14. Функция 2-х переменных, способы их представления, частные производные. Дифференциал функций 2-х переменных, градиент.

Ответ. Функцией двух переменных называется закон, по которому каждой паре значений независимых переменных (аргументов) из области определения соответствует значение зависимой переменной (функции). Данную функцию обозначают следующим образом: либо , или же другой стандартной буквой: . . Поскольку упорядоченная пара значений «икс» и «игрек» определяет точку на плоскости, то функцию также записывают через , где М – точка плоскости с координатами . Геометрический смысл функции двух переменных очень прост. Если функции одной переменной соответствует определённая линия на плоскости, то график функции двух переменных располагается в трёхмерном пространстве. Важнейший атрибут функции 2 переменных – это область определения. Областью определения функции двух переменных называется множество всех пар , для которых существует значение . Частная производная — это предел отношения приращения функции по выбранной переменной к приращению этой переменной, при стремлении этого приращения к нулю.

Для частных производных справедливы все правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Пример. Найти частные производные первого и второго порядка функции . Сначала найдем частные производные первого порядка. Их две. Обозначения или – частная производная по «икс»; или – частная производная по «игрек». При нахождении частной производной по «икс» переменная у считается константой (постоянным числом) (1) заключаем всю функцию в скобки под штрих с подстрочным индексом. (2) Используем правила дифференцирования , , у считается константой, а любую константу можно вынести за знак производной. (3) Используем табличные производные и . (4) Упрощаем. Когда мы находим частную производную по «игрек», то переменная х считается константой (постоянным числом).

(1) Используем те же правила дифференцирования. В первом слагаемом выносим константу за знак производной, во втором слагаемом ничего вынести нельзя поскольку. (2) Используем таблицу производных элементарных функций. По своей сути частные производные 1-го порядка напоминают «обычную» производную: – это функции, которые характеризуют скорость изменения функции в направлении осей ОХ и ОУ соответственно. Кроме того, частная производная в точке характеризует скорость изменения функции по соответствующему направлению. Градиентом функции в точке называется направленный отрезок , отложенный от точки , который показывает направление и скорость наискорейшего роста функции в данной точке. Градиент в точке – это вектор несвободный. По той причине, что характеризует поведение функции именно в данной точке, а не где-то ещё. Поэтому, следует отложить от начала координат. Производная по некоторому направлению в точке – это проекция градиента в данной точке на данное направление. В более широком смысле под градиентом понимают векторную функцию , которая каждой точке области определения функции (где существует градиент) ставит в соответствие вектор, показывающий направление максимального роста функции в данной точке.