор с
2 y − z −1 = 0.
координатами …
…{2,5, −10}.
... {−2, −5,10} .
…{2,5,10}.
# … {2, −5, −10}.
…{2, −5,10}.
6-а.8. Каноническими уравнениями прямой x = t, y = t, z = −t −1 являются …
…
# …
…
…
…
x + y + 2z + 2 = 0 .
x = y = z + 1 1 1 −1 .
x + y + 2z + 2 = 0, |
|||||||
|
|
|
x − y = 0. |
||||
|
|
|
|||||
x |
= |
y |
= |
z −1 |
. |
||
1 |
|
|
|||||
1 |
|
|
−1 |
||||
x |
= |
y |
= |
z + 1 |
. |
||
1 |
|
|
|||||
1 |
1 |
|
|
||||
6-а.9. Каноническими уравнениями прямой x = 2t −1, y = t + 2, z = −t + 3 являются …
…x − y + z = 0 .
… |
x + 1 |
= |
|
y + 2 |
= |
|
z − 3 |
. |
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
−1 |
||||||||
… |
x − y + z = 0, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
− 5 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
y + z |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
# … |
|
x + 1 |
= |
y − 2 |
= |
z − 3 |
. |
|||||||||
|
−2 |
−1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||
… |
x −1 |
= |
y + 2 |
= |
z + 3 |
. |
||||||||||
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
−1 |
||||||||
6-а.10. Параметрическими уравнениями прямой
являются…
…x = t, y = −t, z = −t −1.
…x = t, y = t, z = −t + 1.
# … x = t, y = t, z = −t −1.
…x = t, y = t, z = t −1.
x + y + 2z + 2 = 0,x − y = 0
…x = t, y = −t, z = t + 1.
x − y + z = 0,
6-а.11. Параметрическими уравнениями прямой являются …
y + z − 5 = 0
… x = 2t + 1, y = t + 2, z = −t + 3 . … x = 2t −1, y = t − 2, z = −t + 3 . … x = 2t −1, y = t + 2, z = −t − 3 . … x = 2t + 1, y = t − 2, z = −t − 3 .
# … x = 2t −1, y = t + 2, z = −t + 3.
6-а.12. Прямая x = y = z + 1 принадлежит плоскости …
1 1 1
# … x + y − 2z − 2 = 0 .
…x + y − 2z + 2 = 0 .
…x − y − 2z − 2 = 0 .
…x − y + 2z − 2 = 0 .
…x − y − 2z + 2 = 0 .
x − y + z + 1 = 0,
6-а.13. Прямая y + 2z − 2 = 0 принадлежит плоскости …
…x − y + z −1 = 0 .
…y + 2z + 2 = 0 .
# … x + 3z −1 = 0 .
…x − 2 y − z + 2 = 0 .
…x − 2 y − z − 3 = 0 .
6-а.14. Прямая |
x − 2 |
= |
y −1 |
= |
z + 1 |
будет перпендикулярна прямой |
||
|
−1 |
|
||||||
|
x = t, |
3 |
|
|
l |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y = 1, |
при … |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z = 3t + 1
…l = 1.
…l = −3 .
…l = 0 .
# … l = −1.
… l = 3 .
x = t −1,
6-а.15. Прямые y = t + 2,z = −2t −1
…скрещиваются.
# … пересекаются.
…параллельны.
…совпадают.
…перпендикулярны.
и |
x − 2 |
= |
y + 1 |
= |
z + 1 |
|
… |
|
|
−1 |
|||||
0 |
1 |
|
|
||||
x = t − 3,
6-а.16. Прямая y = 2t + 1, перпендикулярна плоскости 2x + Ay − 6z + 5 = 0
z = nt −1
при …
… A = 2, n = −6 . … A = 2, n = −3 .
… A = 2, n = −3 / 2 . … A = −1, n = 12 .
# … A = 4, n = −3 .
6-а.17. Расстояние от точки M (0,0,1) до прямой x − y − 4 = 0, равно … |
|
|
z = 0 |
# … 3.
…2.
…1.
…
2 .
…
3 .
6-а.18. Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M (1,1, −3) перпендикулярно плоскости 3x − 5 y + 2 = 0 , имеют вид …
…x = −1 + 3t, y = 1 − 5t, z = −3 .
…x = 1 + 3t, y = 1 + 5t, z = −3.
# … x = 1 + 3t, y = 1 − 5t, z = −3 .
…x = 1 + 3t, y = 1 − 5t, z = −3 − 2t .
…x = 1 + 3t, y = 1 − 5t, z = −3 + 2t .
6-а.19. Прямая x = 2 + pt, y = 1, z = 3 + 2t параллельна плоскости
3x + 4 y − 6z − 3 = 0 при …
…p = −4 .
…p = 8 / 3.
…p = 2 .
# … |
p = 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
… |
p = −2 . |
|
|
|
|
|
|
|
6-а.20. Прямая 3x − y + 2z − 6 = 0, |
пересекает ось Oy при … |
|
||||||
|
x + 4 y − z + D = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
# … |
D = 24 . |
|
|
|
|
|
|
|
… |
D = −24 |
|
|
|
|
|
|
|
При D = −12 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
При D = 12 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
При D = −4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
VIII. Поверхности второго порядка |
|
|
|
|
|
|||
8.1. При каком значении параметра a эллипсоид |
x2 |
+ |
y2 |
+ |
z2 |
= 1 будет |
||
a2 |
|
|
||||||
|
|
|
4 |
9 |
|
|||
поверхностью вращения вокруг оси Oy ?
