Таблица производных
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Таблица производных |
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1. |
(c) 0 . |
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2. |
(x n ) nx n 1 . |
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В частности, (x) 1 , |
(x |
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) |
2x , |
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x |
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x |
2 |
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x |
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2 |
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x |
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3. |
(ex ) ex , |
(ax ) ax ln a . |
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4. |
(ln x) |
1 |
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, (loga |
x) |
1 |
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x |
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x ln a |
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5. |
(sin x) cos x . |
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6. |
(cos x) sin x . |
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7. |
(tg x) |
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8. |
(ctg x) |
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cos2 |
x |
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sin2 x |
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9. |
(arcsin x) |
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1 |
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10. (arccos x) |
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1 |
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1 x2 |
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1 x2 |
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11. (arctg x) |
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1 |
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12. (arcctg x) |
1 |
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1 x2 |
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1 x2 |
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Правила вычисления производных Пусть u u(x) , v v(x) . Тогда
1.(cu) c u .
2.(u v) u v .
3.(u v) u v .
4.(uv) u v u v .
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u v u v |
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5. |
u |
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v |
2 |
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v |
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Примеры.
1.(5x3 2x sin x) 5(x3 ) (2x ) (sin x) 5 3x2 2x ln 2 cos x .
2.(x cos x) (x) cos x x(cos x) cos x x sin x .
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x ln x (x) |
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1 ln x |
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ln x |
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(ln x) |
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3. |
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x |
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x |
2 |
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x |
2 |
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Производная сложной функции
[ f (g(x))] f (g(x)) g (x) .
В частности, если u u(x) , то
1. |
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2. |
(un ) n un 1 u . |
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3. |
(eu ) eu u . |
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4. |
(ln u) |
1 |
u . |
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u |
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5. |
(sin u) cos u u . |
6. |
(cos u) sin u u . |
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1 |
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1 |
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7. |
(tg u) |
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u . |
8. |
(ctg u) |
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u . |
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cos2 u |
sin2 u |
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1 |
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1 |
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9. |
(arcsin u) |
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u . |
10. (arccos u) |
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u . |
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1 u2 |
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1 u2 |
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1 |
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11. (arctg u) |
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u . |
12. (arcctg u) |
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u . |
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1 u2 |
1 u2 |
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Примеры.
1.(sin2 x) 2sin x (sin x) 2sin x cos x .
2.(sin x2 ) cos x2 ( x2 ) cos x2 2x
Производная показательно-степенной функции
Пусть u u(x) , v v(x) . Тогда
(uv ) uv (vln u) .
Пример. (xx ) xx ( x ln x) xx (ln x 1) .
Логарифмическое дифференцирование
Пусть y y(x) . Тогда
y y (ln y) .
Примеры.
1. |
(xx ) xx ( ln xx ) xx ( x ln x) xx ( ln x 1) |
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3 |
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3 |
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3 |
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1 x |
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1 x |
1 x |
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1 x |
1 |
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ln(1 x) ln(2x 3) |
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2. |
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ln |
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2x 3 |
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2x 3 |
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2x 3 |
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2x |
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3 |
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3 |
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3 |
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1 1 |
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1 |
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3 |
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1 |
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2 |
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1 x |
( 1) |
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2 |
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1 x |
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2x 3 |
2x 3 |
3(1 x) |
2x 3 |
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2x 3 |
3 1 x |
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