При a = 3 . При a = 2 .
При a = 2 или a = 3 . При a = 6 .
При любом a ¹ 1.
8.2. Определите тип поверхности второго порядка, заданной уравнением
x2 |
− |
y2 |
− |
z2 |
= 1. |
3 |
|
c2 |
|||
4 |
|
|
|||
Двуполостный гиперболоид. Однополостный гиперболоид. Эллипсоид.
Параболоид вращения.
Уравнение не определяет никакую поверхность.
8.3. Определите тип поверхности, заданной уравнением x2 − y2 + 2z = 0 . 9 4
Гиперболический параболоид Эллиптический параболоид. Конус.
Эллипсоид.
Однополостный гиперболоид.
8.4. Определите тип поверхности второго порядка, заданной уравнением
x2 − y2 − z2 = −1. 9 4 c2
Однополостный гиперболоид. Двуполостный гиперболоид. Эллипсоид.
Параболоид вращения.
Уравнение не определяет никакую поверхность.
8.5. Какую поверхность определяет уравнение x2 + y2 + 4z2 =1?
Эллипсоид вращения вокруг оси Oz . Эллипсоид вращения вокруг оси Ox . Эллипсоид вращения вокруг оси Oy . Эллиптический цилиндр.
Эллиптический параболоид.
8.6. Какую поверхность определяет уравнение x2 + y2 − z2 =1?
Однополостный гиперболоид. Двуполостный гиперболоид. Трехосный эллипсоид.
Гиперболический параболоид. Эллиптический параболоид.
8.7. Какую поверхность определяет уравнение x2 − y2 − z2 = 4 ?
Двуполостный гиперболоид.
Однополостный гиперболоид. Трехосный эллипсоид. Гиперболический параболоид. Эллиптический параболоид.
8.8. Какую поверхность определяет уравнение x2 − y2 − z2 = 0 ?
Конус второго порядка. Однополостный гиперболоид. Трехосный эллипсоид. Гиперболический параболоид. Эллиптический параболоид.
8.9. Какую поверхность определяет уравнение x2 + 2 y2 − z = 0 ?
Эллиптический параболоид. Конус второго порядка. Однополостный гиперболоид. Трехосный эллипсоид. Гиперболический параболоид.
8.10. Какое из приведенных ниже уравнений определяет цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Oy ?
xz − 2x2 + z2 −3x =1. xy − 2 y2 + x2 −3x =1. yz − 2x2 + z2 −3y =1. xy − 2x2 + z2 −3x =1. xz − 2x2 + y2 −3x =1.
8.11. Какая поверхность определена уравнением x2 − ( y − z)2 = 0 ?
Пара плоскостей. Гиперболический параболоид. Конус второго порядка. Гиперболический цилиндр. Однополостный гиперболоид.
8.12. Что служит геометрическим образом уравнения x2 + ( y − z)2 = 0 ?
Прямая. Пара прямых.
Пара плоскостей. Конус второго порядка.
Гиперболический цилиндр.
8.13. Что служит геометрическим образом уравнения x2 + ( y − z)2 + 1 = 0 ?
Это уравнение не определяет никаких действительных геометрических образов.
Пара прямых. Пара плоскостей.
Гиперболический параболоид. Конус второго порядка.
8.14. При каком значении параметра a гиперболоид |
|
x2 |
|
+ |
y2 |
− |
z2 |
= 1 будет |
|||
|
a2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
4 |
9 |
|
||||
поверхностью вращения вокруг оси Oy ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ни при каких a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При a = 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При a = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При a = 2 или a = 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При любых a ¹ 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.15. При каком значении параметра a уравнение |
x2 |
+ |
y2 |
+ az2 = 1 |
|||||||
|
|
||||||||||
9 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||
определяет однополостный гиперболоид?
При отрицательных a . Ни при каких a .
При положительных a Только при a = 0 .
При a Î(-1,1) .
8.16. При каком значении параметра a уравнение |
x2 |
+ |
y2 |
+ az2 = 1 |
|
|
|||
9 |
4 |
|
||
определяет двуполостный гиперболоид?
Ни при каких a .
При отрицательных a . При положительных a
Только при a = 0 .
При a (−1,1) .
8.17. Какую поверхность определяет уравнение y2 + x −1 = 0 ?
Параболический цилиндр. Гиперболический цилиндр. Параболоид вращения.
Конус второго порядка. Однополостный гиперболоид.
8.18. Какую поверхность определяет уравнение y2 + x2 − 2z −1 = 0 ?
Параболоид вращения. Параболический цилиндр. Гиперболический цилиндр. Конус второго порядка. Однополостный гиперболоид.
8.19. Какую поверхность определяет уравнение y2 + 2x2 − 3z2 = 0 ?
Конус второго порядка. Параболоид вращения. Параболический цилиндр. Гиперболический цилиндр. Однополостный гиперболоид.
8.20. Какую поверхность определяет уравнение 5 y2 + 2x2 − 3z2 −12 = 0 ?
Однополостный гиперболоид. Конус второго порядка. Параболоид вращения. Параболический цилиндр. Гиперболический цилиндр.